If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Wenn du hinter einem Webfilter bist, stelle sicher, dass die Domänen *. kastatic.org und *. kasandbox.org nicht blockiert sind.

Hauptinhalt

Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 8

Lektion 2: Erstellung von arithmetischen Folgen
Mathematik
Algebra 1
Folgen
Erstellung von arithmetischen Folgen
© 2023 Khan AcademyNutzungsbedingungenDatenschutzerklärungCookie-Meldung

Rekursive & explizite Formen von arithmetischen Folgen umwandeln

Google Classroom
Lerne zwischen rekursiven und expliziten Formeln von arithmetischen Folgen zu konvertieren.
Bevor du diese Lektion bearbeitest, solltest du wissen, wie man rekursive Formeln und explizite Formeln von arithmetischen Folgen bestimmt.

Einer rekursiven Formel in eine explizite Formel umwandeln

Eine arithmetische Folge hat die folgende rekursive Formel.
{a(1)=3a(n)=a(n−1)+2\begin{cases} a(1)=\greenE 3 \\\\ a(n)=a(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}
Erinnere dich, dass diese Formel und die folgenden zwei Informationen angibt:
  • Der erste Term ist start color #0d923f, 3, end color #0d923f
  • Um einen Term von seinem vorherigen Term aus zu erhalten, add start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6. Mit anderen Worten ist die gemeinsame Differenz start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Wir wollen eine eindeutige Formel für die Folge finden.
Erinnere dich, dass wir eine Folge, deren erster Term start color #0d923f, A, end color #0d923f ist und deren gemeinsame Differenz start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 ist ,mit der normalen eindeutigen Form start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis darstellen.
Daher ist eine eindeutige Formel für die Folge a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 2, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Schreibe eine eindeutige Formel für die Folge.
{b(1)=−22b(n)=b(n−1)+7\begin{cases} b(1)=-22 \\\\ b(n)=b(n-1)+7 \end{cases}
b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

2) Schreibe eine eindeutige Formel für die Folge.
{c(1)=8c(n)=c(n−1)−13\begin{cases} c(1)=8 \\\\ c(n)=c(n-1)-13 \end{cases}
c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

Von einer expliziten Formel in eine rekursive Formel umwandeln

Beispiel 1: Formel ist in der Standardform gegeben

Wir haben die folgende eindeutige Formel einer arithmetischen Folge.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 16, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Diese Formel ist in der allgemeinen eindeutigen Form ist start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis gegeben, wobei start color #0d923f, A, end color #0d923f der erste Term ist und start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 die gemeinsame Differenz ist. Daher ist,
  • der erste Term der Folge ist start color #0d923f, 5, end color #0d923f, und
  • die gemeinsame Differenz ist start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6.
Wir wollen eine rekursive Formel für die Folge ermitteln. Erinnere dich, dass die rekursive Formel uns zwei Informationen angibt:
  1. Der erste Term left parenthesisvon dem wir wissen, dass er start color #0d923f, 5, end color #0d923f ist)
  2. Die Schema-Regel um einen beliebigen Term von dem Term vorher zu erhalten left parenthesis die wir kennen ist "addieren start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6"right parenthesis
Daher ist die rekrusive Formel für die Folge.
{d(1)=5d(n)=d(n−1)+16\begin{cases} d(1)=\greenE 5\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{+16} \end{cases}

Beispiel 2: Formel ist in der vereinfachten Form gegeben

Wir haben die folgende eindeutige Formel einer arithmetischen Folge.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, n
Beachte, dass diese Formel nicht in der normalen eindeutigen Form start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis gegeben ist.
Aus diesem Grund können wir nicht einfach die Struktur der Formel benutzen um den ersten Term und die gemeinsame Differenz zu finden, stattdessen können wir die ersten zwei Terme finden:
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, 12
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 2, end color #11accd, equals, 14
Nun können wir sehen, dass der erste Term start color #0d923f, 12, end color #0d923f ist und die gemeinsame Differenz start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 ist.
Daher ist die rekrusive Formel für die Folge.
{e(1)=12e(n)=e(n−1)+2\begin{cases} e(1)=\greenE{12}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}

Überprüfe, ob du es verstanden hast

3) Die eindeutige Formel einer arithmetischen Folge ist f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 5, plus, 12, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Ergänze die fehlenden Werte in der rekursiven Formel der Folge.
{f(1)=Af(n)=f(n−1)+B\begin{cases} f(1)=A\\\\ f(n)=f(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
B, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

4) Die eindeutige Formel einer arithmetischen Folge ist g, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 11, minus, 8, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Ergänze die fehlenden Werte in der rekursiven Formel der Folge.
{g(1)=Ag(n)=g(n−1)+B\begin{cases} g(1)=A\\\\ g(n)=g(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
B, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

5) Die eindeutige Formel einer arithmetischen Folge ist h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 1, plus, 4, n.
Ergänze die fehlenden Werte in der rekursiven Formel der Folge.
{h(1)=Ah(n)=h(n−1)+B\begin{cases} h(1)=A\\\\ h(n)=h(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
B, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

6) Die eindeutige Formel einer arithmetischen Folge ist i, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 23, minus, 6, n.
Ergänze die fehlenden Werte in der rekursiven Formel der Folge.
{i(1)=Ai(n)=i(n−1)+B\begin{cases} i(1)=A\\\\ i(n)=i(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
B, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Challenge Aufgabe

7*) Wähle alle Formeln, die die arithmetische Folge 101, comma, 114, comma, 127, comma, point, point, point richtig darstellt.
Wähle alle zutreffenden Lösungen:

Willst du an der Diskussion teilnehmen?

Anmelden
Noch keine Beiträge.
Verstehst du Englisch? Klick hier, um weitere Diskussionen auf der englischen Khan Academy Seite zu sehen.