Exponentialgleichungen mit rationalen Lösungen

Hier haben wir 3 hoch a (3^a). Hier haben wir 3 hoch a (3^a). Hier haben wir 3 hoch a (3^a). 3 hoch a ist gleich die fünfte Wurzel von 3 quadrat (3^2). Und wir müssen herausfinden was a ist. Lösen wir nach a. Ich schlage vor, ihr drückt jetzt Pause und versucht es erst alleine. Also, wenn man hier die fünfte Wurzel hat könnte man, um diese fünfte Wurzel aufzulösen, alles hoch 5 nehmen. Natürlich kann man nicht nur eine Seite der Gleichung hoch 5 nehmen. Was wir auf eine Seite machen, müssen wir auf der anderen Seite machen, damit es gleich bleibt. Nehmen wir beide Seiten dieser Gleichung hoch 5. Nehmen wir beide Seiten dieser Gleichung hoch 5. Nehmen wir beide Seiten dieser Gleichung hoch 5. Hier links-- wir erinnern uns an die Potenzregeln. 3a hoch 5. Und wenn wir überlegen, woher das eigentlich kommt, ist es das Gleiche wie 3 hoch a mal 3 hoch a mal 3 hoch a mal 3 hoch a mal 3 hoch a (fünf Mal). Und das ist gleich....? Es ist gleich 3 hoch a plus a plus a plus a plus a (fünf Mal), was das Gleiche ist wie 3 hoch 5a. Die Potenzregel hier ist: Nimmt man eine Basis hoch einen Exponenten, und dann diesen ganzen Term hoch einen zweiten Exponenten ist es das Gleiche wie diese Basis hoch dem Produkt dieser zwei Exponenten. Wir schreiben die linke Seite um zu 3 hoch 5a ist gleich-- Na ja, nimmt man eine fünfte Wurzel hoch 5 hat man einfach den Radikand übrig. Das ist gleich 3 hoch 2. Jetzt wird alles viel klarer. 3 hoch 5a muss gleich 3 hoch 2 sein. Anders gesagt-- wir haben ja auf beiden Seiten die gleiche Basis. Also muss dieser Exponent gleich diesem Exponent hier sein. Wir können auch schreiben: 5a muss gleich 2 sein. Jetzt können wir beide Seiten durch 2 teilen. Und heraus kommt a ist gleich 2/5. Und heraus kommt a ist gleich 2/5. Und das ist ein interessantes Ergebnis. Und daran ist ganz cool dass man quasi die Motivation sieht für die Definition von rationalen Exponenten. Setzen wir es wieder in die erste Gleichung ein. Wir haben gerade nach a gelöst. Und haben herausgefunden, dass 3 hoch 2/5-- warte, ich benutze mehr Farben, ich glaube, das wird interessant-- 3 hoch 2/5 ist gleich die fünfte Wurzel. Hier, die fünfte Wurzel. Der Nenner hier ist die Wurzel. Also die fünfte Wurzel von 3 hoch 2. Nimmt man diese Basis 3, hoch 2, aber zieht man dann die fünfte Wurzel ist es das Gleiche, wie diese 3 hoch 2/5 zu nehmen. Guck mal. Nimm diese 3, nimm sie hoch 2, und ziehe dann die fünfte Wurzel davon. Oder wenn du diese Regel hier anwendest, kannst du es so umschreiben. Das ist das Gleiche wie 3 hoch 2. Und dann nimmst du das hoch 1/5. Das haben wir hier hinten gesehen. Du kannst einfach die zwei Exponenten multiplizieren. Du hättest 3 hoch 2/5. Und das ist das Gleiche wie 3 zum quadrat und dann die fünfte Wurzel davon. 3 hoch 2, und dann einfach die fünfte Wurzel ziehen.