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Beweise: Die Summe einer rationalen & irrationalen Zahl ist irrational

Video-Transkript

Ich bin neugierig, was passiert, wenn man eine rationale und eine irrationale Zahl addiert. Ich bin neugierig, was passiert, wenn man eine rationale und eine irrationale Zahl addiert. Ich bin neugierig, was passiert, wenn man eine rationale und eine irrationale Zahl addiert. Ich bin neugierig, was passiert, wenn man eine rationale und eine irrationale Zahl addiert. Ist die Summe dann rational oder irrational? Nehmen wir einfach mal an, sie ist rational, und schauen dann, Nehmen wir einfach mal an, sie ist rational, und schauen dann, ob dies zu einem Widerspruch führt. Wir nehmen also an, dass das hier zu einer rationalen Zahl führt. Wir können diese erste, rationale Zahl als Verhältnis zweier Ganzzahlen, a und b, darstellen. Diese irrationale Zahl hier nennen wir einfach x. Deren Summe gibt uns erneut eine rationale Zahl. Das hier drücken wir auch als Verhältnis zweier Ganzzahlen, m und n, aus. Wir sagen also, dass a/b plus x gleich m/n ist. EIne andere Möglichkeit ist, dass wir a/b von beiden Seiten subtrahieren können, sodass wir unsere irrationale Zahl erhalten. x ist gleich m/n minus a/b, was dasselbe wie n mal b im Nenner ist. Schauen wir. m/n ist dasselbe wie mb/nb. Hier also mb. Ich addiere einfach beide Brüche. mb minus... Schauen wir. a/b ist dasselbe wir n mal a durch n mal b. Also minus n mal a. Ich habe einfach beide Brüche addiert, und einen gemeinsamen Nenner gefunden. Um es deutlicher zu machen: Hier und hier mal b, und hier jeweils mal n und dann habe ich einfach beide addiert, um diesen Ausdruck zu erhalten. und dann habe ich einfach beide addiert, um diesen Ausdruck zu erhalten. Der Nenner hier ist eine Ganzzahl. Ich habe ein Produkt zweier Ganzzahlen. Das ist eine Ganzzahl. Das ist eine Ganzzahl. Und dieser Zähler, mb, ist eine Ganzzahl. na ist eine ganzzahl. Die Differenz dieser beiden ist dann auch eine Ganzzahl. Es sieht also aus, wenn man die Summe als rational annimmt, dass wir auf einmal diesen Widerspruch haben. Wir haben angenommen, dass x irrational ist, aber plötzlich, da wir diese Annahme getroffen haben, können wir annehmen, dass wir es als Verhältnis zweier Ganzzahlen darstellen können. Das sagt uns, dass x also rational sein muss. Und das ist der Widerspruch. Ein großer Widerspruch hier. Die Annahme war, dass x irrational ist. Nun haben wir: x muss rational sein. Folglich kann dies nicht der Fall sein. Eine rationale plus eine irrationale -- das ist nicht richtig -- eine rationale plus eine irrationale Zahl mus irrational sein. Hier nochmal: Eine rationale plus eine irrationale Zahl muss eine irrationale Zahl ergeben.