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Beim Berechnen von Wurzeln haben wir bisher immer nur die Quadratwurzel betrachtet. Beim Berechnen von Wurzeln haben wir bisher immer nur die Quadratwurzel betrachtet. Wenn ich dieses Wurzelzeichen schreibe, und eine 9 reinsetze, bedeutet der Term die Haupt Quadratwurzel von 9, deren Wert + 3 ist. Man könnte den Term auch als die positive Quadratwurzel von 9 ansehen. Wenn wir den Term genau so schreiben, meinen wir immer die Quadratwurzel. Wenn wir den Term genau so schreiben, meinen wir immer die Quadratwurzel. Ich hätte es auch ein wenig anders schreiben können. Wenn ich dem Wurzelzeichen hier eine 2 hinzufüge, bedeutet das ebenfalls "Quadratwurzel", Wenn ich dem Wurzelzeichen hier eine 2 hinzufüge, bedeutet das ebenfalls "Quadratwurzel", die Quadratwurzel von 9. Dieser Ausdruck bedeutet, ich muss eine Zahl finden, die mit sich selbst multipliziert 9 ergibt. Dieser Ausdruck bedeutet, ich muss eine Zahl finden, die mit sich selbst multipliziert 9 ergibt. Dieser Wurzelexponent muss jedoch nicht immer 2 sein, also Quadratwurzel bedeuten. Dieser Wurzelexponent muss jedoch nicht immer 2 sein, also Quadratwurzel bedeuten. Ich kann diese Zahl, den Wurzelexponenten ändern, und dann eine beliebige Wurzel einer Zahl berechnen. Ich kann diese Zahl, den Wurzelexponenten ändern, und dann eine beliebige Wurzel einer Zahl berechnen. Ich könnte euch zum Beispiel fragen, was die Kubikwurzel, die 3. Wurzel von 27 ist. Ich könnte euch zum Beispiel fragen, was die Kubikwurzel, die 3. Wurzel von 27 ist. Ich könnte euch zum Beispiel fragen, was die Kubikwurzel, die 3. Wurzel von 27 ist. Was tun wir nun? Die 3. Wurzel von 27 ist eine Zahl, deren 3. Potenz, die also hoch 3 genau 27 ergibt. Die 3. Wurzel von 27 ist eine Zahl, deren 3. Potenz, die also hoch 3 genau 27 ergibt. Die einzige Zahl, deren 3. Potenz 27 ergibt, ist genau 3. Die einzige Zahl, deren 3. Potenz 27 ergibt, ist genau 3. 3 x 3 x 3 = 9 x 3 = 27 3 x 3 x 3 = 9 x 3 = 27 Ganz ähnlich können wir noch mehr berechnen. Wenn ich die 4. Wurzel von 16 suche, brauche ich eine Zahl, die 4 x mit sich selbst multipliziert 16 ergibt. Welche Zahl erfüllt diese Forderung? die 4 x mit sich selbst multipliziert 16 ergibt. Welche Zahl erfüllt diese Forderung? Wenn euch das Ergebnis nicht sofort anlacht, könnt ihr vorher eine Primfaktorzerlegung machen. Wenn euch das Ergebnis nicht sofort anlacht, könnt ihr vorher eine Primfaktorzerlegung machen. Dann lasst uns mal schauen, wie wir 16 zerlegen können. Dann lasst uns mal schauen, wie wir 16 zerlegen können. 16 ist gleich 2 x 8 und 8 ist wiederum 2 x 4. 16 ist gleich 2 x 8 und 8 ist wiederum 2 x 4. 4 ist 2 x 2. Also ist der Ausdruck hier gleich der 4. Wurzel aus 2 x 2 x 2 x 2. Also ist der Ausdruck hier gleich der 4. Wurzel aus 2 x 2 x 2 x 2. Da ich hier 4 Zweier habe, die miteinander multipliziert werden, ist die 4. Wurzel davon genau 2. Da ich hier 4 Zweier habe, die miteinander multipliziert werden, ist die 4. Wurzel davon genau 2. Da ich hier 4 Zweier habe, die miteinander multipliziert werden, ist die 4. Wurzel davon genau 2. Du könntest das auch als die 4. Hauptwurzel bezeichnen, Du könntest das auch als die 4. Hauptwurzel bezeichnen, denn wenn all diese zweier negative Vorzeichen hätten, würde es trotzdem funktionieren. denn wenn all diese zweier negative Vorzeichen hätten, würde es trotzdem funktionieren. Genauso wie es mehrere Quadratwurzeln gibt, gibt es auch mehrere 4. Wurzeln. Genauso wie es mehrere Quadratwurzeln gibt, gibt es auch mehrere 4. Wurzeln. Das Wurzelzeichen bedeutet jedoch Hauptwurzel. Wir haben bereits Quadratwurzeln vereinfacht, Wir haben bereits Quadratwurzeln vereinfacht, hoffentlich gelingt uns das auch mit höhergradigen Wurzeln. hoffentlich gelingt uns das auch mit höhergradigen Wurzeln. Versuchen wir uns an ein paar Vereinfachungen! Lasst uns zum Beispiel die 5. Wuzel von 96 nehmen. Lasst uns zum Beispiel die 5. Wuzel von 96 nehmen. Wie eben müssen wir auch hier 96 faktorisieren. 96 lässt sich als 2 x 48 schreiben, und 48 = 2 x 24. 96 lässt sich als 2 x 48 schreiben, und 48 = 2 x 24. 24 ist 2 x 12 und 12 ist gleich 2 x 6. 24 ist 2 x 12 und 12 ist gleich 2 x 6. 6 = 2 x 3. Also ist die 5. Wurzel von 96 gleich der 5. Wurzel von 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3. Also ist die 5. Wurzel von 96 gleich der 5. Wurzel von 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3. Also ist die 5. Wurzel von 96 gleich der 5. Wurzel von 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3. Also ist die 5. Wurzel von 96 gleich der 5. Wurzel von 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3. Man könnte den Ausdruck auch als Zahl mit einem Bruch als Exponenten schreiben, Man könnte den Ausdruck auch als Zahl mit einem Bruch als Exponenten schreiben, Wir haben bereits besprochen, wie ich das mit einem Bruch als Exponent darstellen kann. Wir haben bereits besprochen, wie ich das mit einem Bruch als Exponent darstellen kann. Das hier ist das gleiche wie: 2x2x2x2x2x3 hoch 1/5. Das hier ist das gleiche wie: 2x2x2x2x2x3 hoch 1/5. Um es nochmal allgemeiner zu sagen: die n-te Wurzel einer Zahl ist das gleiche wie die Zahl hoch 1/n (n. Wurzel von x = x hoch 1/n) die n-te Wurzel einer Zahl ist das gleiche wie die Zahl hoch 1/n (n. Wurzel von x = x hoch 1/n) Diese beiden Ausdrücke hier bedeuten genau dasselbe. Diese beiden Ausdrücke hier bedeuten genau dasselbe. Wenn ich sage (2x2x2x2x2x3)hoch 1/5, ist das das selbe wie die 5. Wurzel von 2x2x2x2x2x3. Wenn ich sage (2x2x2x2x2x3)hoch 1/5, ist das das selbe wie die 5. Wurzel von 2x2x2x2x2x3. Wenn ich sage (2x2x2x2x2x3)hoch 1/5, ist das das selbe wie die 5. Wurzel von 2x2x2x2x2x3. Nun habe ich 5 x die 2 mit sich selbst multipliziert, und ich nehme das hoch 1/5. Nun habe ich 5 x die 2 mit sich selbst multipliziert, und ich nehme das hoch 1/5. Nun habe ich 5 x die 2 mit sich selbst multipliziert, und ich nehme das hoch 1/5. Die 5. Wurzel davon ist also 2. Die 5. Wurzel davon ist also 2. Damit steht dann da 2 x (3 hoch 1/5) Damit steht dann da 2 x (3 hoch 1/5) Der Ausdruck ist nun soweit wie möglich vereinfacht. Der Ausdruck ist nun soweit wie möglich vereinfacht. Wenn wir das in Wurzelform ausdrücken möchten, steht dann da: 2 x die 5. Wurzel von 3. Wenn wir das in Wurzelform ausdrücken möchten, steht dann da: 2 x die 5. Wurzel von 3. Nun lasst uns eine weitere Wurzel berechnen. Dazu fahre ich ein wenig runter und schreibe neue Zahlen auf. Dazu fahre ich ein wenig runter und schreibe neue Zahlen auf. Nehmen wir an, wir möchten die 6. Wurzel von 64 mal x hoch 8 berechnen. Nehmen wir an, wir möchten die 6. Wurzel von 64 mal x hoch 8 berechnen. Zunächst die 64. 64 = 2 x 32, 32 = 2 x 16 und 16 wiederum 2 x 8. 64 = 2 x 32, 32 = 2 x 16 und 16 wiederum 2 x 8. 8 ist gleich 2 x 4, und 4 ist gleich 2 x 2. 8 ist gleich 2 x 4, und 4 ist gleich 2 x 2. Damit habe ich hier 6 x die 2, also genau 2 hoch 6. Damit habe ich hier 6 x die 2, also genau 2 hoch 6. Also ist der Ausdruck äquivalent zu: 6. Wurzel aus 2 hoch 6 mal x hoch 8. Also ist der Ausdruck äquivalent zu: 6. Wurzel aus 2 hoch 6 mal x hoch 8. Die 6 Wurzel aus 2 hoch 6 ist recht klar, Die 6 Wurzel aus 2 hoch 6 ist recht klar, also kann ich dafür auch 2 x die 6. Wurzel von x hoch 8 schreiben. also kann ich dafür auch 2 x die 6. Wurzel von x hoch 8 schreiben. also kann ich dafür auch 2 x die 6. Wurzel von x hoch 8 schreiben. also kann ich dafür auch 2 x die 6. Wurzel von x hoch 8 schreiben. Wie können wir das weiter vereinfachen? Nun, x hoch 8 ist das gleiche wie x hoch 6 mal x Quadrat. Nun, x hoch 8 ist das gleiche wie x hoch 6 mal x Quadrat. Bei der selben Basis addieren sich die Exponenten und x hoch 6 mal x Quadrat ergibt x hoch 8. Bei der selben Basis addieren sich die Exponenten und x hoch 6 mal x Quadrat ergibt x hoch 8. Also darf ich dafür auch schreiben: 2 mal die 6. Wurzel von x hoch 6 mal x hoch 2 . Also darf ich dafür auch schreiben: 2 mal die 6. Wurzel von x hoch 6 mal x hoch 2 . Die 6. Wurzel von x hoch 6 ist einfach x. Die 6. Wurzel von x hoch 6 ist einfach x. Dieser Ausdruck ist also das Gleiche wie: 2x mal die 6. Wurzel von x Quadrat. Dieser Ausdruck ist also das Gleiche wie: 2x mal die 6. Wurzel von x Quadrat. Mit dem Wissen aus den letzten Aufgaben können wir das noch weiter vereinfachen. Mit dem Wissen aus den letzten Aufgaben können wir das noch weiter vereinfachen. Dieser Term ist exakt das Gleiche wie: x Quadrat hoch 1/6. Dieser Term ist exakt das Gleiche wie: x Quadrat hoch 1/6. Hier brauchen wir die Regeln für Exponenten. Wenn ich X Quadrat hoch 1/6 nehme, dann ist das das Gleiche wie X hoch 2 mal 1/6. Wenn ich X Quadrat hoch 1/6 nehme, dann ist das das Gleiche wie X hoch 2 mal 1/6. Wenn ich X Quadrat hoch 1/6 nehme, dann ist das das Gleiche wie X hoch 2 mal 1/6. Wenn ich X Quadrat hoch 1/6 nehme, dann ist das das Gleiche wie X hoch 2 mal 1/6. Zu dem Ausdruck gehören ja noch die 2x, lasst mich die schnell hinschreiben. Zu dem Ausdruck gehören ja noch die 2x, lasst mich die schnell hinschreiben. Das ist das Gleiche wie: 2x mal x hoch 2/6 Das ist das Gleiche wie: 2x mal x hoch 2/6 Die einfachste Form wäre dann 2x mal x hoch 1/3 Die einfachste Form wäre dann 2x mal x hoch 1/3 Auch das können wir in Wurzelschreibweise darstellen. Auch das können wir in Wurzelschreibweise darstellen. Der Ausdruck ist also das Gleiche wie: 2x mal die 3. Wurzel von x Der Ausdruck ist also das Gleiche wie: 2x mal die 3. Wurzel von x Wir hätten von hier oben aus auch anders vorgehen können. Wir hätten von hier oben aus auch anders vorgehen können. Wir hätten von oben ausgehend auch Folgende Umformung machen können: 2 x die 6. Wurzel von x hoch 8 ist gleich: 2 mal x hoch 8 hoch 1/6. 2 x die 6. Wurzel von x hoch 8 ist gleich: 2 mal x hoch 8 hoch 1/6. 2 x die 6. Wurzel von x hoch 8 ist gleich: 2 mal x hoch 8 hoch 1/6. Weiter berechnet ergibt das: 2 mal x hoch 8/6 Weiter berechnet ergibt das: 2 mal x hoch 8/6 Nach Kürzen des Bruchs erhalten wir: 2 mal x hoch 4/3 Nach Kürzen des Bruchs erhalten wir: 2 mal x hoch 4/3 Dieser Ausdruck hier links und dieser auf der rechten Seite sind äquivalent. Warum darf ich das sagen? Nun, wir haben hier die gleiche Basis x, einmal quasi hoch 1 und einmal hoch 1/3. Nun, wir haben hier die gleiche Basis x, einmal quasi hoch 1 und einmal hoch 1/3. Daher kann ich auch 2 mal x hoch 1+1/3 schreiben, und das ist genau 2 mal x hoch 4/3. Daher kann ich auch 2 mal x hoch 1+1/3 schreiben, und das ist genau 2 mal x hoch 4/3. Ich hoffe, diese kleine Übung zu höhergradigen Wurzeln war ein wenig interessant. Ich hoffe, diese kleine Übung zu höhergradigen Wurzeln war ein wenig interessant. Ich finde es hilfreich, den Ausdruck in der Wurzel zu zerlegen. Hier war die Frage zum Beispiel, in welchen Primfaktor ich 64 mindestens 6 mal zerlegen kann. Dadurch konnte ich herausfinden, dass 2 hoch 6 = 64 ist. Wie gesagt, ich hoffe diese Übung hat euch ein wenig weitergeholfen.