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Übungsbeispiel: rationale vs. irrationale Terme (Unbekannte)

Video-Transkript

a und b sind rationale Zahlen und b ist ungleich 0, das muss so sein, da wir duch b dividieren. Ist nun a durch b rational oder irrational? Nun, beide Zahlen sind rational, das heißt, dass ich a, da a rational ist, als das Verhältnis von zwei ganzen Zahlen ausdrücken kann. Dann ist a gleich m durch n. Das Gleiche gilt auch für b. Ich kann b gleich p durch q schreiben, wobei m, n, p und q ganze Zahlen sind. Per Definition können rationale Zahlen als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden. von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden. Was ist nun a durch d für eine Zahl? a durch b ist gleich m durch n, geteilt durch p durch q. Das ist gleich m geteilt durch n. Einen Bruch durch einen Bruch zu teilen ist das Gleiche, wie den Bruch mit seinem Kehrwehrt zu multiplizieren. q durch p ist gleich q durch p ist gleich mq geteilt durch np. Nun, mq wird eine ganze Zahl sein, denn das Produkt von zwei ganzen Zahlen ist eine ganze Zahl. und np ist auch eine ganze Zahl, denn auch hier ist das Produkt zweier ganzer Zahlen eine ganze Zahl. a durch b kann also als das Produkt zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden. Damit habe ich bewiesen, dass a durch b mit Sicherheit eine rationale Zahl ist. Lasst uns noch ein paar von diesen Aufgaben machen. In dieser Aufgabe sind a und b irrationale Zahlen. In dieser Aufgabe sind a und b irrationale Zahlen. Ist dann a durch b eine rationale oder eine irrationale Zahl? Stoppe das Video kurz und denke einmal selber darüber nach. Vielleicht nimmst du ein paar irrationale Zahlen als Beispiel und schaust, ob du, wenn du sie teilst, eine rationale oder eine irrationale Zahl erhältst. Wir sagen hier einmal a sei gleich 2 mal Wurzel 2, a sei gleich 2 mal Wurzel 2, und b ist gleich Wurzel 2. Nun, in diesem Fall wäre a geteilt duch b 2 mal Wurzel 2 geteilt durch Wurzel 2. Das Ergebnis wäre zwei, und das ist eine rationale Zahl. Ich kann sie als das Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausdrücken: 2 geteilt durch 1. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten dies als das Verhältnis zweier ganzer Zahlen auszudrücken. Also in diesem Fall ist a durch b rational, wobei a und b irrationale Zahlen sind. Was passiert nun, wenn a gleich Wurzel 2 wäre, a gleich Wurzel 2 wäre, und b gleich Wurzel 7. und b gleich Wurzel 7. Dann wären a durch b gleich Wurzel 2 geteilt durch Wurzel 7, und das wäre irrational. Möglich wäre auch folgende Überlegung: Das hier ist die Wurzel von zwei siebteln, damit haben wir hier unten im Nenner keine Quadratzahl. Damit erhalten wir eine irrationale Zahl. Damit haben wir ein Beispiel, in dem a durch b eine rationale Zahl ist, und wir haben ein Beispiel in dem die Zahl irrational ist. Beides ist also möglich. Lasst uns noch ein paar dieser Beispiele machen. a ist eine rationale Zahl ungleich 0. Ist dann a mal Wurzel 8 rational oder irrational? Wir wissen: Wenn du eine irrationale Zahl multiplizierst -- Woher wissen wir, dass dies eine irrationale Zahl ist? Nun, Wurzel 8 enthält eine Quadratzahl, ist selber aber keine Quadratzahl. Wurzel 8 ist gleich Wurzel 4 mal 2. Wurzel 8 ist gleich Wurzel 4 mal 2. Und das ist gleich Wurzel 4 mal Wurzel 2, und das ist gleich 2 mal Wurzel 2. Und Wurzel 2 ist irrational. Und wenn ich eine rationale Zahl mit einer Irrationalen multipliziere, erhalte ich eine Irrationale. Wurzel 8 ist also irrational, und wenn ich diese mit einer rationalen Zahl multipliziere erhalte ich wiederum eine irrationale Zahl. Also ist dieser Ausdruck mit Sicherheit irrational. Machen wir noch ein Beispiel. a sei eine irrationale Zahl. Ist dann minus 24 plus a rational oder irrational? Ich werde das hier nicht formal beweisen, aber damit du ein intuitives Gefühl für die Zahlen bekommst, stoppe das Video und setze einmal selber einige Zahlen für a ein. Nehmen wir einmal einige Werte an. a ist also irrational. Angenommen, a ist gleich minus pi, das ist ungefähr minus 3,14149... minus 3,14149... und so weiter und so weiter bis unendlich, ohne dass sich die Zahlen wiederholen. Gut, minus 24 plus a Gut, minus 24 plus a ist gleich minus 24 minus pi, und das wären ungefähr minus 27,14159. und das wären ungefähr minus 27,14159. Alle Nachkommastellen sind die Nachkommastellen der Zahl pi. Alle Nachkommastellen sind die Nachkommastellen der Zahl pi. Für dieses Besipiel ist das Ergebnis also irrational. Wenn a Wurzel 2 wäre, dann wäre minus 24 plus Wurzel 2-- Ich führe hier keinen Beweis, aber du kannst rein intuitiv sehen, dass dies eine Dezimalzahl ergeben wird. aber du kannst rein intuitiv sehen, dass dies eine Dazimalzahl ergeben wird. Die Nachkommastellen wiederholen sich nicht. Die Zahl vor dem Komma ändert sich. Die Nachkommastellen ändern sich nicht. Die Nachkommastellen ändern sich nicht. Die Nachkommastellen bleiben nicht-periodisch - also gehen weiter und weiter bis ins Unendliche, ohne sich zu wiederholen. Und auf der rechen Seite war dies genau so wie im Beispiel mit Wurzel 2. Auf der linken Seite der Dezimalzahl hast du jetzt nur einen anderen Wert, -25 Komma irgendwas. Wir haben also gezeigt: Wenn du eine rational Zahl zu einer irationalen Zahl addierst, ergibt dies immer eine irrationale Zahl. ergibt dies immer eine irrationale Zahl. Wenn du dazu den genauen mathematischen Beweis haben möchtest, schau dir die weiteren Videos an.