Textaufgaben zu quadratischen Funktionen (Scheitelpunktform)

"Ein Objekt wird von einer Plattform aus geworfen. Seine Höhe (in Metern), x Sekunden nach dem Start, "Ein Objekt wird von einer Plattform aus geworfen. Seine Höhe (in Metern), x Sekunden nach dem Start, wird beschrieben durch: h(x) gleich -5(x minus 4)² plus 180." wird beschrieben durch: h(x) gleich -5(x minus 4)² plus 180." Normalerweise verwenden wir bei Zeitangaben die Variable t, hier können wir jedoch x dafür nehmen. Normalerweise verwenden wir bei Zeitangaben die Variable t, hier können wir jedoch x dafür nehmen. Normalerweise verwenden wir bei Zeitangaben die Variable t, hier können wir jedoch x dafür nehmen. Schauen wir uns das mal genauer an und visualisieren es. Schauen wir uns das mal genauer an und visualisieren es. Zeichnen wir eine h-Achse für unsere Höhe. Zeichnen wir eine x-Achse für unsere Höhe. Und eine x-Achse. Bei der Zeit x gleich 0, befinden wir uns auf einer Plattform, welche bereits eine gewisse Höhe besitzt. Bei der Zeit x gleich 0, befinden wir uns auf einer Plattform, welche bereits eine gewisse Höhe besitzt. Bei der Zeit x gleich 0, befinden wir uns auf einer Plattform, welche bereits eine gewisse Höhe besitzt. Bei Zeit x gleich 0. Ich bin daran gewöhnt Z t gleich 0 zu sagen - aber bei Zeit x gleich 0 befinden wir uns bereits in einer gewissen Höhe. Ich bin daran gewöhnt Z t gleich 0 zu sagen - aber bei Zeit x gleich 0 befinden wir uns bereits in einer gewissen Höhe. Ich bin daran gewöhnt Z t gleich 0 zu sagen - aber bei Zeit x gleich 0 befinden wir uns bereits in einer gewissen Höhe. da wir auf einer Plattform sind. Dann starten wir das Projektil. Die Flugkurve orientiert sich an einer Parabel, einer nach unten geöffneten Parabel. Die Flugkurve orientiert sich an einer Parabel, einer nach unten geöffneten Parabel. Doch woher wissen wir eigentlich, dass es einen nach unten geöffnete Parabel ist. Doch woher wissen wir eigentlich, dass es einen nach unten geöffnete Parabel ist. So wie es hier grob gezeichnet ist. Sieht nicht perfekt aus, aber ich hoffe, man erkennt es trotzdem. SIeht nicht perfekt aus, aber ich hoffe, man erkennt es trotzdem. Der Grund warum ich wusste, dass dies eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist diese Gleichung hier. Der Grund warum ich wusste, dass dies eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist diese Gleichung hier. Der Grund warum ich wusste, dass dies eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist diese Gleichung hier. Die Gleichung ist in Scheitelform, allerdings quadratisch. In Scheitelform hat man einen x²-Ausdruck, der dann mit dieser -5 hier multipliziert wird. In Scheitelform hat man einen x²-Ausdruck, der dann mit dieser -5 hier multipliziert wird. In Scheitelform hat man einen x²-Ausdruck, der dann mit dieser -5 hier multipliziert wird. Das sagt uns, dass wir eine Öffnung nach unten hin haben. Beim Ausmultiplizieren, (x minus 4)² ist gleich x² plus etwas anderes, (x minus 4)² ist gleich x² plus etwas anderes, muss man all diese Terme mit -5 multiplizieren. muss man all diese Terme mit -5 multiplizieren. Der führende Term ist dann -5x². Hier ist es wieder eine nach unten geöffnete Parabel, die ungefähr so wie hier aussieht. Hier ist es wieder eine nach unten geöffnete Parabel, die ungefähr so wie hier aussieht. Mit dieser groben Visualisierung hier versuchen wir nun, einige Fragen darüber zu beantworten. Mit dieser groben Visualisierung hier versuchen wir nun, einige Fragen darüber zu beantworten. Erste Frage: Wie hoch ist die Plattform? Erste Frage: Wie hoch ist die Plattform? Erste Frage: Wie hoch ist die Plattform? Wie hoch ist die Plattform? Bitte pausiert das Video, um es zunächst selbstständig zu probieren. Bitte pausiert das Video, um es zunächst selbstständig zu probieren. Was ist das für ein Wert hier? Nun, wie man sieht, sind wir beim Wert x = 0. Nun, wie man sieht, sind wir beim Wert x = 0. Um nun die Höhe der Plattform zu ermitteln, müssen wir einfach h(0) herausfinden. Um nun die Höhe der Plattform zu ermitteln, müssen wir einfach h(0) herausfinden. Das wäre -5 mal (-4²) plus 180. Das wäre -5 mal (-4)² plus 180. Ich habe x einfach durch 0 substituiert. (-4)² ist 16. -5 mal 16 ist -80. plus 180. Also erhalten wir 100. Die Plattform ist also auf 100 m Höhe. Merke: Die Höhe ist in Metern gegeben. Die nächste Frage ist: Wieviele Sekunden nach dem Start erreichen wir unsere Maximalhöhe? Die nächste Frage ist: Wieviele Sekunden nach dem Start erreichen wir unsere Maximalhöhe? Unsere Maximalhöhe, wenn wir von einer nach unten geöffneten Parabel sprechen, ist unser Scheitelpunkt. Unsere Maximalhöhe, wenn wir von einer nach unten geöffneten Parabel sprechen, ist unser Scheitelpunkt. Unsere Maximalhöhe, wenn wir von einer nach unten geöffneten Parabel sprechen, ist unser Scheitelpunkt. Der entsprechende x-Wert beschreibt, wie lange nach dem Start wir die Maximalhöhe erreichen. Der entsprechende x-Wert beschreibt, wie lange nach dem Start wir die Maximalhöhe erreichen. Der entsprechende x-Wert beschreibt, wie lange nach dem Start wir die Maximalhöhe erreichen. Was ist dieser x-Wert hier? Bitte pausiert auch hier das Video und seht, ob ihr es selbst lösen könnt. Bitte pausiert auch hier das Video und seht, ob ihr es selbst lösen könnt. "Wie lange nach dem Start erreichen wir unsere Maximalhöhe?" "Wie lange nach dem Start erreichen wir unsere Maximalhöhe?" "Wie lange nach dem Start erreichen wir unsere Maximalhöhe?" "Wie lange nach dem Start erreichen wir unsere Maximalhöhe?" "Wie lange nach dem Start erreichen wir unsere Maximalhöhe?" "Wie lange nach dem Start erreichen wir unsere Maximalhöhe?" Nun, das wäre die x-Koordinate beim Scheitelpunkt. WIe finden wir das heraus? Nun, dieses Quadrat steht bereits in Scheitelform da, was die Ermittlung des Scheitelpunktes erleichtert. Nun, dieses Quadrat steht bereits in Scheitelform da, was die Ermittlung des Scheitelpunktes erleichtert. Nun, dieses Quadrat steht bereits in Scheitelform da, was die Ermittlung des Scheitelpunktes erleichtert. Dafür müssen wir uns einfach nur die Struktur dieses Ausdrucks ansehen. Dafür müssen wir uns einfach nur die Struktur dieses Ausdrucks ansehen. Was passiert hier? Wir haben diese 180 und diesen anderen Term hier. Alles quadrierte ist nicht-negativ. Also ist (x - 4) stets nicht-negativ. Jedoch multipliziert man das hier mit -5, also wird der gesamte Ausdruck hier nicht-positiv. Jedoch multipliziert man das hier mit -5, also wird der gesamte Ausdruck hier nicht-positiv. Also wird es niemals zu 180. Unser Maximalwert ist erreicht, wenn dieser Term hier gleich 0 wird. Unser Maximalwert ist erreicht, wenn dieser Term hier gleich 0 wird. Wann wird dieser Term gleich 0? Um diesen Term gleich 0 zu setzen, muss (x - 4) gleich 0 sein. Um diesen Term gleich 0 zu setzen, muss (x - 4) gleich 0 sein. Die einzige Möglichkeit, (x - 4) gleich 0 zu bringen, ist wenn x gleich 4 gesetzt wird. Die einzige Möglichkeit, (x - 4) gleich 0 zu bringen, ist wenn x gleich 4 gesetzt wird. Beim einfachen hingucken sieht man: "Hey, was macht dies zu 0?" Beim einfachen hingucken sieht man: "Hey, was macht dies zu 0?" 4! x gleich 4 macht dies hier zu 0. Genau hier. Bei h(4) wird dieser Term gleich Null und es bleibt lediglich 180 übrig. Bei h(4) wird dieser Term gleich Null und es bleibt lediglich 180 übrig. Bei h(4) wird dieser Term gleich Null und es bleibt lediglich 180 übrig. Hier, das ist die gesuchte Maximalhöhe: 180. Hier, das ist die gesuchte Maximalhöhe: 180. Diese wird 4 Sekunden nach dem Start erreicht. Die letzte Frage ist: Wie lange nach Start dauert es, bis wir die Höhe 0 erreicht haben? Die letzte Frage ist: Wie lange nach Start dauert es, bis wir die Höhe 0 erreicht haben? Für welches x wird die Höhe gleich 0. Um das herauszufinden, müssen wir h(x) = 0 setzen. Oder wir können h(x) als -5 mal (x - 4)² plus 180 gleich 0 schreiben. Oder wir können h(x) als -5 mal (x - 4)² plus 180 gleich 0 schreiben. Bitte auch hier wieder das Video pausieren und probieren, ob ihr das selbstständig lösen könnt. Bitte auch hier wieder das Video pausieren und probieren, ob ihr das selbstständig lösen könnt. Man kann 180 von beiden Seiten abziehen und erhält: -5 mal (x - 4)² ist gleich -180. Man kann 180 von beiden Seiten abziehen und erhält: -5 mal (x - 4)² ist gleich -180. Man kann 180 von beiden Seiten abziehen und erhält: -5 mal (x - 4)² ist gleich -180. Wir können beide Seiten durch -5 teilen und erhalten: (x - 4)² gleich 36. Wir können beide Seiten durch -5 teilen und erhalten: (x - 4)² gleich 36. Dann ziehen wir sozusagen die positive bzw. negative Wurzel. Dann ziehen wir sozusagen die positive bzw. negative Wurzel. Dann ziehen wir sozusagen die positive bzw. negative Wurzel. Dann ziehen wir sozusagen die positive bzw. negative Wurzel. Dann haben wir x minus 4 gleich 6. Dann haben wir x minus 4 gleich 6. Oder, x minus 4 ist gleich -6. Im ersten Fall addieren wir 4 auf beiden Seiten und erhalten x gleich 10. Im ersten Fall addieren wir 4 auf beiden Seiten und erhalten x gleich 10. Oder wir addieren hier 4 auf beiden Seiten und erhalten x gleich -2. Oder wir addieren hier 4 auf beiden Seiten und erhalten x gleich -2. Wir haben es hier mit der Zeit zu tun, -2 wäre also in der Vergangenheit. Wir haben es hier mit der Zeit zu tun, -2 wäre also in der Vergangenheit. Ohne diese Plattform würde die Flugbahn hier einfach fortgesetzt werden. Ohne diese Plattform würde die Flugbahn hier einfach fortgesetzt werden. Zurück in der Zeit sozusagen. Aber dieses x soll hier nicht berücksichtigt werden. Wir möchten den positiven Zeitwert und dieser liegt genau hier. Wenn x gleich 10 ist. 10 Sekunden nach dem Start beträgt unsere Höhe 0. 10 Sekunden nach dem Start beträgt unsere Höhe 0. Bei der Höhe 0, also Meeresspiegel könnte man sagen, trifft unser Projektil auf dem Boden auf. Bei der Höhe 0, also Meeresspiegel könnte man sagen, trifft unser Projektil auf dem Boden auf. Bei der Höhe 0, also Meeresspiegel könnte man sagen, trifft unser Projektil auf dem Boden auf.