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Konvertieren von rekursiven & explizite Formen der geometrischen Folgen

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Gegeben ist die Funktion g von x gleich 9 mal 8 hoch x minus 1. Gegeben ist die Funktion g von x gleich 9 mal 8 hoch x minus 1. Sie ist definiert für x ist eine positive Ganzzahl. Sie ist definiert für x ist eine positive Ganzzahl. Sie ist definiert für x ist eine positive Ganzzahl. Wir können also sagen, der Definitionsbereich dieser Funktion, bzw. alle gültigen Eingaben, sind positive Ganzzahlen. Also 1, 2, 3, 4, 5 und so weiter. Dies ist eine deutlich definierte Funktion. Ich will nun aber eine rekursive Definition dieser Funktion schreiben. Ich will nun aber eine rekursive Definition dieser Funktion schreiben. Sodass mir bei gegebenem x, die Funktion dieselben Ergebnisse liefert. Lass uns als erstes die Eingaben und Ausgaben verstehen. Lass uns als erstes die Eingaben und Ausgaben verstehen. Lass uns eine Tabelle zeichnen. Lass uns eine Tabelle zeichnen. Und darüber nachdenken, was passiert, wenn wir verschiedene x in diese Funktion einsetzen. Der Definitionsbereich sind alle positiven Ganzzahlen. Versuchen wir ein paar. 1, 2, 3, 4. Und dann berechnen wir das entsprechende g von x. Und dann berechnen wir das entsprechende g von x. Wenn x gleich 1, dann ist g von x gleich 9 mal 8 hoch 1 minus 1, 9 mal 8 hoch 0, oder 9 mal 1. Also g von x ist 9. Was passiert, wenn x gleich 2? g ist gleich 9 mal 8 hoch 2 minus 1. Das ist dasselbe wie 9 mal 8 hoch 1. Und das ist wiederum 9 mal 8. Das ergibt 72. Das ergibt 72. Also 9 mal 8. Also 9 mal 8. Was passiert wenn x gleich 3? Das hier ist gleich 3 minus 1 ist 2. Das ergibt also 8 zum Quadrat. g ist also 9 mal 8 zum Quadrat. Wir können das als 9 mal 8 mal 8 schreiben. Ich glaube du erkennst ein bisschen ein Muster hier. Wenn x gleich 4 ist, ist dies hier 8 hoch 4 minus 1, also 8 hoch 3. Das ist wiederum 9 mal 8 mal 8 mal 8. Dies ist ein guter Hinweis, wie wir dies rekursiv definieren würden. Schau, unser erster Term bei x gleich 1 ist 9. Jeder nachfolgende Term ist gleich 8 mal der vorangegangene Term. 8 mal der vorherige Term. 8 mal der vorherige Term. 8 mal der vorherige Term. Lass uns das als eine rekursive Funktion definieren. Als erstes definieren wir den Basisfall. g von x ist gleich 9 wenn x gleich 1. g von x ist gleich 9 wenn x gleich 1. g von x ist gleich 9 wenn x gleich 1. g von x ist gleich 9 wenn x gleich 1. g von x ist gleich 9 wenn x gleich 1. g von x ist gleich 9 wenn x gleich 1. g von x ist gleich 9 wenn x gleich 1. Somit haben wir dies hier erledigt. Und wenn x gleich irgendetwas anderes, dann ist g gleich das vorherige g von x mal 8. Sehen wir uns x minus 1 an und dann x. Wenn dieser Eintrag hier gleich g von x minus 1 ist, Wenn dieser Eintrag hier gleich g von x minus 1 ist, Wenn dieser Eintrag hier gleich g von x minus 1 ist, wissen wir, dass g von x gleich dem vorherigen Eintrag mal 8 ist . gleich dem vorherigen Eintrag mal 8 ist . Wir können das hier so schreiben. Mal 8. Für jedes andere x außer 1, ist g von x gleich der vorherige Eintrag, g von x minus 1, mal 8. ist g von x gleich der vorherige Eintrag, g von x minus 1, mal 8. Wenn x größer als 1, oder x eine Ganzzahl größer als 1 ist. Lass uns nun überprüfen, ob dies tatsächlich funktioniert. Zeichnen wir noch eine Tabelle hier herüben. Zeichnen wir noch eine Tabelle. Wieder haben wir x und g von x. Aber dieses Mal benutzen wir die rekursive Definition für g von x. Die Definition ist rekursiv, weil sie sich auf sich selbst bezieht. Die Definition ist rekursiv, weil sie sich auf sich selbst bezieht. In ihrer eigenen Definition heißt es g von x, wenn x ungleich 1, ist gleich g von x minus 1. Sie benutzt die Funktion selbst. Aber wir werden sehen, dass es tatsächlich funktioniert. Aber wir werden sehen, dass es tatsächlich funktioniert. Für x gleich 1, also g von 1, erhalten wir 9. erhalten wir 9. Das war ziemlich einfach. Was passiert wenn x gleich 2? Wenn x gleich 2, passt dieser Fall nicht mehr. Wir benutzen diesen Fall. Also wenn x gleich 2, ist es dasselbe wie g von 2 minus 1 mal 8. ist es dasselbe wie g von 2 minus 1 mal 8. ist es dasselbe wie g von 2 minus 1 mal 8. Was wiederum dasselbe ist wie g von 1 mal 8. Und was ist g von 1? g von 1 steht hier. g von 1 ist 9. Dies hier ergibt also 9 mal 8. Genau dasselbe was wir hier herüben haben. Und das war natürlich gleich g von 2. Und das war natürlich gleich g von 2. Das ist g von 2. Das ist g von 2. Das ist g von 2. Lass uns nun 3 machen. Lass uns nun 3 machen. Und nun schreibe ich g von 3 zuerst. Also g von 3 ist gleich -- wir benutzen diesen Fall -- es ist gleich g von 3 minus 1 mal 8. Das ist gleich g von 2 mal 8. Was ist g von 2? g von 2 haben wir bereits berechnet mit 9 mal 8. Es ist also gleich 9 mal 8 -- das ist g von 2 -- mal 8. Wir erhalten also genau dieselben Ergebnisse. Dies ist also die rekursive Definition dieser Funktion.