Einführung in Parabel-Transformationen

Hier habe ich die einfachste Parabel gezeichnet: y gleich x^2. Was passiert, wenn ich sie verschiebe? Und wie kann ich das tun? Betrachten wir ein paar Beispiele. Der Graph dieser Kurve. Das ist y = x^2. Überlegen wir uns die Kurve von y minus k gleich x^2. Wie würde das aussehen? Dort, wo x gleich 0 ist, ist x^2 auch gleich null. Das ist die gelbe Kurve. x^2 ist dasselbe wie y, oder y ist gleich x^2. Aber hier ist x^2 nicht gleich y, sondern gleich y minus k. Wenn x gleich 0 ist und wir es quadrieren, mit 0^2 kommen wir nicht auf y, sondern auf y - k. mit 0^2 kommen wir nicht auf y, sondern auf y - k. Das hier wird also um k kleiner als y sein. Anders überlegt, wenn hier 0 ist, und um k kleiner als y ist, dann muss y bei k liegen, wo auch immer k ist. und um k kleiner als y ist, dann muss y bei k liegen, wo auch immer k ist. Zumindest bei diesem Punkt wurde der Wert von y um k angehoben. Das stimmt für alle diese Werte. Nehmen wir das x hier drüben. Für die gelbe Kurve quadrierst du das x und kommst hier hin. Die Kurve ist offensichtlich nicht massgetreu. Die Kurve ist offensichtlich nicht massgetreu. Du quadrierst x und landest hier. Aber bei dieser Kurve, da kommst du mit x^2 nicht hin. Damit kommst du nur auf y minus k. Daher muss y um k höher sein als hier. Das hier ist y - k. y muss um k höher sein als das hier. y muss also hier liegen. Diese Kurve ist also diese gelbe Kurve hinauf verschoben um k. Diese Kurve ist also diese gelbe Kurve hinauf verschoben um k. Wenn man x^2 gleich y minus k setzt, verschiebt man die Kurve also um k nach oben. Verschiebe jeden Wert hier um k nach oben. Dieser Abstand ist eine Konstante, k, der vertikale Abstand zwischen diesen beiden Parabeln. Ich zeichne das so sauber wie möglich. Dieser vertikale Abstand ist die Konstante k. Überlegen wir nun, wie wir das horizontal verschieben könnten. Überlegen wir, was passiert, wenn y nicht x zum Quadrat ist, sondern x minus h zum Quadrat. Schauen wir uns das an. Das ist der Wert, den du für y bekommst, wenn du Null bloss quadrierst. Du bekommst y gleich 0. Wie bekommen wir y = 0 hier drüben? Dieser Ausdruck muss 0 sein, also x minus h muss 0 sein, oder x muss gleich h sein. Sagen wir, dass h hier sei. x muss also gleich h sein. Wir können uns das so vorstellen: Jeden Wert, den wir hier quadriert hatten, um dein y zu bekommen, musst du jetzt um h erhöhen, um den selben Wert zu quadrieren, weil du ja h davon subtrahierst. Nur um zu 0 zu kommen, nur um 0 zu quadrieren, muss x gleich h sein. Wenn du hier 1 quadrieren wolltest, musste x einfach gleich eins sein. Nehmen wir an, hier ist x = 1. und hier ist 1^2, eindeutig nicht masstabsgetreu gezeichnet. Das wäre also auch gleich 1. Aber um hier 1 zu quadrieren, brauchen wir nicht x = 1. X muss h plus 1 sein. Es muss um 1 höher als h sein. Es muss gleich h + 1 sein, um zu demselben Punkt zu kommen. Du siehst das Ergebnis davon, dass wir anstatt x zu quadrieren (x - h) quadriert haben, dadurch haben wir die Kurve nach rechts verschoben. Die Kurve-- ich mache sie violett-- sieht so aus. Wir haben sie nach rechts verschoben, wir haben sie um h nach rechts verschoben. Denken wir uns noch ein Experiment aus. Stellen wir uns die Kurve von y gleich -x^2. Für jeden Wert von x^2 nehmen wir das negative davon. Hier, egal welches x wir nahmen, wir haben es quadriert. Wir bekamen einen positiven Wert. Jetzt bekommen wir immer einen negativen Wert, sobald wir es mit -1 multiplizieren. Das sieht so aus. Das ist ein Spiegelbild von y = x^2, gespiegelt an der horizontalen Achse. Das sieht ungefähr so aus. Das ist also y = -x^2. Jetzt verändern wir das noch mehr. Wie sähe y gleich -2 mal x^2 aus? Machen wir zwei Dinge. Wie sieht y gleich 2 x^2 aus? Zuerst also die positive Version, y gleich 2 mal x^2. Nachdem wir die Sachen quadriert haben, multiplizieren wir sie noch mit 2. Also wächst das schneller. Das sieht etwa so aus, schmaler und steiler. ungefähr so. Ich skizziere das hier nur. Das ist alles nicht massstabsgetreu. Um einen Faktor vergrössert wächst es schneller. y gleich -2 mal x^2 wird dann schneller negativ, auf beiden Seiten. Das sieht etwa so aus. Das wird das Spiegelbild von der Kurve zuvor, eine schmalere Parabel. Genau gleich funktioniert-- meine Zeichnung wird durcheinander-- wir begannen mit y gleich x zum Quadrat, das ist diese Kurve. Was passiert, wenn wir y gleich 1/2 mal x^2 machen? Mir gehen die Farben aus. y gleich 1/2 mal x^2 das wird langsamer wachsen. Es sieht gleich aus, wird aber breiter. Es wächst langsamer, etwa so. Es wächst langsamer, etwa so. Jetzt hast du hoffentlich eine Vorstellung davon, wie wir Parabeln verändern können. Zum Beispiel-- hier eine grobe Zeichnung damit du dir vorstellen kannst, was wir hier tun. Wenn das y gleich x^2 ist, der Graph von y gleich x^2, der Graph von y gleich x^2, in einer neuen Farbe, dann ist der Graph von y minus k gleich A mal (x minus h) zum Quadrat sieht dann so aus. Der Scheitel liegt nicht bei (0|0), der Scheitel oder der niedrigste, oder der minimale oder maximale Punkt, der Extrempunkt der Parabel, dieser Punkt hier, also das Maximum für eine nach unten offene Parabel, das Minimum für eine nach oben offene Parabel, der verschiebt sich. Er verschiebt sich um h nach rechts, und um k nach oben. Der Scheitel liegt dann hier. Und sie wird um A skaliert. Wenn A gleich 1 ist, sieht das gleich aus. Dann hat das dieselbe Öffnung. Das ist für A gleich 1. Wenn A größer als 1 ist, dann wird das steiler. Wenn A kleiner als 1 ist aber größer als 0, dann ist die Öffnung größer. dann ist die Öffnung größer. Wenn A gleich null ist, dann wird das eine flache Linie. Und wenn A negativ ist aber kleiner als minus 1, dann ist die Öffnung groß, wie hier. Eigentlich sollte ich sagen, größer als minus 1. Wenn es zwischen 0 und minus 1 liegt, ist die Öffnung groß. Bei minus 1 sieht es aus wie ein Spiegelbild der ursprünglichen Kurve. Und wenn A kleiner ist als minus 1-- also noch negativer-- dann wird einen steilere Parabel daraus, etwa so. Das gibt dir hoffentlich eine gute Vorstellung davon, wie man Parabeln verschiebt und skaliert.