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Rekursive & explizite Formen von arithmetischen Folgen umwandeln

Video-Transkript

Gegeben sei die Funktion h von n, die die Terme einer Folge bestimmt. die die Terme einer Folge bestimmt. Ich zeichne hier eine kleine Tabelle. Ich zeichne hier eine kleine Tabelle. Wir haben n und wir haben h von n. Wenn n gleich 1 ist, dann ist h von n gleich minus 31 minus 7 mal 1 minus 1. Das ergibt 0, daher ist h von n gleich minus 31. Wenn n gleich 2 ist, dann ergibt das minus 31 minus 7 mal 2 minus 1. Also 2 minus 1 ergibt 1, somit ist es minus 31 minus 7, was minus 38 ergibt. Wenn n gleich 3 ist, dann ergibt das minus 31 minus 7 mal 3 minus 1, was 2 ist, wir subtrahieren also 7 zwei mal. Das ergibt minus 31 minus 14, was gleich minus 45 ist. Was sehen wir hier? Wir haben bei minus 31 angefangen, und dann subtrahieren wir immer wieder minus 7. Wir subtrahieren minus 7 davon. Eigentlich subtrahieren wir minus 7 einmal weniger als n. Eigentlich subtrahieren wir minus 7 einmal weniger als n. Eigentlich subtrahieren wir minus 7 einmal weniger als n. Wenn wir den dritten Term haben, subtrahieren wir minus 7 zwei Mal. Wenn wir den zweiten Term haben, subtrahieren wir minus 7 ein Mal. Ich möchte nun, dass du das Video pausierst Ich möchte nun, dass du das Video pausierst und versuchst diese Folge zu definieren. Bei der Folge hier startest du bei minus 31 und subtrahierst minus 7 immer wieder, also minus 38, minus 45. Als nächstes kommt minus 52 und so weiter. Du subtrahierst minus 7 immer wieder. Können wir diese Folge als eine rekursive Funktion definieren? Versuch es einmal. Versuchen wir die Folge als rekursive Funktion zu definieren. Lass uns dies als g von n bezeichnen. Lass uns dies als g von n bezeichnen. Manchmal ist eine rekursive Funktion einfacher, weil du sagen kannst: Was ist der erste Term wenn n gleich 1? Was ist der erste Term wenn n gleich 1? Was ist der erste Term wenn n gleich 1? Was ist der erste Term wenn n gleich 1? Was ist der erste Term wenn n gleich 1? Er ist minus 31. Er ist minus 31. Und wenn n größer als 1 und eine ganze Zahl ist, das ist definiert für alle positiven ganze Zahlen und ganze Zahlen, erhältst du den vorherigen Term, also g von n minus 1, minus 7. minus 7. Wenn wir einen beliebigen Term berechnen wollen, Wenn wir einen beliebigen Term berechnen wollen, müssen wir uns nur den vorherigen Term ansehen und davon 7 subtrahieren. Dies funktioniert super, weil du dir einfach auf den vorherigen, vorherigen, vorherigen Term ansiehst, bis du zum Anfangsterm kommst, der bei n gleich 1 eintritt. Von dort kannst du alles aufbauen. Du erhältst die exakt gleiche Folge. Machen wir noch ein Beispiel, aber diesmal versuchen wir es verkehrt herum. Hier haben wir eine Folge, die rekursiv definiert ist Hier haben wir eine Folge, die rekursiv definiert ist und ich will eine Funktion erzeugen, die die Folge explizit definiert. Lasst uns einmal darüber nachdenken. Man kann sich das so vorstellen, Man kann sich das so vorstellen, wenn n gleich 1 ist, fängt die Folge bei 9,6 an, und ab dann ist jeder nachfolgende Term der vorherige Term minus 0.1. und ab dann ist jeder nachfolgende Term der vorherige Term minus 0.1. Der zweite Term ist gleich der vorherige Term minus 0.1, also 9.5. Dann erhältst du 9.4. Dann 9.3. Wir könnten dies ewig fortsetzen. Machen wir eine kleine Tabelle. Hier ist n und hier ist h von n. Wenn n gleich 1 ist, dann ist h von n gleich 9.6. Wenn n gleich 2, sind wir in diesem Fall hier, und daher erhalten wir h von 2 minus 1, also h von 1 minus 0.1. Das ist einfach das hier minus 0.1, was 9.5 ergibt. Wenn h gleich 3 ist, erhalten wir h von 2 minus 0.1. h von 2 minus 0.1. h von 2 steht hier. Wenn du ein Zehntel subtrahierst erhältst du 9.4, genau, was wir hier herüben gesehen haben. Halte nun das Video an und versuch Halte nun das Video an und versuch eine Funktion zu erzeugen, die diese arithmetische Folge explizit definiert. Hier war sie rekursiv. Wir wollen sie aber explizit definieren. Nennen wir sie f von n. Nennen wir sie f von n. Sie ist 9.6, aber wir subtrahieren 0.1 aber wir subtrahieren 0.1 eine bestimmte Anzahl mal, abhängig davon, von welchem Term wir reden. Wir subtrahieren 0.1, aber wie oft tun wir dies als eine Funktion von n? aber wie oft tun wir dies als eine Funktion von n? Mal sehen. Wenn wir vom ersten Term reden subtrahieren wir 0 Mal. Beim zweiten Term subtrahieren wir ein Mal. Beim dritten Term subtrahieren wir zwei Mal. Beim vierten Term subtrahieren wir drei Mal. Egal von welchem Term wir reden, wir subtrahieren diesen Term minus ein Mal. Wenn wir vom n-ten Term reden würden, würden wir diesen Wert n minus 1 Mal subtrahieren. Du kannst dies nachweisen. Wenn n gleich 1 dann ist dieser Term hier 0, daher ist das gesamte hier 0. Du erhältst also 9.6. Wenn n gleich 2, 2 minus 1, subtrahierst du 0.1 ein Mal. 9.6 minus 0.1 ist 9.5. Du könntest immer weiter machen. Du könntest eine Tabelle zeichnen und diese berechnen wenn du willst. Der entscheidende Punkt ist, dass du bei 9.6 beginnst und 0.1 einmal weniger oft subtrahierst, als der Term den du suchst. Wenn du n gleich 4 suchst, Wenn du n gleich 4 suchst, subtrahierst du 0.1 drei Mal und du siehst das. Subtrahiere 0.1 ein Mal, subtrahiere 0.1 zwei Mal, subtrahiere 0.1 drei Mal.