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Video-Transkript

Lasst uns mal schauen, ob wir herausfinden können, was 256 hoch 4/7, geteilt durch 2 hoch 4/7 ist. was 256 hoch 4/7, geteilt durch 2 hoch 4/7 ist. Haltet auch jetzt das Video wieder an und versucht es erst einmal selbst. Haltet auch jetzt das Video wieder an und versucht es erst einmal selbst. Und nun lasst uns das zusammen durchgehen. Zunächst mag die Aufgabe abschreckend wirken, insbesondere mit "hoch 4/7". Zunächst mag die Aufgabe abschreckend wirken, insbesondere mit "hoch 4/7". Das ist ja noch nicht einmal eine ganze Zahl, wie soll ich das denn lösen? Das ist ja noch nicht einmal eine ganze Zahl, wie soll ich das denn lösen? Ach ja, ich hätte noch sagen sollen: ihr dürft keinen Taschenrechner verwenden. Ach ja, ich hätte noch sagen sollen: ihr dürft keinen Taschenrechner verwenden. Der Schlüssel dazu sind die Rechenregeln für Exponenten, um das Ganze zu vereinfachen. Der Schlüssel dazu sind die Rechenregeln für Exponenten, um das Ganze zu vereinfachen. Dann funktioniert das auch im Kopf. Der Zusammenhang, der euch vielleicht auffällt, ist die Regel, dass x hoch a geteilt durch y hoch a das Gleiche ist wie (x / y) hoch a. ist die Regel, dass x hoch a geteilt durch y hoch a das Gleiche ist wie (x / y) hoch a. ist die Regel, dass x hoch a geteilt durch y hoch a das Gleiche ist wie (x / y) hoch a. ist die Regel, dass x hoch a geteilt durch y hoch a das Gleiche ist wie (x / y) hoch a. In unserem Beispiel ist x = 256 und y = 2, a = 4/7. In unserem Beispiel ist x = 256 und y = 2, a = 4/7. Damit können wir unseren Ausgangsterm nun umschreiben. Der linke Term ist gleich: (256 / 2) hoch 4/7 Der linke Term ist gleich: (256 / 2) hoch 4/7 Das sieht doch schon gleich freundlicher aus. Das können wir nun schon vereinfachen, da wir 256/2 berechnen können, das ist 128. Ich darf also 128 hoch 4/7 schreiben. Das mag nun auch etwas schwieriger scheinen, denn wie potenziere ich 128 mit einem Bruch? Wir müssen uns aber nur in den Kopf rufen, dass dies hier dasselbe ist wie 128 hoch 1/7, dass dies hier dasselbe ist wie 128 hoch 1/7, hoch 4. Wir könnten den Bruch auch anders angehen, also (128 hoch 4)^7, Wir könnten den Bruch auch anders angehen, also (128 hoch 4)^7, 128 zunächst hoch 4 und das Ganze dann hoch 1/7, aber 128 viermal mit sich selbst multiplizieren, das ist eine schwierige Rechnung, aber 128 viermal mit sich selbst multiplizieren, das ist eine schwierige Rechnung, und davon müssten wir dann die 7. Wurzel finden. Das scheint sehr schwierig, daher lassen wir das hier, aber was ist mit der kleineren Potenz? Was ergibt 128 hoch 1/7? aber was ist mit der kleineren Potenz? Was ergibt 128 hoch 1/7? Die 4. Potenz davon könnte einfacher zu berechnen sein. Der Aufgabensteller, das bin in dem Fall ich, Der Aufgabensteller, das bin in dem Fall ich, gab ja den Hinweis "keinen Taschenrechner zu benutzen". gab ja den Hinweis "keinen Taschenrechner zu benutzen". Dann ist die Aufgabe doch wahrscheinlich irgendwie einfacher zu lösen. Dann ist die Aufgabe doch wahrscheinlich irgendwie einfacher zu lösen. Dann ist die Aufgabe doch wahrscheinlich irgendwie einfacher zu lösen. Hier gilt es, 128 als eine Potenz von 2 zu erkennen, und 128 ist gleich 2 hoch 7, das können wir verifizieren. Mal sehen, 2 hoch 1 ist 2, mal 2 gleich 4, 8, 16... Mal sehen, 2 hoch 1 ist 2, mal 2 gleich 4, 8, 16... ... 32, 64, 128. Zweimal zwei ist 4, mal zwei ist 8, mal zwei ergibt 16, mal zwei gleich 32, Zweimal zwei ist 4, mal zwei ist 8, mal zwei ergibt 16, mal zwei gleich 32, 32 x 2 = 64, mal zwei ergibt 128. 2 hoch 7 ist also = 128. 2 hoch 7 ist also = 128. Anders ausgedrückt: 128 hoch 1/7 Anders ausgedrückt: 128 hoch 1/7 128 hoch 1/7 = 2. 128 hoch 1/7 = 2. Man könnte auch sagen, die 7. Wurzel von 128 = 2. Man könnte auch sagen, die 7. Wurzel von 128 = 2. Man könnte auch sagen, die 7. Wurzel von 128 = 2. Das hier oben können wir nun vereinfachen. Das ist gleich 2. Damit wird aus dem gesamten Ausdruck nun 2 hoch 4. Und das ist 2 x 2 x 2 x 2. Und das ist 2 x 2 x 2 x 2. 2 viermal mit sich selbst multipliziert, 2 hoch 4 = 16. 2 viermal mit sich selbst multipliziert, 2 hoch 4 = 16. 2 viermal mit sich selbst multipliziert, 2 hoch 4 = 16. Und damit sind wir fertig! Und damit sind wir fertig! Und damit sind wir fertig! Dieser hochkompliziert scheinende Ausdruck war vereinfacht nur noch 2 hoch 4, Dieser hochkompliziert scheinende Ausdruck war vereinfacht nur noch 2 hoch 4, und das ergab 16.