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Produkt von rationalen Zahlen & irrationalen Zahlen ist irrational - Beweis

Video-Transkript
In diesem Video möchte ich beweisen, dass man bei einer Multiplikation In diesem Video möchte ich beweisen, dass man bei einer Multiplikation In diesem Video möchte ich beweisen, dass man bei einer Multiplikation einer rationalen mit einer irrationalen Zahl eine irrationale Zahl erhält. einer rationalen mit einer irrationalen Zahl eine irrationale Zahl erhält. Bitte pausiert das Video und versucht es zunächst selbst. Bitte pausiert das Video und versucht es zunächst selbst. Ein kleiner Hinweis. Ihr könnt es durch einen Widerspruch beweisen. Nehmt an, eine rationale mal einer irrationalen Zahl ergäbe eine rationale Zahl und schaut dann durch Umformulieren, ob aus dieser irrationalen auf einmal eine rationale Zahl wird. ob aus dieser irrationalen auf einmal eine rationale Zahl wird. Ich hoffe ihr habt euch dran versucht. Schaun wir's uns an. Ich hoffe ihr habt euch dran versucht. Schaun wir's uns an. Ich erwähnte den Beweis per Widerspruch. Nehmen wir also an, dass uns eine rationale Zahl mal einer irrationalen eine rationale Zahl bringt. Nehmen wir also an, dass uns eine rationale Zahl mal einer irrationalen eine rationale Zahl bringt. Nehmen wir also an, dass uns eine rationale Zahl mal einer irrationalen eine rationale Zahl bringt. Diese rationale Zahl hier stellen wir als Verhältnis zweier Ganzzahlen, a/b, dar. Diese rationale Zahl hier stellen wir als Verhältnis zweier Ganzzahlen, a/b, dar. Diese rationale Zahl hier stellen wir als Verhältnis zweier Ganzzahlen, a/b, dar. Dann diese irrationale Zahl, nennen wir sie x. Wir sagen also: a/b mal x bringt uns eine rationale Zahl. Die nennen wir m/n. a/b mal x ist gleich m/n. Ich nehme also an, dass eine rationale Zahl, ausgedrückt als Verhältnis zweier Ganzzahlen, mal einer irrationalen Zahl gleich einer rationalen Zahl ist. Mal sehen, ob wir hier so einen Widerspruch konstruieren können. Mal sehen, ob wir hier so einen Widerspruch konstruieren können. Lösen wir nach der irrationalen Zahl auf. Das Beste, dies zu lösen ist, beide Seiten dieser Gleichung mit dem Kehrwert von a/b zu multiplizieren. Also rechnen wir jeweils mal b/a. Was bleibt uns übrig? Wir erhalten für unsere irrationale Zahl x gleich m mal b. Wir können es aber auch als mb/na schreiben. Wir können es aber auch als mb/na schreiben. Warum ist das jetzt interessant? Nun, m ist eine Ganzzahl, genauso wie b, also ist der gesamte Zähler eine Ganzzahl. Der Nenner ist ebenfalls eine Ganzzahl. Hier haben wir also ein Verhältnis zweier Ganzzahlen. Wir haben hier also etwas von dem wir ausgingen es sei eine irrationale Zahl Wir haben hier also etwas von dem wir ausgingen es sei eine irrationale Zahl als das Verhältnis zweier Ganzzahlen dargestellt. Doch dann müsste x rational sein. Das ist unser Widerspruch, da wir für x eine irrationale Zahl angenommen haben. Da diese Annahme zu diesem Widerspruch führt, Da diese Annahme zu diesem Widerspruch führt, muss die Annahme falsch sein. Es muss lauten: "Eine rationale Zahl mal einer irrationalen ergibt eine irrationale Zahl." Es muss lauten: "Eine rationale Zahl mal einer irrationalen ergibt eine irrationale Zahl."