If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Wenn du hinter einem Webfilter bist, stelle sicher, dass die Domänen *. kastatic.org und *. kasandbox.org nicht blockiert sind.

Hauptinhalt
Aktuelle Zeit:0:00Gesamtdauer:5:54

Video-Transkript

Über Terme wie 64 hoch 1/3 haben wir uns bereits Gedanken gemacht. Über Terme wie 64 hoch 1/3 haben wir uns bereits Gedanken gemacht. Wir haben gesehen, dass das exakt das Gleiche wie die Kubikwurzel von 64 ist. Wir haben gesehen, dass das exakt das Gleiche wie die Kubikwurzel von 64 ist. Wir wissen, dass 4 x 4 x 4, oder 4 hoch 3 gleich 64 ist. Wir wissen, dass 4 x 4 x 4, oder 4 hoch 3 gleich 64 ist. Suchen wir die Kubikwurzel von 64, dann suchen wir eine Zahl, Suchen wir die Kubikwurzel von 64, dann suchen wir eine Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert (Zahl x Zahl x Zahl) gleich 64 ist. die dreimal mit sich selbst multipliziert (Zahl x Zahl x Zahl) gleich 64 ist. Wir wissen, diese Zahl lautet 4. Nun betrachten wir etwas komplexere Brüche als Exponenten. Nun betrachten wir etwas komplexere Brüche als Exponenten. Dieser Bruch hatte eine 1 im Zähler, die nächsten werden etwas anders aussehen. Dieser Bruch hatte eine 1 im Zähler, die nächsten werden etwas anders aussehen. Nun möchte ich wissen, was 64 hoch 2/3 ergibt. Nun möchte ich wissen, was 64 hoch 2/3 ergibt. Ich werde dazu eine Eigenschaft von Exponenten verwenden, mit der wir uns später mehr beschäftigen werden. Schauen wir uns diese Eigenschaft erst an einer einfachen Zahl an. Schauen wir uns diese Eigenschaft erst an einer einfachen Zahl an. Wenn ich etwas mit 3 potenziere, und das Ganze wiederum mit 4, Wenn ich etwas mit 3 potenziere, und das Ganze wiederum mit 4, dann ist das das Gleiche, wie diese Zahl mit 3 x 4 zu potenzieren. dann ist das das Gleiche, wie diese Zahl mit 3 x 4 zu potenzieren. Man könnte hier also auch 2 hoch 12 sagen, oder (2 hoch 4) hoch 3. Man könnte hier also auch 2 hoch 12 sagen, oder (2 hoch 4) hoch 3. Die Regel lautet: wenn ich etwas potenziere, und das Ganze dann nochmal potenziere, Die Regel lautet: wenn ich etwas potenziere, und das Ganze dann nochmal potenziere, ist das dasselbe, als würde man die Exponenten multiplizieren. All das hier ist gleichwertig. ist das dasselbe, als würde man die Exponenten multiplizieren. All das hier ist gleichwertig. In unserer Aufgabe hier oben können wir sagen: 64 hoch 2/3 = 64 hoch 2x1/3 In unserer Aufgabe hier oben können wir sagen: 64 hoch 2/3 = 64 hoch 2x1/3 Hier können wir umgekehrt vorgehen. Wir könnten sagen, das hier ist doch das Gleiche wie (64 hoch 1/3) hoch 2. Wir könnten sagen, das hier ist doch das Gleiche wie (64 hoch 1/3) hoch 2. Wir könnten sagen, das hier ist doch das Gleiche wie (64 hoch 1/3) hoch 2. Hier potenziere ich wieder etwas, und das Ganze potenziere ich wieder. Hier potenziere ich wieder etwas, und das Ganze potenziere ich wieder. Wenn ich die beiden Exponenten multiplizieren würde, erhielte ich wiederum 64 hoch 2/3. Wenn ich die beiden Exponenten multiplizieren würde, erhielte ich wiederum 64 hoch 2/3. Warum macht die Aufteilung hier Sinn? Nun, wir kennen das Ergebnis von 64 hoch 1/3 bereits, das haben wir eben berechnet. Nun, wir kennen das Ergebnis von 64 hoch 1/3 bereits, das haben wir eben berechnet. Das Ergebnis ist 4. Also dürfen wir sagen - zum besseren Verständnis auch in gelb - Also dürfen wir sagen - zum besseren Verständnis auch in gelb - das hier ist gleich 4 zum Quadrat. das hier ist gleich 4 zum Quadrat, und das ist gleich 16. 64 hoch 2/3 ist also 16. Ich löse das also folgendermaßen: Ich suche die Kubikwurzel von 64, also 4, und das Ganze nehme ich hoch 2. Ich suche die Kubikwurzel von 64, also 4, und das Ganze nehme ich hoch 2. Das bringt mich auf das Ergebnis 16. Ich gebe Euch noch eine haarigere Aufgabe, und versucht mal, die erst selbst zu lösen. Ich gebe Euch noch eine haarigere Aufgabe, und versucht mal, die erst selbst zu lösen. Dann gehen wir das gemeinsam an. Wir betrachten nun 8/27, und den ganzen Bruch werden wir potenzieren, Wir betrachten nun 8/27, und den ganzen Bruch werden wir potenzieren, und zwar mit - 2/3. Also (8/27) hoch - 2/3. Also (8/27) hoch - 2/3. Haltet das Video nun an, und versucht, es einmal selbst zu lösen! Das erste, was ich immer mache, wenn ich einen negativen Exponenten sehe, Das erste, was ich immer mache, wenn ich einen negativen Exponenten sehe, ich überlege, wie ich ihn loswerde. Dazu muss ich wissen, was ein negativer Exponent bedeutet. Dazu muss ich wissen, was ein negativer Exponent bedeutet. Ein negativer Exponent zur Basis ist das Gleiche, wie der Kehrwert der Basis mit positivem Exponent. Ein negativer Exponent zur Basis ist das Gleiche, wie der Kehrwert der Basis mit positivem Exponent. Ein negativer Exponent zur Basis ist das Gleiche, wie der Kehrwert der Basis mit positivem Exponent. Wenn ich das mit den gleichen Farben notiere, dann erkennt man es besser. Wenn ich das mit den gleichen Farben notiere, dann erkennt man es besser. Das ist also gleich (27/8), der Kehrwert des Ausgangsbruchs, Das ist also gleich (27/8), der Kehrwert des Ausgangsbruchs, hoch + 2/3. Zusammen: (27/8) hoch + 2/3. Indem ich also den Kehrwert der Basis nehme, werde ich das negative Vorzeichen los. Indem ich also den Kehrwert der Basis nehme, werde ich das negative Vorzeichen los. 8/27 nennen wir Basis, - 2/3 ist der Exponent. 8/27 nennen wir Basis, - 2/3 ist der Exponent. Wie lösen wir das nun auf? Wir haben bereits Folgendes betrachtet: wenn ich etwas in der Form (Zähler/Nenner) hoch Exponent habe, wenn ich etwas in der Form (Zähler/Nenner) hoch Exponent habe, dann ist das das Gleiche wie: Zähler hoch Exponent / Nenner hoch Exponent dann ist das das Gleiche wie: Zähler hoch Exponent / Nenner hoch Exponent In unserem Fall also 27 hoch 2/3 durch 8 hoch 2/3. In unserem Fall also 27 hoch 2/3 durch 8 hoch 2/3. Das ist eine weitere mächtige Eigenschaft von Exponenten. Nochmal: wenn ich Zähler und Nenner gemeinsam mit einer Zahl potenziere, Nochmal: wenn ich Zähler und Nenner gemeinsam mit einer Zahl x potenziere, ist das das Gleiche, wie Zähler hoch x, durch Nenner hoch x. ist das das Gleiche, wie Zähler hoch x, durch Nenner hoch x. In unserem Fall war x = 2/3. Nun lasst uns das berechnen. Wir sahen eben, dass ich statt 27 hoch 2/3, auch (27 hoch 1/3) hoch 2 schreiben kann, auch (27 hoch 1/3) hoch 2 schreiben kann, da gemäß der Regel 1/3 x 2 wieder 2/3 ergäbe. Ich potenziere also 27 mit 1/3, und nehme das Ganze zum Quadrat, was auch immer das ergibt. Ich potenziere also 27 mit 1/3, und nehme das Ganze zum Quadrat, was auch immer das ergibt. Ich schreibe das extra immer in den gleichen Farben auf. Ich schreibe das extra immer in den gleichen Farben auf. Aus dem Nenner wird (8 hoch 1/3) und das Ganze hoch 2. Aus dem Nenner wird (8 hoch 1/3) und das Ganze hoch 2. Aus dem Nenner wird (8 hoch 1/3) und das Ganze hoch 2. Wir spalten den Exponenten, indem wir zunächst 8 hoch 1/3 nehmen, und 8 hoch 1/3 dann wieder zum Quadrat. Was ergibt das nun? Nun, 27 hoch 1/3 ist die Kubikwurzel von 27, Nun, 27 hoch 1/3 ist die Kubikwurzel von 27, also Zahl x Zahl x Zahl oder Zahl hoch 3 muss 27 ergeben. Vielleicht hast du schon 3 als Lösung gefunden. 3 hoch 3 = 27, andersherum 27 hoch 1/3 = 3. Im Zähler steht damit dann 3 zum Quadrat. Was bleibt im Nenner? Nun, was ergibt 8 hoch 1/3? 2 x 2 x 2 = 8, damit ist 2 hoch 3 gleich 8. Die Kubikwurzel ist die umgekehrte Richtung, also ist 8 hoch 1/3 gleich 2. Die Kubikwurzel ist die umgekehrte Richtung, also ist 8 hoch 1/3 gleich 2. und dann noch potenziert mit... - nein, besser auch in Orange - 8 hoch 1/3 ist gleich 2, das Ganze wiederum zum Quadrat, damit steht hier noch 3 zum Quadrat / 2 zum Quadrat. Als Ergebnis erhält man also 9/4. Wenn du Schritt für Schritt vorgehst, ist es also gar nicht so schlimm. Wenn du Schritt für Schritt vorgehst, ist es also gar nicht so schlimm.