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Explizite Formeln für arithmetische Folgen

Video-Transkript

In der Tabelle hier sehen wir für ein gegebenes n, bei n=1 ist f(n)=12, bei n=2 ist f(n)=5, bei n=3 ist f(n)=-2, bei n=4 ist f(n) ist f(n)=-9. Eine Möglichkeit ist, dass die Funktion "f" eine Folge beschreibt, Eine Möglichkeit ist, dass die Funktion "f" eine Folge beschreibt, bei der der erste Term 12 ist. Der zweite Term dieser Folge ist 5, der dritte Term ist -2, der vierte Term ist -9. Und so weiter... Es fällt auf, dass dies eine arithmetische Folge ist. Wir beginnen mit einer 12, und dann... Was haben wir getan? 7 subtrahiert. Vom zweiten zum dritten Term... Was tun wir? Wir subtrahieren 7. Jeder Term ist also um 7 kleiner als der vorherige. Mit diesem Wissen kann man nun die Funktion von n eindeutig definieren. Mit diesem Wissen kann man nun die Funktion von n eindeutig definieren. Also eine Funktionsdefinition aufstellen. Ich möchte also "f(n) gleich..." ermitteln. Ich möchte wissen, wie das hier heißen muss, um bei Einsetzen von n das entsprechende Ich möchte wissen, wie das hier heißen muss, um bei Einsetzen von n das entsprechende f(n) zu erhalten. Schauen wir es uns an. Der erste Term ist 12. Dann ziehen wir 7 ab. Wie oft ziehen wir nun 7 ab? Wie oft ziehen wir nun 7 ab? Beim ersten Term ziehen wir 0 mal 7 ab. Also bleibt einfach 12. Beim zweiten ziehen wir einmal 7 ab. Beim dritten ziehen wir zweimal 7 ab. Und beim vierten dreimal 7. Wir subtrahieren also bei jedem Term 7(n-1), Wir subtrahieren also bei jedem Term 7(n-1), also 7 mal (aktueller Term minus 1). also 7 mal (aktueller Term minus 1). Also n minus 1. Probieren wir das aus. f(1) ist 12 minus 7 mal 1 minus 1, das ergibt 0. f(1) ist 12 minus 7 mal 1 minus 1, das ergibt 0. Das alles ist dann also 12. f(2) ist gleich 12 minus 7, mal 2 minus 1. Also 12 minus 7 mal 1. Wir subtrahieren also einmal 7, was genau der Fall ist. Wir beginnen mit 12, subtrahieren einmal 7. Wir können es für f(3) testen. 12 minus -- nun ziehen wir zweimal 7 ab. 3 minus1 ist 2. Also subtrahieren wir zweimal 7. Das ist also richtig. Wir haben diese Funktion bzw. "f" für diese Folge eindeutig definiert. Wir haben diese Funktion bzw. "f" für diese Folge eindeutig definiert. Machen wir noch ein Beispiel. In diesem Fall haben wir hier bereits einige Funktionsdefinitionen. In diesem Fall haben wir hier bereits einige Funktionsdefinitionen. Die Folge ist hier in der Tabelle zu sehen. Die Folge ist hier in der Tabelle zu sehen. Der erste Term ist -100. Der nächste ist -50, der nächste 0, der nächste 50. Der nächste ist -50, der nächste 0, der nächste 50. Auch das hier ist eindeutig eine arithmetische Folge. Auch das hier ist eindeutig eine arithmetische Folge. Wir beginnen bei -100, addieren 50. Addieren nochmals 50, und nochmals 50. Jeder Term ist also um 50 größer als der vorherige. Ich möchte, dass ihr das Video pausiert und euch überlegt, welche dieser Definitionen Ich möchte, dass ihr das Video pausiert und euch überlegt, welche dieser Definitionen auf die Funktion "f" zutrifft. Es kann mehr als eine sein. Also, fangen wir an. Bei dieser Definition hier oben kann man sagen, dass ich bei -100 beginne. Bei dieser Definition hier oben kann man sagen, dass ich bei -100 beginne. Bei dieser Definition hier oben kann man sagen, dass ich bei -100 beginne. Und ich addiere 50, (n-1)-mal. Macht das Sinn? Nun, beim ersten Term, -100, wollen wir überhaupt nicht 50 addieren. Nun, beim ersten Term, -100, wollen wir überhaupt nicht 50 addieren. Wir wollen 0 mal 50 addieren, das passt. 1 minus 1 ist gleich 0. Es stimmt also für n=1. Für n=2 beginnt man bei -100. Ich möchte 50 einmal addieren. Das hier sollte eine 1 sein. 2 minus 1, ja, das ist eine 1! Wir addieren 50. Egal, was diese Zahl ist, was "n" ist, wir addieren 50, 1 weniger als die Anzahl n´s. Hier addieren wir also zweimal 50. Bei n=4 addieren wir 50 dreimal. Diese hier passt also. Bei n=4 addieren wir 50, 4 minus 1, mal 3. -100, plus 50 mal 3. Wir addieren 50 dreimal, 50 plus 50 plus 50. Das ergibt dann 50. Diese hier ist korrekt. Schauen wir uns nun diese hier an. -150 plus 50n. Nun, das ist eine Möglichkeit zu sagen: Bei n=1 ist es gleich -... Zeichnen wir dafür besser eine Tabelle. Wir haben "n" und "f(n)". Die brauchen wir für diese Definition hier. Bei n=1 haben wir also -150 plus 50, was -100 ergibt, das passt also auch. Bei n=2 erhalten wir -150, plus 50 mal 2, was dann -- das hier ist 100 und hier -150, -- also erhalten wir -50. Bei n=3, das passt dann natürlich auch, erhalten wir -150, plus 50 mal 3, was gleich 0 ist. Das stimmt auch. Diese Definiton trifft also auch zu. Und das, obwohl diese beiden Definitionen unterschiedlich aussehen. Und das, obwohl diese beiden Definitionen unterschiedlich aussehen. Man kann sie jedoch algebraisch umformen, um zu sehen, dass die beiden identisch sind. Man kann sie jedoch algebraisch umformen, um zu sehen, dass die beiden identisch sind. Bei der ersten haben wir -100, plus -- wir teilen diese 50 auf, Bei der ersten haben wir -100, plus -- wir teilen diese 50 auf, plus 50n minus 50. -100 minus 50, das ergibt -150. Und dann haben wir plus 50n. Diese beiden sind also algebraisch vollkommen identische Definitionen unserer Funktion. Diese beiden sind also algebraisch vollkommen identische Definitionen unserer Funktion. Wie sieht es hier aus? -100 plus 50n, funktioniert das? Schauen wir, bei n=1, hätten wir -100 plus 50, was -50 ergibt. Das passt nicht. Wir benötigen hier -100. Diese hier ist also nicht korrekt.