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Explizite rekursive Formeln für geometrische Folgen

Video-Transkript

In dieser Tabelle sind einige N, zum Beispiel N = 1,2,3,4 Zahlen von G(n) zugeordnet. Man kann sich die Funktion G als Folge vorstellen und N als den Schritt der Folge. Man kann sagen, dass es das Gleiche wie eine Folge ist, wobei der erste Schritt 168 ist, der zweite 84 und der dritte 42, der vierte dann 21 und so weiter. der vierte dann 21 und so weiter. Mal überlegen was für eine Folge das ist. Wir starten mit 168, und wie kommt man von 168 zu 84? Man könnte 84 abziehen, oder man sagt, dass man 186 halbiert, also mit (1/2) multipliziert. also mit (1/2) multipliziert. Um von 84 zu 42 zu kommen multiplizieren wir wieder mit (1/2). multiplizieren wir wieder mit (1/2). Um von 42 zu 21 zu gelangen , multiplizieren wir wieder mit (1/2). Hier haben wir also eine geometrische Reihe. Wir haben mit einer Zahl begonnen und in jedem Schritt der die vorherige Zahl mit 1/2 mal genommen. Oft wird diese Zahl als konstanter Quotient bezeichnet. Wie können wir nun G(n) als explizite Funktion von n schreiben? Ich lege euch nahe, das ihr das Video pausiert und darüber nachdenkt es selber zu tun. G(n) ist eine Funktion, die bei 168 startet und dann den Wert mit jedem Schritt halbiert. G(n) ist eine Funktion, die bei 168 startet und dann den Wert mit jedem Schritt halbiert. G(n) ist eine Funktion, die bei 168 startet und dann den Wert mit jedem Schritt halbiert. G(n) ist eine Funktion, die bei 168 startet und dann den Wert mit jedem Schritt halbiert. G(n) ist eine Funktion, die bei 168 startet und dann den Wert mit jedem Schritt halbiert. Wir starten bei 168 und multiplizieren dann mit 1/2. Wir starten bei 168 und multiplizieren dann mit 1/2. Wir multiplizieren mit 1/2 nur nach einer bestimmten Anzahl. Der Exponent ist die Anzahl an Halbierungen die wir vornehmen. Der Exponent ist die Anzahl an Halbierungen die wir vornehmen. Wir oft werden wir das ganze halbieren ? Beim ersten Term haben wir das ganze 0 mal halbiert. Beim zweiten haben wir es einmal halbiert. Beim dritten Term haben wir es zwei mal halbiert. Den vierten Term haben wir dreimal halbiert. Es sieht so aus als ob wir den Term immer n-1 mal halbiert haben. Es sieht so aus als ob wir den Term immer n-1 mal halbiert haben. Du kannst sehen, dass das funktioniert, wenn n=1 ist haben wir 1-1=0, Und (1/2)^0 =1. Wir haben also einfach 168. Wenn n=2 ist dann folgt 2-1=1. Also werden wir 168 einmal halbieren. Wenn n=3 ist, werden wir eben zweimal halbieren, da 3-1=2. Man wird also zwei mal halbieren. Das sehen wir hier. Das sieht nach einer schönen explizieten Definition für eine geometrische Reihe aus. Man könnte G(n) auch anders schreiben, zum Beispiel so: 168/(2^(n-1)) Hier habe ich nur umgeformt. Ein weiterer Weg das anzugehen ist die Potenzgesetze zu benutzen. Ich werde noch eine andere Version notieren. Ich werde noch eine andere Version notieren. Ich werde noch eine andere Version notieren. G(n)= 168 Ich benutze eine andere Farbe. Dieser rechte Teil hier ist das Gleiche wie (1/2)^n wie (1/2)^n mal (1/2)^-1. (1/2)^n * (1/2)^-1. und (1/2)^-1 = 2. und (1/2)^-1 = 2. und (1/2)^-1 = 2. Wir können es also als 168*2 hinschreiben, was 336 ist. Stimmt 336? 160/2=320+16 ist gleich 336 160/2=320+16 ist gleich 336 Und das ganze dann mal (1/2) ^n Und das ganze dann mal (1/2) ^n Das sind gleichbedeutende Aussagen. Die hier sind etwas intuitiver, denn so weis man sofort, dass man bei 168 startet und immer halbiert. und immer halbiert. Aber rechnerisch ist das gleich wie unser originaler Ausdruck, aber können wir G(n) auch rekursiv definieren. Ich lege dir nahe, dass Video zu pausieren und es selber auszutesten. Oftmals ist die rekursive Funktion etwas simpler also mal sehen. Oftmals ist die rekursive Funktion etwas simpler also mal sehen. Oftmals ist die rekursive Funktion etwas simpler also mal sehen. Oftmals ist die rekursive Funktion etwas simpler also mal sehen. Oftmals ist die rekursive Funktion etwas simpler also mal sehen. G(n) ist, wenn n=1 ist 168. Also für n=1 gilt G(n)=168. Denn wir starten ja bei 168. Wenn n>1 und n eine Ganze Zahl ist, also n ist definiert über alle positiven ganzen Zahlen, also n ist definiert über alle positiven ganzen Zahlen, was passiert dann? Wir werden bei jedem Schritt den vorherigen Term halbieren. Also G(n)=(1/2)*G(n-1). Und du kannst schauen ob das stimmt. Wenn n=1, dann sind wir bei 168. Wenn n=1, dann sind wir bei 168. Wenn n=2 werden wir G(1) halbieren, was natürlich 84 ist. was natürlich 84 ist. G(3) wird die Hälfte von G(2) sein. was stimmt. So würden wir also das Ganze explizit definieren. Und so wie hier ist es die rekursive Definition der Folge.