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Quadratwurzeln von Primzahlen sind irrational - Beweis

Video-Transkript

Beweis, dass die Quadratwurzel einer Primzahl irrational ist In einem früheren Video, haben wir einen Widerspruchsbeweis benutzt, um zu zeigen, dass die Quadratwurzel von 2 irrational ist. In diesem Video will ich grundsätzlich dasselbe Argument benutzen, aber allgemeiner, um zu zeigen, dass die Quadratwurzel einer Primzahl irrational ist. So, lasst uns annehmen, dass p eine Primzahl ist. So, lasst uns annehmen, dass p eine Primzahl ist. Und wir werden dies so anlegen, dass es sich um einen Widerspruchsbeweis handelt. Daher werden wir annehmen, dass die Quadratwurzel von p rational ist und sehen, ob uns dies zu irgendeinem Widerspruch führt. Wenn etwas rational ist, bedeutet dies, dass wir es als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen können. Und wenn wir etwas als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen können, heißt das, dass wir es ebenso als Verhältnis zweier teilerfremder Ganzzahlen darstellen können, oder zweier Ganzzahlen, die keinen gemeinsamen Teiler haben. Oder, dass wir es als ein Bruch darstellen können, der nicht reduzierbar ist. Oder, dass wir es als ein Bruch darstellen können, der nicht reduzierbar ist Ich nehme also an, dass dieser Bruch, den ich hier anschreibe, a/b, dass dies hier ein nicht weiter reduzierbarer Bruch ist. Du sagst, gut, wie kann ich das machen? Dadurch, dass dies rational ist kann ich die Quadratwurzel von p als einen Bruch, als ein Verhältnis zweier Ganzzahlen, darstellen. Und wenn ich irgendetwas als ein Verhältnis zweier Ganzzahlen darstellen kann, kann ich sowohl den Zähler als auch den Nenner weiter durch den gemeinsamen Teiler dividieren, bis ich schlussendlich einen nicht weiter reduzierbaren Bruch erhalte. Ich nehme also an, dass wir genau da sind. Das hier kann nicht weiter reduziert werden. Und das ist wichtig für unseren Beweis -- kann nicht weiter reduziert werden, was bedeutet, dass a und b teilerfremd sind, was wiederum bedeutet, dass a und b keinen gemeinsamen Teiler haben, ausgenommen von 1. Mal sehen, ob wir dies ein bisschen manipulieren können. Lasst uns beide Seiten quadrieren. Wir erhalten p ist gleich, a/b als ganzes zum Quadrat, was dasselbe ist wie a zum Quadrat über b zum Quadrat. was dasselbe ist wie a zum Quadrat über b zum Quadrat. Wir können beide Seiten mit b Quadrat multiplizieren und erhalten b zum Quadrat mal p ist gleich a zum Quadrat. Nun, was sagt uns das über a zum Quadrat? b ist eine Ganzzahl, daher muss b zum Quadrat ebenfalls eine Ganzzahl sein. Somit ist eine Ganzzahl mal p gleich a zum Quadrat. Das bedeutet, dass p ein Teiler von a zum Quadrat sein muss. Lass mich das niederschreiben. Also a zum Quadrat ist ein Vielfaches von p. Nun, was sagt uns das über a? Sagt uns das, dass a ein Vielfaches von p sein muss? Lasst uns dazu über die Primfaktorzerlegung von a nachdenken. Lasst uns dazu über die Primfaktorzerlegung von a nachdenken. Lasst uns sagen, dass a -- und jede Zahl -- als ein Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann. Oder jede Ganzzahl, sollte ich sagen. Lasst uns das hier als Produkt von Primzahlen schreiben. Lasst uns das hier als Produkt von Primzahlen schreiben. Also lasst uns sagen, ich multipliziere meinen ersten Primfaktor mit meinen zweiten Primfaktor und so weiter bis hin zu meinem n-ten Primfaktor. Ich weiß nicht wie viele Primfaktoren a wirklich hat. Ich sage einfach, dass a irgendeine Ganzzahl hier herüben ist. Das ist also die Primfaktorzerlegung von a. Was sieht nun die Primfaktorzerlegung einer Quadratzahl aus? a zum Quadrat ist einfach a mal a. Seine Primfaktorzerlegung ist somit f1 mal f2, und so weiter bis hin zu fn. Und dann dies mal f1 mal f2 und so weiter, bis hin zu fn. Oder ich könnte das ganze neu anordnen wenn ich möchte. f1 mal f1 mal f2 mal f2 und so weiter bis zu fn mal fn. Wir wissen, dass a zum Quadrat gleich ein Vielfaches von p ist. p ist eine Primzahl, somit muss p eine dieser Zahlen in der Primfaktorzerlegung sein. p könnte f2 sein, oder p könnte f1 sein, aber p muss eine dieser Zahlen in der Primfaktorzerlegung sein. p muss also einer dieser Faktoren sein. Nun, lasst uns sagen p ist gleich -- und ich wähle ganz willkürlich. Lasst uns sagen p ist f2. Wenn p gleich f2 ist, bedeutet dies, dass p ebenso ein Faktor von a ist. Dies lässt uns ableiten, dass a ein Vielfaches von p ist. Oder anders gesagt, können wir a als eine Ganzzahl mal p darstellen. als eine Ganzzahl mal p darstellen. Nun, warum ist dies interessant? Lasst mich dies hier einrahmen, denn wir werden diesen Teil hier später nochmals verwenden. Aber wie können wir das verwenden? Nun, genauso wie im Beweis, dass die Quadratwurzel von 2 irrational ist, lasst uns das zurückeinsetzen in die Gleichung hier herüben. Wir erhalten also b zum Quadrat mal p. Wir haben b zum Quadrat mal p ist gleich a zum Quadrat. a können wir nun als eine Ganzzahl k mal p darstellen. a können wir nun als eine Ganzzahl k mal p darstellen. Somit können wir das umschreiben zu einer Ganzzahl k mal p. Somit können wir das umschreiben zu einer Ganzzahl k mal p. Lasst uns sehen, ob wir dies ausmultiplizieren können. Somit erhalten wir b zum Quadrat mal p -- und du erkennst wahrscheinlich wohin das führt -- ist gleich k zum Quadrat mal p zum Quadrat. Wir können beide Seiten durch p dividieren und wir erhalten b zum Quadrat ist gleich p mal k zum Quadrat. Oder k zum Quadrat mal p. Oder k zum Quadrat mal p. Nun, dasselbe Argument, das wir verwendet haben, als a zum Quadrat gleich b zum Quadrat mal p war, dass uns erkennen ließ, dass a zum Quadrat ein Vielfaches von p war. Nun haben wir es anders herum. b zum Quadrat ist gleich einer Ganzzahl zum Quadrat, was immer noch eine Ganzzahl mal p ist. Daher muss b zum Quadrat ein Vielfaches von p sein. Dies lässt uns erkennen, dass b zum Quadrat ein Vielfaches von p ist. Dies lässt uns erkennen, dass b zum Quadrat ein Vielfaches von p ist. Und mittels der Logik, die wir hier herüben angewandt haben, können wir erkennen, dass b gleich ein Vielfaches von p ist. können wir erkennen, dass b gleich ein Vielfaches von p ist. Und das ist unser Widerspruch, oder dies beweist unseren Widerspruch, den wir zu Beginn angenommen haben. Wir haben angenommen, dass a und b teilerfremd sind, dass sie keinen gemeinsamen Teiler haben ausgenommen von 1. Wir haben angenommen, dass dies nicht weiter reduziert werden kann. Aber wir haben gerade eben bewiesen, dass dies ein Vielfaches von p ist und b ein Vielfaches von p ist. Was wiederum bedeutet, dass dieser Faktor weiter zerlegt werden kann. Wir können den Zähler und den Nenner durch p dividieren. Dies ist unser Widerspruch. Wir haben zu Beginn angenommen, dass es nicht weiter reduziert werden kann, aber dann haben wir gezeigt, nein, es muss weiter reduzierbar sein. Der Zähler und der Nenner haben einen gemeinsamen Faktor p. Somit ist unser Widerspruch bewiesen. Die Quadratwurzel von p kann nicht rational sein. Die Quadratwurzel von p ist irrational. Lasst mich das niederschreiben. Die Quadratwurzel von p ist irrational wegen dem Widerspruch.