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Potenzen von Produkten & Quotienten (ganzzahlige Exponenten)

Video-Transkript

Wir werden Beispielrechnungen zum potenzieren von Exponenten machen, Wir werden Beispielrechnungen zum potenzieren von Exponenten machen, Wir werden uns vor allem mit ganzzahligen Exponenten beschäftigen. Wir werden uns vor allem mit ganzzahligen Exponenten beschäftigen. Nehmen wir z.B. 3 hoch -8 mal 7 hoch 3, Nehmen wir z.B. 3 hoch -8 mal 7 hoch 3, das wollen wir zu hoch -2 erheben. Bitte pausiert das Video und schaut, ob ihr das hier selbst vereinfachen könnt. Bitte pausiert das Video und schaut, ob ihr das hier selbst vereinfachen könnt. Dafür gibt es einige Möglichkeiten, Dafür gibt es einige Möglichkeiten, das wichtigste jedoch ist, dass wir das Produkt zweier Zahlen haben. Dann erhebt man dies zu einem gewissen Exponenten, was dasselbe ist wie Dann erhebt man dies zu einem gewissen Exponenten, was dasselbe ist wie alle dieser Zahlen einzeln zum Exponenten erhebt und dann das Produkt bildet. alle dieser Zahlen einzeln zum Exponenten erhebt und dann das Produkt bildet. Das hier ist also dasselbe wie 3 hoch -8, hoch -2, Das hier ist also dasselbe wie 3 hoch -8, hoch -2, Das hier ist also dasselbe wie 3 hoch -8, hoch -2, mal 7 hoch 3, hoch -2. mal 7 hoch 3, hoch -2. Beim Vereinfachen von diesem hier, 3 hoch -8, hoch -2, haben wir die andere Potenzregel: Beim Vereinfachen von diesem hier, 3 hoch -8, hoch -2, haben wir die andere Potenzregel: Beim Vereinfachen von diesem hier, 3 hoch -8, hoch -2, haben wir die andere Potenzregel: Wenn man potenziert und dann erneut potenziert, kann man einfach beide exponenten multiplizieren. Wenn man potenziert und dann erneut potenziert, kann man einfach beide Exponenten multiplizieren. Wenn man potenziert und dann erneut potenziert, kann man einfach beide Exponenten multiplizieren. Das ist also 3 hoch -8 mal -2. Das ist also 3 hoch -8 mal -2. -8 mal -2 ist +16, also ist das hier 3 hoch 16. -8 mal -2 ist +16, also ist das hier 3 hoch 16. -8 mal -2 ist +16, also ist das hier 3 hoch 16. -8 mal -2 ist +16, also ist das hier 3 hoch 16. Dieser Teil hier, 7 hoch 3, hoch -2, ist gleich 7 hoch 3 mal -2, Dieser Teil hier, 7 hoch 3, hoch -2, ist gleich 7 hoch 3 mal -2, Dieser Teil hier, 7 hoch 3, hoch -2, ist gleich 7 hoch 3 mal -2, Dieser Teil hier, 7 hoch 3, hoch -2, ist gleich 7 hoch 3 mal -2, was 7 hoch -6 ist. was 7 hoch -6 ist. Weiter kann man das hier nicht vereinfachen. Wir können es auf verschiedene Arten umschreiben. 7 hoch -6 ist dasselbe wie 1/7 hoch 6, 7 hoch -6 ist dasselbe wie 1/7 hoch 6, also kann man es als 3 hoch 16 durch 7 hoch 6 schreiben, was genau dasselbe wie oben ist. also kann man es als 3 hoch 16 durch 7 hoch 6 schreiben, was genau dasselbe wie oben ist. also kann man es als 3 hoch 16 durch 7 hoch 6 schreiben, was genau dasselbe wie oben ist. also kann man es als 3 hoch 16 durch 7 hoch 6 schreiben, was genau dasselbe wie oben ist. also kann man es als 3 hoch 16 durch 7 hoch 6 schreiben, was genau dasselbe wie oben ist. Eine weitere Möglichkeit wäre zu sagen, dass dieser ursprüngliche Ausdruck hier, 3 hoch -8, Eine weitere Möglichkeit wäre zu sagen, dass dieser ursprüngliche Ausdruck hier, 3 hoch -8, Eine weitere Möglichkeit wäre zu sagen, dass dieser ursprüngliche Ausdruck hier, 3 hoch -8, Eine weitere Möglichkeit wäre zu sagen, dass dieser ursprüngliche Ausdruck hier, 3 hoch -8, Eine weitere Möglichkeit wäre zu sagen, dass dieser ursprüngliche Ausdruck hier, 3 hoch -8, dasselbe ist wie 1/3 hoch -8. Also ist das dasselbe wie 7 hoch 3, durch 3 hoch 8. Also ist das dasselbe wie 7 hoch 3, durch 3 hoch 8. Also ist das dasselbe wie 7 hoch 3, durch 3 hoch 8. Das Ganze dann hoch -2. In diesem Fall erheben wir den Zähler und den Nenner zu -2, Das Ganze dann hoch -2. In diesem Fall erheben wir den Zähler und den Nenner zu -2, Das Ganze dann hoch -2. In diesem Fall erheben wir den Zähler und den Nenner zu -2, das ist aber immer noch dasselbe. Ein weiteres Beispiel. Wir haben.. Wir haben... a hoch -2 mal 8 hoch 7, das Ganze hier wollen wir jetzt zur Potenz 2 erheben. Wie vorhin kann ich jede dieser Zahlen zur Potenz 2 erheben, Wie vorhin kann ich jede dieser Zahlen zur Potenz 2 erheben, also ist das dasselbe wie a hoch -2, hoch 2, also ist das dasselbe wie a hoch -2, hoch 2, mal diesem hier, 8 hoch 7, hoch 2. mal diesem hier, 8 hoch 7, hoch 2. Und dann hier, -2 mal 2 ist -4, also a hoch -4, mal 8 hoch 7 mal 2 ist 14, Und dann hier, -2 mal 2 ist -4, also a hoch -4, mal 8 hoch 7 mal 2 ist 14, Und dann hier, -2 mal 2 ist -4, also a hoch -4, mal 8 hoch 7 mal 2 ist 14, 8 hoch 14. In anderen Videos gehen wir mehr in die Tiefe, warum das hoffentlich mehr Sinn ergibt. In anderen Videos gehen wir mehr in die Tiefe, warum das hoffentlich mehr Sinn ergibt. Hier haben wir 8 hoch 7 mal 8 hoch 7. Hier haben wir 8 hoch 7 mal 8 hoch 7. Wir addieren beide Exponenten und erhalten 8 hoch 14. Wir addieren beide Exponenten und erhalten 8 hoch 14. Wie oft man also 8 hoch 7 hat, man addiert einfach weiter die Exponenten oder multipliziert dessen Anzahl mit 7. Wie oft man also 8 hoch 7 hat, man addiert einfach weiter die Exponenten oder multipliziert dessen Anzahl mit 7. Wie oft man also 8 hoch 7 hat, man addiert einfach weiter die Exponenten oder multipliziert dessen Anzahl mit 7. Das hört sich hoffentlich nicht zu kompliziert an, aber die eigentliche Idee ist, dass wenn man etwas Das hört sich hoffentlich nicht zu kompliziert an, aber die eigentliche Idee ist, dass wenn man etwas zweimal hintereinander potenziert, die Exponenten einfach multiplizieren kann. zweimal hintereinander potenziert, die Exponenten einfach multiplizieren kann. Nun ein Beispiel, wo wir es mit Quotienten zu tun haben. Nun ein Beispiel, wo wir es mit Quotienten zu tun haben. Das haben wir bereits im ersten Beispiel gesehen. Das haben wir bereits im ersten Beispiel gesehen. Wir haben also... 2 hoch -10, geteilt durch 4 hoch 2, und wir möchten das Ganze auf die Potenz 7 bringen. Nun, das ist dasselbe wie 2 hoch -10, hoch 7, Nun, das ist dasselbe wie 2 hoch -10, hoch 7, geteilt durch 4 hoch 2, hoch 7. Wenn man also die Differenz zweier Zahlen hat und sie auf eine bestimmte Potenz bringt, Wenn man also die Differenz zweier Zahlen hat und sie auf eine bestimmte Potenz bringt, ist das dasselbe wie Zähler hoch diese Potenz durch Nenner hoch diese Potenz. ist das dasselbe wie Zähler hoch diese Potenz durch Nenner hoch diese Potenz. ist das dasselbe wie Zähler hoch diese Potenz durch Nenner hoch diese Potenz. Wie sieht unser Zähler aus? Nun, das kennen wir bereits. Das ist 2 hoch -10 mal 7, also 2 hoch -70. Das ist 2 hoch -10 mal 7, also 2 hoch -70. Nun der Nenner, 4 hoch 2, hoch 7. 2 mal 7 ist 14, also ist das 4 hoch 14. Nun der Nenner, 4 hoch 2, hoch 7. 2 mal 7 ist 14, also ist das 4 hoch 14. Nun der Nenner, 4 hoch 2, hoch 7. 2 mal 7 ist 14, also ist das 4 hoch 14. Nun der Nenner, 4 hoch 2, hoch 7. 2 mal 7 ist 14, also ist das 4 hoch 14. [Achtung Sal hat sich verschrieben, er schreibt 4 hoch 17, es muss aber 4 hoch 14 heißen] [Achtung Sal hat sich verschrieben, er schreibt 4 hoch 17, es muss aber 4 hoch 14 heißen] Wir könnten uns hier jetzt verschiedene Möglichkeiten zum weiteren Vereinfachen überlegen. Wir könnten uns hier jetzt verschiedene Möglichkeiten zum weiteren Vereinfachen überlegen. Davon gibt es genügend, aber man z.B. sagen, dass 4 ein Vielfaches von 2 ist. Davon gibt es genügend, aber man z.B. sagen, dass 4 ein Vielfaches von 2 ist. Davon gibt es genügend, aber man z.B. sagen, dass 4 ein Vielfaches von 2 ist. Man kann dies also umschreiben als: 2 hoch -70, geteilt durch... Man kann dies also umschreiben als: 2 hoch -70, geteilt durch... Man kann dies also umschreiben als: 2 hoch -70, geteilt durch... Das ist falsch, das ist nicht 4 hoch 17, sondern 4 hoch 14. Das ist falsch, das ist nicht 4 hoch 17, sondern 4 hoch 14. Das muss verbessert werden. Anstatt 4 hoch 14 zu schreiben, kann man -- die Farben müssen angepasst werden. Anstatt 4 hoch 14 zu schreiben, kann man -- die Farben müssen angepasst werden. Anstatt 4 hoch 14 zu schreiben, kann man -- die Farben müssen angepasst werden. Das ist 2 hoch -70, geteilt durch, anstatt 4 kann man 2 hoch 2, hoch 14 schreiben. anstatt 4 kann man 2 hoch 2, hoch 14 schreiben. 4 ist dasselbe wie 2 hoch 2, und so kann ich jetzt das Ganze hier als 2 hoch -70, geteilt durch... 4 ist dasselbe wie 2 hoch 2, und so kann ich jetzt das Ganze hier als 2 hoch -70, geteilt durch... 4 ist dasselbe wie 2 hoch 2, und so kann ich jetzt das Ganze hier als 2 hoch -70, geteilt durch... ... 2 hoch 2, hoch 14... ... 2 hoch 2, hoch 14... ... geteilt durch 2 hoch 28 schreiben. ... geteilt durch 2 hoch 28 schreiben. Kann man das weiter vereinfachen? Das ist gleich 2 hoch... Das ist gleich 2 hoch... ... wenn ich einen Quotienten mit derselben Basis bilde, kann ich den Exponenten subtrahieren. ... wenn ich einen Quotienten mit derselben Basis bilde, kann ich den Exponenten subtrahieren. Also ist das hier -70 minus 28. Also ist das hier -70 minus 28. Also ist das hier -70 minus 28. Das ist dann einfach 2 hoch -98, was eine weitere Möglichkeit ist, diesen Ausdruck darzustellen. Das ist dann einfach 2 hoch -98, was eine weitere Möglichkeit ist, diesen Ausdruck darzustellen. Das ist dann einfach 2 hoch -98, was eine weitere Möglichkeit ist, diesen Ausdruck darzustellen.