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Beweis: Es gibt eine irrationale Zahl zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen

Video-Transkript

In diesem Video will ich beweisen, dass man zwischen jeglichen zwei rationalen Zahlen eine irrationale Zahl finden kann. In diesem Video will ich beweisen, dass man zwischen jeglichen zwei rationalen Zahlen eine irrationale Zahl finden kann. In diesem Video will ich beweisen, dass man zwischen jeglichen zwei rationalen Zahlen eine irrationale Zahl finden kann. r1 und r2 sind rationale Zahlen auf einem Zahlenstrahl. r1 und r2 sind rationale Zahlen auf einem Zahlenstrahl. Wichtig ist dabei, dass r2 größer als r1 ist. Wichtig ist dabei, dass r2 größer als r1 ist. Wichtig ist dabei, dass r2 größer als r1 ist. Diese Zahl hier ist irrational. Man kann mindestens eine irrationale Zahl finden. Im Grunde gibt es unendliche viele irrationale Zahlen zwischen diesen zwei rationalen Zahlen. Im Grunde gibt es unendliche viele irrationale Zahlen zwischen diesen zwei rationalen Zahlen. Im Grunde gibt es unendliche viele irrationale Zahlen zwischen diesen zwei rationalen Zahlen. Unsere Behauptung ist nun, dass zwischen jeglicher dieser zwei rationalen Zahlen mindestens immer eine irrationale Zahl befindet. Unsere Behauptung ist nun, dass zwischen jeglicher dieser zwei rationalen Zahlen mindestens immer eine irrationale Zahl befindet. Wir betrachten dieses Problem auf dem Intervall von 0 bis 1. Wir betrachten dieses Problem auf dem Intervall von 0 bis 1. Wir betrachten dieses Problem auf dem Intervall von 0 bis 1. Wir betrachten dieses Problem auf dem Intervall von 0 bis 1. Eventuell kennst du bereits eine irrationale Zahl auf diesem Intervall. Die 1 geteilt durch die Quadratwurzel aus 2 ist eine. Und es ist die gleiche Zahl wie die Quadratwurzel aus 2 geteilt durch 2. Die Zahl ist ungefähr 0.70710678118. Die Zahl ist ungefähr 0.70710678118. Diese Zahl hat kein Ende das heißt ich kann sie unendlich fortschreiben. Diese Zahl hat kein Ende das heißt ich kann sie unendlich fortschreiben. Die Zahlen wiederholen sich dabei nicht. Der springende Punkt ist, dass sie zwischen 0 und 1 liegt. Also könnte ich 1 durch die Quadratwurzel aus 2 schreiben diese liegt deutlich zwischen 0 und 1. Ich werde den Beweis mit Hilfe von Ungleichungen führen. Ich werde den Beweis mit Hilfe von Ungleichungen führen. Am Ende wollen wir dann bei r1 und r2 rauskommen. Am Ende wollen wir dann bei r1 und r2 rauskommen. Am Ende wollen wir dann bei r1 und r2 rauskommen. Im Anschluss wollen wir den Term so umformen, dass wir eine irrationale Zahl erhalten, die zwischen den zwei rationalen Zahlen liegt. Im Anschluss wollen wir den Term so umformen, dass wir eine irrationale Zahl erhalten, die zwischen den zwei rationalen Zahlen liegt. Im Anschluss wollen wir den Term so umformen, dass wir eine irrationale Zahl erhalten, die zwischen den zwei rationalen Zahlen liegt. Im Anschluss wollen wir den Term so umformen, dass wir eine irrationale Zahl erhalten, die zwischen den zwei rationalen Zahlen liegt. Wir formen das Intervall um zu 0 und der Differenz dieser zwei Zahlen. Wir formen das Intervall um zu 0 und der Differenz dieser zwei Zahlen. Wir formen das Intervall um zu 0 und der Differenz dieser zwei Zahlen. Also, der Unterschied zwischen r1 und r2 ist r2 minus r1. Wir multiplizieren alle drei Teile dieser Ungleichung mit r1 minus r2. Wir multiplizieren alle drei Teile dieser Ungleichung mit r1 minus r2. Wir multiplizieren alle drei Teile dieser Ungleichung mit r1 minus r2. Lass uns das machen. 0 mal r2 minus r1 bleibt 0. 0 mal r2 minus r1 bleibt 0. Merke dir, dass r2 größer als r1 ist. Dadurch ist r2 minus r1 größer 0. Merke dir, dass r2 größer als r1 ist. Dadurch ist r2 minus r1 größer 0. Merke dir, dass r2 größer als r1 ist. Dadurch ist r2 minus r1 größer 0. Merke dir, dass r2 größer als r1 ist. Dadurch ist r2 minus r1 größer 0. Merke dir, dass r2 größer als r1 ist. Dadurch ist r2 minus r1 größer 0. Wenn die verschiedenen Teile der Ungleichung mit etwas größerem als Null multipliziert werden, dann verändert sich die Ungleichung nicht. dann verändert sich die Ungleichung nicht. Hier erhalten wird 1 durch die Quadratwurzel von zwei mal r2 minus r1. Hier erhalten wird 1 durch die Quadratwurzel von zwei mal r2 minus r1. Hier erhalten wird 1 durch die Quadratwurzel von zwei mal r2 minus r1. Hier erhalten wird 1 durch die Quadratwurzel von zwei mal r2 minus r1. Der letzte Teil ist dann einfach r2 minus r1. Der letzte Teil ist dann einfach r2 minus r1. Der letzte Teil ist dann einfach r2 minus r1. Jetzt addieren wir bei allen Teilen r1. Jetzt addieren wir bei allen Teilen r1. Also, wenn wir etwas zu allen Teilen der Ungleichung addieren, dann wird das nicht die Ungleichung ändern. Also werden wir r1 hier herüben addieren. Wir können hier r1 addieren. Und wir können r1 hier addieren. Und so weiter auf der linken Seite haben wir r1 ist weniger als r1 plus diesen Teil hier. r1 ist weniger als r1 plus diesen Teil hier. r1 ist weniger als r1 plus diesen Teil hier. r1 ist weniger als r1 plus diesen Teil hier. r1 ist weniger als r1 plus diesen Teil hier. r1 ist weniger als r1 plus diesen Teil hier. r1 ist weniger als r1 plus diesen Teil hier. r1 ist weniger als r1 plus diesen Teil hier. r1 ist weniger als r1 plus diesen Teil hier. r1 ist weniger als r1 plus diesen Teil hier. r1 ist weniger als r1 plus diesen Teil hier. wWs ist r1 plus r2 minus r1? Tja, das wird einfach r2 sein. Nun haben wir gezeigt, dass zwischen jeglichen zwei rationalen Zahlen eine irrationale Zahl liegt. Dabei wurde angenommen, dass r2 größer als r1 ist. Dabei wurde angenommen, dass r2 größer als r1 ist. Dabei wurde angenommen, dass r2 größer als r1 ist. Ihr nehmt r1, ihr nehmt die kleinere der rationalen Zahlen, und zu dem addiert ihr 1 durch die Quadratwurzel von 2 mal der Differenz zwischen diesen beiden rationalen Zahlen und ihr werdet sehen, dass ihr diese irrationale Zahl hier erhaltet. Wie weiß man nun, dass diese Zahl irrational ist? Wie weiß man nun, dass diese Zahl irrational ist? Tja, wir haben es bereits gesehen. Du nimmst das Produkt einer irrationalen und einer rationalen Zahl, dann bekommst du eine irrationale Zahl. Du nimmst die Summe einer irrationalen Zahl und einer rationalen Zahl, dann bekommst du eine irrationale Zahl. So haben wir eine irrationale Zahl erschaffen, die zwischen diesen zwei rationalen liegt. die zwischen diesen zwei rationalen liegt.