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Summe & Produkt von zwei Rationalen ist rational - Beweis

Video-Transkript

In diesen Video möchte ich überlegen In diesen Video möchte ich überlegen ob das Produkt oder die Summe von zwei Rationalen Zahlen immer rational ist. Lass uns zunächst das Produkt Rationaler Zahlen betrachten. Lass uns zunächst das Produkt Rationaler Zahlen batrachten. Wenn ich eine Rationale Zahl habe und -- anstatt das Wort "rational" auszuschreiben, könnte ich das auch als das Verhältnis von zwei Ganzen Zahlen darstellen. Also ich habe eine Rationale Zahl. Diese kann ich als a/b darstellen. Und ich werde sie mit einer anderen Rationalen Zahl multiplizieren. Das kann ich als das Verhältnis von zwei Ganzzahlen, m und n, beschreiben. Wie wird das Produkt aussehen? Der Zähler wird a mal m sein. Der Zähler wird a mal m sein. Und im Nenner wird b mal n stehen. Und im Nenner wird b mal n stehen. a ist eine Ganzzahl, genau wie m. Also haben wir eine Ganzzahl im Zähler. Auch b und n sind Ganze Zahlen. Also haben wir eine Ganzzahl im Nenner. Somit ist das Produkt das Verhältnis von zwei Ganzen Zahlen und ist also auch rational. Das Produkt ist auch rational. Das gilt für jedes Produkt von zwei Rationalen Zahlen, dass es ebenfalls rational sein wird. Schauen wir mal, ob das auch auf Summen von Rationalen Zahlen zutrifft. Schauen wir mal ob das auch auf Summen von Rationalen Zahlen zutrifft. Angenommen, meine erste Rational Zahl wäre a/b, bzw. könnte so geschrieben werden, und meine zweite als m/n. bzw. könnte so geschrieben werden, und meine zweite als m/n. Wie würde ich sie addieren? Ich suche einen gemeinsamen Nenner und der offensichtlichste ist b mal n. Ich suche einen gemeinsamen Nenner und der offensichtlichste ist b mal n. Lass mich diesen Bruch multiplizieren. Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit n. Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit n. Und machen das Gleiche mit diesen und b. Und machen das Gleiche mit diesen und b. Somit haben wir sie so umgeschrieben, dass sie den gemeinsamen Nenner bn haben. Somit haben wir sie so umgeschrieben, dass sie den gemeinsamen Nenner bn haben. Also haben wir es mit (an + bm)/bn zu tun. Also haben wir es mit (an plus bm)/bn zu tun. Also haben wir es mit (an plus bm)/bn zu tun. b mal n haben wir eben besprochen. Das hier wird sicher auch eine Ganze Zahl. Und das hier? Das ist a mal n, also auch eine Ganzzahl. b mal n ist auch eine ganze Zahl. Die Summe von zwei Ganzen Zahlen ist auch eine Ganze Zahl. Also haben wir eine Ganzzahl durch eine Ganzzahl. Das Verhältnis zweier Ganzzahlen. Die Summe von zwei Ganzen Zahlen wird also auch eine Ganze Zahl sein. Die Summe von zwei Ganzen Zahlen wird also auch eine Ganze Zahl sein. Das hier war rational, genau wie das hier. Das Produkt von zwei Rationalen Zahlen ist also auch eine Rationale Zahl. Das Produkt von zwei Rationalen Zahlen ist also auch eine Rationale Zahl. Und auch wenn man zwei Rationale Zahlen addiert, ist das Ergebnis rational. Und auch wenn man zwei Rationale Zahlen addiert, ist das Ergebnis rational.