Hauptinhalt
Algebra 1
Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 17
Lektion 2: Summen und Produkte von rationalen und irrationalen Zahlen- Summe & Produkt von zwei Rationalen ist rational - Beweis
- Produkt von rationalen Zahlen & irrationalen Zahlen ist irrational - Beweis
- Beweise: Die Summe einer rationalen & irrationalen Zahl ist irrational
- Summen und Produkte von irrationalen Zahlen
- Übungsbeispiel: rationale vs. irrationale Terme
- Übungsbeispiel: rationale vs. irrationale Terme (Unbekannte)
- Rationale vs. irrationale Ausdrücke
© 2023 Khan AcademyNutzungsbedingungenDatenschutzerklärungCookie-Meldung
Produkt von rationalen Zahlen & irrationalen Zahlen ist irrational - Beweis
Das Produkt einer beliebigen rationalen Zahl und einer beliebigen Irrationalen Zahl ist immer eine irrationale Zahl. Dies erlaubt uns schnell schlusszufolgern, dass 3π irrational ist. Erstellt von Sal Khan
Willst du an der Diskussion teilnehmen?
- 0*a with a element of II is a counterproof
0 is rational, and the product of zero with (almost) anything is 0
maybe you should include this specific case in the video.(1 Bewertung)- Was ist die Antwort auf die Gleichung mit zwei Variablen : -8t²v/0,5=?(1 Bewertung)
Video-Transkript
In diesem Video möchte ich beweisen,
dass man bei einer Multiplikation In diesem Video möchte ich beweisen,
dass man bei einer Multiplikation In diesem Video möchte ich beweisen,
dass man bei einer Multiplikation einer rationalen mit einer irrationalen Zahl
eine irrationale Zahl erhält. einer rationalen mit einer irrationalen Zahl
eine irrationale Zahl erhält. Bitte pausiert das Video und
versucht es zunächst selbst. Bitte pausiert das Video und
versucht es zunächst selbst. Ein kleiner Hinweis. Ihr könnt es durch einen Widerspruch beweisen. Nehmt an, eine rationale mal einer irrationalen Zahl ergäbe eine rationale Zahl
und schaut dann durch Umformulieren, ob aus dieser irrationalen
auf einmal eine rationale Zahl wird. ob aus dieser irrationalen
auf einmal eine rationale Zahl wird. Ich hoffe ihr habt euch dran versucht.
Schaun wir's uns an. Ich hoffe ihr habt euch dran versucht.
Schaun wir's uns an. Ich erwähnte den Beweis per Widerspruch. Nehmen wir also an, dass uns eine rationale Zahl mal einer irrationalen eine rationale Zahl bringt. Nehmen wir also an, dass uns eine rationale Zahl mal einer irrationalen eine rationale Zahl bringt. Nehmen wir also an, dass uns eine rationale Zahl mal einer irrationalen eine rationale Zahl bringt. Diese rationale Zahl hier stellen wir als Verhältnis zweier Ganzzahlen, a/b, dar. Diese rationale Zahl hier stellen wir als Verhältnis zweier Ganzzahlen, a/b, dar. Diese rationale Zahl hier stellen wir als Verhältnis zweier Ganzzahlen, a/b, dar. Dann diese irrationale Zahl, nennen wir sie x. Wir sagen also: a/b mal x bringt uns eine rationale Zahl. Die nennen wir m/n. a/b mal x ist gleich m/n. Ich nehme also an, dass eine rationale Zahl, ausgedrückt als Verhältnis zweier Ganzzahlen, mal einer irrationalen Zahl
gleich einer rationalen Zahl ist. Mal sehen, ob wir hier so einen Widerspruch konstruieren können. Mal sehen, ob wir hier so einen Widerspruch konstruieren können. Lösen wir nach der irrationalen Zahl auf. Das Beste, dies zu lösen ist, beide Seiten dieser Gleichung mit dem Kehrwert von a/b zu multiplizieren. Also rechnen wir jeweils mal b/a. Was bleibt uns übrig? Wir erhalten für unsere irrationale Zahl x gleich m mal b. Wir können es aber auch als mb/na schreiben. Wir können es aber auch als mb/na schreiben. Warum ist das jetzt interessant? Nun, m ist eine Ganzzahl, genauso wie b, also ist der gesamte Zähler eine Ganzzahl. Der Nenner ist ebenfalls eine Ganzzahl. Hier haben wir also ein Verhältnis zweier Ganzzahlen. Wir haben hier also etwas
von dem wir ausgingen es sei eine irrationale Zahl Wir haben hier also etwas
von dem wir ausgingen es sei eine irrationale Zahl als das Verhältnis zweier Ganzzahlen dargestellt. Doch dann müsste x rational sein. Das ist unser Widerspruch, da wir für x eine irrationale Zahl angenommen haben. Da diese Annahme
zu diesem Widerspruch führt, Da diese Annahme
zu diesem Widerspruch führt, muss die Annahme falsch sein. Es muss lauten: "Eine rationale Zahl mal einer irrationalen ergibt eine irrationale Zahl." Es muss lauten: "Eine rationale Zahl mal einer irrationalen ergibt eine irrationale Zahl."