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Video-Transkript

Lasst uns ein wenig Erfahrung sammeln beim Vereinfachen von Wurzeln mit Variabeln. Lasst uns ein wenig Erfahrung sammeln beim Vereinfachen von Wurzeln mit Variabeln. Nehmen wir z.B. 2 Wurzel 7x mal 3 Wurzel 14x². Nehmen wir z.B. 2 Wurzel 7x mal 3 Wurzel 14x². Nehmen wir z.B. 2 Wurzel 7x mal 3 Wurzel 14x². Nehmen wir z.B. 2 Wurzel 7x mal 3 Wurzel 14x². Nehmen wir z.B. 2 Wurzel 7x mal 3 Wurzel 14x². Pausiert das Video und versucht es zunächst selbst. Zuerst multiplizieren und dann jegliche Quadratzahlen aus der Wurzel bilden. Zuerst multiplizieren und dann jegliche Quadratzahlen aus der Wurzel bilden. Zuerst multiplizieren und dann jegliche Quadratzahlen aus der Wurzel bilden. Nun, multiplizieren wir das hier zuerst. Nun, multiplizieren wir das hier zuerst. Wir können die Multiplikationsreihenfolge ändern. Wir können die Multiplikationsreihenfolge ändern. Das ist dasselbe wie 2 mal 3 mal Wurzel 7x mal Wurzel 14x². Das ist dasselbe wie 2 mal 3 mal Wurzel 7x mal Wurzel 14x². Das ist dasselbe wie 2 mal 3 mal Wurzel 7x mal Wurzel 14x². Das ist dasselbe wie 2 mal 3 mal Wurzel 7x mal Wurzel 14x². Das ist dasselbe wie 2 mal 3 mal Wurzel 7x mal Wurzel 14x². Das ist gleich 6, und dann das Produkt zweier Wurzeln. Das ist gleich 6, und dann das Produkt zweier Wurzeln. Das ist gleich 6, und dann das Produkt zweier Wurzeln. Das ist die Wurzel des Produktes. Also 6 mal Wurzel - genau wie hier - mal Wurzel von 7 mal x mal... die 14 faktorisiere ich: Also 6 mal Wurzel - genau wie hier - mal Wurzel von 7 mal x mal... die 14 faktorisiere ich: Also 6 mal Wurzel - genau wie hier - mal Wurzel von 7 mal x mal... die 14 faktorisiere ich: Also 6 mal Wurzel - genau wie hier - mal Wurzel von 7 mal x mal... die 14 faktorisiere ich: Also 6 mal Wurzel - genau wie hier - mal Wurzel von 7 mal x mal... die 14 faktorisiere ich: Also 6 mal Wurzel - genau wie hier - mal Wurzel von 7 mal x mal... die 14 faktorisiere ich: Also 6 mal Wurzel - genau wie hier - mal Wurzel von 7 mal x mal... die 14 faktorisiere ich: Also 6 mal Wurzel - genau wie hier - mal Wurzel von 7 mal x mal... die 14 faktorisiere ich: 14 ist 2 mal 7 mal x². 14 ist 2 mal 7 mal x². 14 ist 2 mal 7 mal x². 14 ist 2 mal 7 mal x². Jetzt muss ich aber noch meine Wurzel etwas größer machen. Jetzt muss ich aber noch meine Wurzel etwas größer machen. Ich habe hier nicht ausmultipliziert. Das hätten wir auch machen können: x mal x² ist x hoch 3. Das hätten wir auch machen können: x mal x² ist x hoch 3. Und dann 7 mal 14 ist 98. Und dann 7 mal 14 ist 98. Und dann 7 mal 14 ist 98. Und dann 7 mal 14 ist 98. Das ginge auch. Aber sobald man faktorisiert, ist es einfacher, wenn es bereits in faktorisierter Form vorliegt. Aber sobald man faktorisiert, ist es einfacher, wenn es bereits in faktorisierter Form vorliegt. Das hier kann man nämlich aus Sicht der Variablen bereits als Quadratzahl betrachten. Das hier kann man nämlich aus Sicht der Variablen bereits als Quadratzahl betrachten. Das hier kann man nämlich aus Sicht der Variablen bereits als Quadratzahl betrachten. Das hier kann man nämlich aus Sicht der Variablen bereits als Quadratzahl betrachten. 14 ist keine Quadratzahl, ebenso 7 nicht, aber 7 mal 7 ist eine Quadratzahl, und zwar 49. 14 ist keine Quadratzahl, ebenso 7 nicht, aber 7 mal 7 ist eine Quadratzahl, und zwar 49. 14 ist keine Quadratzahl, ebenso 7 nicht, aber 7 mal 7 ist eine Quadratzahl, und zwar 49. 14 ist keine Quadratzahl, ebenso 7 nicht, aber 7 mal 7 ist eine Quadratzahl, und zwar 49. 14 ist keine Quadratzahl, ebenso 7 nicht, aber 7 mal 7 ist eine Quadratzahl, und zwar 49. 14 ist keine Quadratzahl, ebenso 7 nicht, aber 7 mal 7 ist eine Quadratzahl, und zwar 49. Also schreiben wir das etwas um, um zu sehen, wie wir weitermachen können. Also schreiben wir das etwas um, um zu sehen, wie wir weitermachen können. Wir haben also 6 mal - die Quadratzahl als erstes, 49, diese beiden hier, 7 mal 7... Wir haben also 6 mal - die Quadratzahl als erstes, 49, diese beiden hier, 7 mal 7... Wir haben also 6 mal - die Quadratzahl als erstes, 49, diese beiden hier, 7 mal 7... Wir haben also 6 mal - die Quadratzahl als erstes, 49, diese beiden hier, 7 mal 7... Wir haben also 6 mal - die Quadratzahl als erstes, 49, diese beiden hier, 7 mal 7... Wir haben also 6 mal - die Quadratzahl als erstes, 49, diese beiden hier, 7 mal 7... Wir haben also 6 mal - die Quadratzahl als erstes, 49, diese beiden hier, 7 mal 7... Wir haben also 6 mal - die Quadratzahl als erstes, 49, diese beiden hier, 7 mal 7... Wir haben also 6 mal - die Quadratzahl als erstes, 49, diese beiden hier, 7 mal 7... Wir haben also 6 mal - die Quadratzahl als erstes, 49, diese beiden hier, 7 mal 7... ...mal x², also 49x². ...mal x², also 49x². ...mal x², also 49x². Hier kann ich nun erneut die Wurzel trennen. Hier kann ich nun erneut die Wurzel trennen. Hier kann ich nun erneut die Wurzel trennen. Alles was übrig geblieben ist. Ich habe die 7er bereits verwendet, ebenso die x². Ich habe die 7er bereits verwendet, ebenso die x². Also bleibt 2x übrig. Mal Wurzel 2x. Diese beiden Ausdrücke sind äquivalent. Diese beiden Ausdrücke sind äquivalent. Ich hätte eine Wurzel über 49x² mal 2x machen können, was exakt dasselbe wäre, was wir hier haben. Ich hätte eine Wurzel über 49x² mal 2x machen können, was exakt dasselbe wäre, was wir hier haben. Ich hätte eine Wurzel über 49x² mal 2x machen können, was exakt dasselbe wäre, was wir hier haben. Aber wenn man die Wurzel zweier Produkte zieht, ist das dasselbe wie das Produkt zweier Wurzeln. Aber wenn man die Wurzel zweier Produkte zieht, ist das dasselbe wie das Produkt zweier Wurzeln. Aber wenn man die Wurzel zweier Produkte zieht, ist das dasselbe wie das Produkt zweier Wurzeln. Das sind unsere Exponenteneigenschaften. Das ist 6 mal - nun können wir die Wurzel von 49x² ziehen, das ist 7x. Das ist 6 mal - nun können wir die Wurzel von 49x² ziehen, das ist 7x. Das ist 6 mal - nun können wir die Wurzel von 49x² ziehen, das ist 7x. Das ist 6 mal - nun können wir die Wurzel von 49x² ziehen, das ist 7x. Das ist 6 mal - nun können wir die Wurzel von 49x² ziehen, das ist 7x. Das ist 6 mal - nun können wir die Wurzel von 49x² ziehen, das ist 7x. Das ist 6 mal - nun können wir die Wurzel von 49x² ziehen, das ist 7x. (Wurzel 49 ist 7, Wurzel x² ist x.) (Wurzel 49 ist 7, Wurzel x² ist x.) (Wurzel 49 ist 7, Wurzel x² ist x.) Anschließend multiplizieren wir das mit der Wurzel von 2x, was uns auf die Zielgerade bringt. Anschließend multiplizieren wir das mit der Wurzel von 2x, was uns auf die Zielgerade bringt. Anschließend multiplizieren wir das mit der Wurzel von 2x, was uns auf die Zielgerade bringt. Anschließend multiplizieren wir das mit der Wurzel von 2x, was uns auf die Zielgerade bringt. 6 mal 7x ist 42x, mal Wurzel 2x. 6 mal 7x ist 42x, mal Wurzel 2x. Es ist entscheidend, zu begreifen, dass die Wurzel von Produkten dasselbe ist wie das Produkt der Wurzeln. Es ist entscheidend, zu begreifen, dass die Wurzel von Produkten dasselbe ist wie das Produkt der Wurzeln. Es ist entscheidend, zu begreifen, dass die Wurzel von Produkten dasselbe ist wie das Produkt der Wurzeln. Es ist entscheidend, zu begreifen, dass die Wurzel von Produkten dasselbe ist wie das Produkt der Wurzeln. Es ist entscheidend, zu begreifen, dass die Wurzel von Produkten dasselbe ist wie das Produkt der Wurzeln. Es ist entscheidend, zu begreifen, dass die Wurzel von Produkten dasselbe ist wie das Produkt der Wurzeln. Hier könnte man einen Zwischenschritt einbauen. Hier könnte man einen Zwischenschritt einbauen. Wurzel 49x² ist dasselbe wie Wurzel 49 mal Wurzel x². Wurzel 49x² ist dasselbe wie Wurzel 49 mal Wurzel x². Wurzel 49x² ist dasselbe wie Wurzel 49 mal Wurzel x². Wurzel 49x² ist dasselbe wie Wurzel 49 mal Wurzel x². Das bringt uns hier zu Wurzel 49 gleich 7 und Wurzel x² gleich x. Das bringt uns hier zu Wurzel 49 gleich 7 und Wurzel x² gleich x. Das bringt uns hier zu Wurzel 49 gleich 7 und Wurzel x² gleich x. Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an. Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an. Nehmen wir: Wurzel 2a mal Wurzel 14a³mal Wurzel 5a. Nehmen wir: Wurzel 2a mal Wurzel 14a³mal Wurzel 5a. Nehmen wir: Wurzel 2a mal Wurzel 14a³ mal Wurzel 5a. Nehmen wir: Wurzel 2a mal Wurzel 14a³mal Wurzel 5a. Nehmen wir: Wurzel 2a mal Wurzel 14a³mal Wurzel 5a. Nehmen wir: Wurzel 2a mal Wurzel 14a³mal Wurzel 5a. Nehmen wir: Wurzel 2a mal Wurzel 14a³mal Wurzel 5a. Pausiert auch hier bitte das Video und seht, ob ihr das hier selbst vereinfachen könnt. Pausiert auch hier bitte das Video und seht, ob ihr das hier selbst vereinfachen könnt. Multipliziert sie und nehmt alle Quadratzahlen aus der Wurzel. Multipliziert sie und nehmt alle Quadratzahlen aus der Wurzel. Zunächst multiplizieren. Das ist also dasselbe wie Wurzel 2 mal 14 mal 5. Das ist also dasselbe wie Wurzel 2 mal 14 mal 5. Das ist also dasselbe wie Wurzel 2 mal 14 mal 5. Das ist also dasselbe wie die Wurzel von 2 mal 14 mal 5. Zunächst 2 und 5, diese bleiben so, 14 kann ich jedoch faktorisieren als 7 mal 7. Zunächst 2 und 5, diese bleiben so, 14 kann ich jedoch faktorisieren als 7 mal 7. Zunächst 2 und 5, diese bleiben so, 14 kann ich jedoch faktorisieren als 7 mal 7. Zunächst 2 und 5, diese bleiben so, 14 kann ich jedoch faktorisieren als 7 mal 7. Zunächst 2 und 5, diese bleiben so, 14 kann ich jedoch faktorisieren als 7 mal 7. Also haben wir 2 mal - anstatt 14 also 7 mal 7 - mal 5. Also haben wir 2 mal - anstatt 14 also 7 mal 7 - mal 5. Also haben wir 2 mal - anstatt 14 also 7 mal 7 - mal 5. Also haben wir 2 mal - anstatt 14 also 7 mal 7 - mal 5. Dann haben wir noch a mal a³ mal a, das sind dann a hoch 5. Dann haben wir noch a mal a³ mal a, das sind dann a hoch 5. Dann haben wir noch a mal a³ mal a, das sind dann a hoch 5. Dann haben wir noch a mal a³ mal a, das sind dann a hoch 5. (a mal a³ mal a, durch die Exponenten erhalten wir also a hoch 5.) (a mal a³ mal a, durch die Exponenten erhalten wir also a hoch 5.) (a mal a³ mal a, durch die Exponenten erhalten wir also a hoch 5.) Nun, welche Quadratzahlen haben wir hier? Wir sehen bereits eine bei 2 mal 2. Wir sehen bereits eine bei 2 mal 2. a hoch 5 ist zwar keine Quadratzahl, aber unter Betrachtung der Variable a sehr wohl. a hoch 5 ist zwar keine Quadratzahl, aber unter Betrachtung der Variable a sehr wohl. Und zwar a hoch 4 mal a. Und zwar a hoch 4 mal a. Also stellen wir das Ganze hier ein wenig um. Das ist also gleich - stellen wir unsere Quadratzahl nach vorne - Wurzel 4 (2 mal 2)... Das ist also gleich - stellen wir unsere Quadratzahl nach vorne - Wurzel 4 (2 mal 2)... Das ist also gleich - stellen wir unsere Quadratzahl nach vorne - Wurzel 4 (2 mal 2)... Das ist also gleich - stellen wir unsere Quadratzahl nach vorne - Wurzel 4 (2 mal 2)... Das ist also gleich - stellen wir unsere Quadratzahl nach vorne - Wurzel 4 (2 mal 2)... ...mal a hoch 4. Dann unsere Nicht-Quadratzahlen. Mal 7 mal 5 - gleich 35 - also 35 mal a, die habe ich noch nicht benutzt. Mal 7 mal 5 - gleich 35 - also 35 mal a, die habe ich noch nicht benutzt. Mal 7 mal 5 - gleich 35 - also 35 mal a, die habe ich noch nicht benutzt. Mal 7 mal 5 - gleich 35 - also 35 mal a, das wir noch nicht benutzt haben. Mal 7 mal 5 - gleich 35 - also 35 mal a, das wir noch nicht benutzt haben. Mal 7 mal 5 - gleich 35 - also 35 mal a, das wir noch nicht benutzt haben. Mal 7 mal 5 - gleich 35 - also 35 mal a, das wir noch nicht benutzt haben. Und nun wieder dasselbe Vorgehen wie vorher. Und nun wieder dasselbe Vorgehen wie vorher. Und nun wieder dasselbe Vorgehen wie vorher. Das hier ist dasselbe wie Wurzel 4 mal Wurzel a hoch 4. Das hier ist dasselbe wie Wurzel 4 mal Wurzel a hoch 4. Das hier ist dasselbe wie Wurzel 4 mal Wurzel a hoch 4. Wir nutzen dabei die Exponenteneigenschaften. Und dann mal Wurzel 35a. Und dann mal Wurzel 35a. Wurzel aus 4 ist 2. Dies kann man als positive Wurzel betrachten. Dann Wurzel von a hoch 4. Das ist a² und das dann mal Wurzel 35a. Das ist a² und das dann mal Wurzel 35a. Das ist a² und das dann mal Wurzel 35a. Das ist a² und das dann mal Wurzel 35a. Und das war´s. Ein weiteres Beispiel. Und dieses Mal verwenden wir zwei Variablen, was das Ganze aber nicht wirklich komplizierter macht. Und dieses Mal verwenden wir zwei Variablen, was das Ganze aber nicht wirklich komplizierter macht. Und dieses Mal verwenden wir zwei Variablen, was das Ganze aber nicht wirklich komplizierter macht. Versuchen wir nun, die Wurzel von 72x³ z³ zu vereinfachen. Versuchen wir nun, die Wurzel von 72x³ z³ zu vereinfachen. Versuchen wir nun, die Wurzel von 72x³ z³ zu vereinfachen. Versuchen wir nun, die Wurzel von 72x³ z³ zu vereinfachen. Versuchen wir nun, die Wurzel von 72x³ z³ zu vereinfachen. Die Frage ist: Haben wir hier eine Quadratzahl? 72 ist nämlich keine Quadratzahl. Die Frage ist: Haben wir hier eine Quadratzahl? 72 ist nämlich keine Quadratzahl. Die Frage ist: Haben wir hier eine Quadratzahl? 72 ist nämlich keine Quadratzahl. Das sieht man sofort beim Faktorisieren. Man erhält 36 mal 2. 36 ist natürlich eine Quadratzahl. Auch hier sind x³ und z³ keine Quadratzahlen, aber beide enthalten jeweils ein x² bzw. Auch hier sind x³ und z³ keine Quadratzahlen, aber beide enthalten jeweils ein x² bzw. z². Auch hier sind x³ und z³ keine Quadratzahlen, aber beide enthalten jeweils ein x² bzw. Formen wir das um. Das ist dasselbe wie... Das ist dasselbe wie... Das ist dasselbe wie... Zunächst alle Quadratzahlen. 36, dann x² hier rausholen, genauso wie z². 36, dann x² hier rausholen, genauso wie z². 36, dann holen wir x² hier raus, genauso wie z². 36, dann holen wir x² hier raus, genauso wie z². 36, dann holen wir x² hier raus, genauso wie z². Wir haben bereits 36, daher mal 2. Wir haben bereits 36, daher mal 2. Wir haben bereits 36, daher mal 2. Wir haben bereits 36, daher mal 2. Wenn wir hier ein x² herausziehen, bleibt uns ein x übrig. Wenn wir hier ein x² herausziehen, bleibt uns ein x übrig. x³ geteilt durch x² ist gleich x. 2x. Und z³ geteilt durch z² ist gleich z. Und z³ geteilt durch z² ist gleich z. Das prüft man nach, indem man das alles hier ausmultipliziert. Das prüft man nach, indem man das alles hier ausmultipliziert. Man sollte genau das herausbekommen, was wir hier haben. Man sollte genau das herausbekommen, was wir hier haben. Um z nicht mit 2 zu verwechseln, schreibe ich z mit einem Querstrich. Um z nicht mit 2 zu verwechseln, schreibe ich z mit einem Querstrich. 36 mal 2 ist 72. x² mal x ist x³. z² mal z ist z³. Das hier ist zugegebenermaßen sehr direkt. Ich mache ein paar Zwischenschritte welche ihr allein wahrscheinlich auch machen würdet. Ich mache ein paar Zwischenschritte welche ihr allein wahrscheinlich auch machen würdet. Einfach, um es verständlicher zu machen. Einfach, um es verständlicher zu machen. Wurzel 2xz. Wurzel 2xz. Wurzel 2xz. Das sind einfach unsere Exponenteneigenschaften. Das hier sind alles Quadrate. Das ist Wurzel 36 mal Wurzel x² mal Wurzel z². Das ist Wurzel 36 mal Wurzel x² mal Wurzel z². Das ist Wurzel 36 mal Wurzel x² mal Wurzel z². Wurzel 36 ist 6, Wurzel 36 ist 6, Wurzel 36 ist 6, Wurzel x² ist x, Wurzel z² ist z. Das multiplizieren wir noch mit Wurzel 2xz und sind damit fertig. Das multiplizieren wir noch mit Wurzel 2xz und sind damit fertig. Das multiplizieren wir noch mit Wurzel 2xz und sind damit fertig. Das multiplizieren wir noch mit Wurzel 2xz und sind damit fertig. Das multiplizieren wir noch mit Wurzel 2xz und sind damit fertig. Das multiplizieren wir noch mit Wurzel 2xz und sind damit fertig. Das multiplizieren wir noch mit Wurzel 2xz und sind damit fertig. Das multiplizieren wir noch mit Wurzel 2xz und sind damit fertig.