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Video-Transkript

In diesem Video werde ich eine der mindestens fünf wichtigsten Formeln, die es in der Mathematik gibt, vorstellen. Wenn Du bereits eines meiner vielen Videos gesehen hast, dann weißt Du, dass ich kein Fan davon bin, mir komplizierte Sachen zu merken Dennoch werde ich Dir empfehlen, dass du Dir diese Dinge mit der Herleitung merkst, da ich nicht möchte, dass Du diese Formeln einfach auswendig lernst, ohne zu wissen, wo sie herkommen Nun, da ich dieses gesagt habe, möchte ich Dir sagen, wovon ich rede: Die Quadratische Formel. Und wie Du bereits vermuten magst, nutzt man diese, um die Wurzeln, oder die Nullstellen einer quadratischen Gleichung auszurechnen. Zuerst einmal werden wir uns den allgemeinen Fall ansehen und ich werde Dir einige Beispiele zeigen. Angenommen wir haben eine Gleichung in der Form ax² + bx + c = 0 Sie sollten bereits von dieser Form gehört haben. Dies ist eine Gleichung, bei der a, b und c --- Naja, a ist der Koeffizient zu x² oder der Term zweiten Grades, b ist der Koeffizient auf der X-Term und c, Sie könnte sich vorstellen, der Koeffizient auf das x null ist, man bezeichnet die auch als eine Konstante. Jetzt, da Sie eine allgemeine quadratische Gleichung gegeben haben wie diese, sagt uns die quadratische Formel, dass die Lösungen für diese Gleichung x = b +/- die Quadratwurzel von b - 4ac² ist, all dann über 2a. . Wir bekommen X, das sagt uns, dass x wird gleich sein ist b Quadrat 16, nicht wahr? 4 kariert ist 16, abzüglich 4 mal a, die 1 mal c, ist die negative 21 ist. So können wir eine 21 draußen setzen und die negativen Vorzeichen wird Heben Sie den gerade wie das mit dem--da dies die erste Zeit, die wir tun es, lassen Sie mich nicht zu viele Schritte überspringen. 21, Also negativ, nur damit Sie sehen können, wie es in, passen und dann all das über 2a. eine ist 1, also alle, die im Laufe der 2. Was bedeutet diese vereinfachen oder hoffentlich vereinfacht? So wir bekommen x ist gleich 4 negative plus oder minus die quadratische Wurzel--Let 's siehe, wir haben eine negative Mal, ein negativ, das geht uns ein positives geben. Und wir hatten 16 plus, mal sehen, das 6, 4 Mal haben 1 4 ist mal 21 ist 84. 16 plus 84 ist 100. Das ist nett. Das ist ein schönes perfektes Quadrat. Wird, dass über 2 und so dass diese alle gleich sein negative 4 plus oder minus 10 über 2. Wir konnten nur beiden Begriffen durch 2 jetzt teilen. So dies geteilt entspricht durch 4 negativ ist 2 negativ 2 Plus oder minus 10 geteilt durch 2 ist 5. Also, die uns, dass das x gleich 2 plus 5 negativ sein könnte sagt, Was ist 3, oder x gleich 2 abzüglich 5 negativ sein könnte, welche negativen 7 ist. Also scheint die Mitternachtsformel zu uns gegeben haben eine Antwort dafür. Sie können überprüfen, nur durch die Substitution wieder in die Diese funktionieren, oder Sie könnten auch nur versuchen, dies zu berücksichtigen gleich hier. Sie sagen, welche zwei Zahlen, wenn Sie ihr Produkt, nehmen Sie negative 21 erhalten und wenn Sie ihre Summe nehmen, die Sie erhalten positive 4? So Sie hatte Get x plus 7 mal x minus 3 ist gleich 21 negativ. Beachten Sie negative 7 mal 3 ist negative 21, 7 minus 3 ist positive 4. Erhalten Sie X Plus - sorry, es ist nicht negativ--21 ist gleich 0. Es sollte eine 0 gibt. So Sie erhalten x Plus 7 ist gleich 0 oder x abzüglich 3 ist gleich 0. X 7 negativ gleich sein, oder x konnte gleich 3. So gibt es auf jeden Fall uns die gleiche Antwort wie factoring, also könnte man sagen, hey warum die Mühe mit diesem verrückten Schlamassel? Und der Grund wollen wir die Mühe mit dieser verrückten durcheinander ist Es wird auch für Probleme, die schwer zu Faktor funktionieren. Und machen wir ein paar von denen, lassen Sie uns einige hart Faktor Probleme jetzt. Also lasst uns einen Bildlauf nach unten, um einige frische Immobilien zu erhalten. Lassen Sie uns umschreiben die Formel wieder, nur für den Fall, dass wir noch nicht hatte es noch auswendig gelernt. X wird gleich negativ sein b plus oder minus die Quadratwurzel von b abzüglich 4ac kariert, Alles über 2a. Ich werde dies zu einem anderen Problem liefern. Nehmen wir an wir haben die Gleichung 3 x Quadrat Plus 6 X ist gleich negative 10. Nun, ist das erste, was wollen wir tun es in Form zu bekommen wo alle unsere Geschäftsbedingungen oder auf der linken Seite, also lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung 10 hinzufügen. Wir erhalten 3 X Quadrat plus 6 X plus 10 ist gleich 0. Und jetzt können wir eine Mitternachtsformel. Also lassen Sie uns es hier anwenden. Also eines ist gleich 3. D. h. a, das b und das hier ist c. So dass die Mitternachtsformel uns sagt die Lösungen für diese Gleichung. Die Wurzeln dieser quadratische Funktion, schätze ich Wir könnten es nennen. X wird gleich negative b sein. b 6, also negative 6 plus oder minus die Quadratwurzel von b kariert. b ist 6, so wir 6 kariert abzüglich 4 Mal bekommen eine, die ist 3 Zeiten c ist die 10. Wir dehnen die radikale etwas, das alles über 2 Mal a, 2 mal 3. So wir bekommen x ist gleich 6 negative plus oder minus die Quadratwurzel von 36 Minus--das ist interessant--abzüglich 4 mal 3 mal 10. So ist dieses Minus--4 mal 3 mal 10. Das ist also minus 120. Alles über 6. Also dies ist interessant, könnte Sie schon erkennen, warum es ist interessant. Was kostet das zu vereinfachen? Was ist 36 abzüglich 120? Das ist 84. Wir machen dies zu einer 10, dies wird ein 11, dies ist ein 4. Es ist 84, so wird dies negative plus 6 gleich sein oder abzüglich der Quadratwurzel der--aber nicht positiv 84 If, die Es ist 120 minus 36. Wir haben 36 abzüglich 120. Es geht um negative 84 All das 6. Damit Sie, gee sagen könnten, das ist verrückt. Was eine dieser dumme Mitternachtsformel du bist Einführung in Sal? Es ist wertlos. Es gibt nur mir eine Quadratwurzel einer negativen Zahl. Es ist mir keine Antwort geben. Und der Grund, warum es nicht Ihnen eine Antwort, zumindest gibt eine Antwort, die Sie vielleicht, ist, weil dies keine haben echte Lösungen. In Zukunft werden wir so genannte einführen eines imaginäre Zahl, das ist eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl, und dann werden wir können eigentlich dies in Worten ausdrücken dieser Zahlen. Also das hat tatsächlich Lösungen auch, aber sie beinhalten imaginäre Zahlen. So dass dies eigentlich keine wirklichen Lösungen hat, wir nehmen die die Quadratwurzel einer negativen Zahl. Also das Quadrat mit dem b b abzüglich 4ac, kariert, wenn diese Begriff hier negativ ist, dann wirst du nicht haben jede echten Lösungen. Und überprüfen Sie, ob wir für uns selbst. Lasst uns unsere grafischen Taschenrechner heraus und lassen Sie uns graph Diese Gleichung gleich hier. Also, lasst die Diagramme, die y ist gleich--, die 's what I hatte es vor--3 X Quadrat plus 6 X plus 10. Also das ist die Gleichung, und wir sehen, wo es die x-Achse schneidet. Wo ist es 0 gleich? Lassen Sie mich es grafisch darstellen. Beachten Sie, dass diese Sache gerade kommt und geht dann zurück auf. Die Vertex ist oberhalb der x-Achse, und es ist hier sitzen. nach oben öffnende. Es überschneidet sich nie um die x-Achse. Also zu keinem Zeitpunkt wird dieser Ausdruck wird dies Funktion gleich 0. Zu keinem Zeitpunkt wird y 0 auf diesem Diagramm gleich. Also nochmals, scheint die Mitternachtsformel zu arbeiten. Machen wir noch ein Beispiel, Sie können immer sehen genug Beispiele hier. Und ich möchte diejenigen tun sind, wissen Sie, vielleicht nicht so offensichtliche Faktor. Also lassen Sie uns sagen, wir bekommen negative 3 X Quadrat plus 12 X plus 1 ist gleich 0. Jetzt versuchen wir es nur mit der Mitternachtsformel in unserem Gehirn. So werden die x, die diese Gleichung erfüllen, werden b negativ. Dies ist b So negative b negative 12 plus oder minus die b Quadratwurzel quadriert, von 144, das Quadrat minus 4 b wie oft ein, die negativ C 3 Mal, die ist 1, alle die über 2 mal a, mehr als 2 Mal negativ 3. Also alle, dass über 6 negativ, wird dies gleich sein negative 12 plus oder minus die Quadratwurzel der--Was ist das? Es ist eine Negative Zeiten eine Negative, so heben Sie sich heraus. So habe ich 144 zuzüglich 12, so dass 156, richtig? 144 plus 12, negative, dass über alle 6. Nun vermute ich, daß wir diese 156 vereinfachen können. Wir könnten vielleicht einige Dinge bringen die Radical-Zeichens. Also lasst uns versuchen, das zu tun. Also lassen Sie uns eine Primfaktorzerlegung 156. Manchmal ist dies der schwierigste Teil, die radikale Vereinfachung. 156 Ist also dasselbe wie 2 Mal 78. ist 78 das gleiche wie 2 mal was? Das ist 2 mal 39. So ist die Quadratwurzel von 156 gleich der Quadratwurzel aus 2 mal 2 Mal konnten 39 oder wir sagen, dass die Quadratwurzel 2 mal 2 mal die Quadratwurzel von 39. Und, natürlich, nur wird die Quadratwurzel 4 oder diese ist die Quadratwurzel von 2 mal 2 ist nur 2. 2 Quadratwurzeln 39, wenn ich das richtig, täten wir Siehe 4mal 39. Ja, sieht es wie es richtig ist. Also wird dies hier auf negative 12 plus oder minus 2 vereinfachen. Mal die Quadratwurzel von 39 negative, dass über alle 6. Nun können wir den Zähler und den Nenner teilen vielleicht durch 2. So wird dies gleich 6 negative plus oder minus die Quadratwurzel von 39 über negative 3. Oder wir könnten diese beiden Begriffe heraus trennen. Wir könnten sagen, dass dies gleich über negative 3 6 negativ ist Plus oder minus die Quadratwurzel von 39 mehr als negativ 3. Nun ist dies nur eine 2 hier, richtig? Diese Abbrechen heraus, 6 geteilt durch 3 ist 2, so wir 2 bekommen. Und jetzt Kündigung, wenn dies ist zuzüglich und wir verwenden diese Minus Zeichen, das Plus negative und das Negative wird geworden Sie positiver. Aber es noch keine Rolle, richtig? Wir könnten sagen, oder plus, das ist das gleiche wie Plus oder minus die Quadratwurzel von 39 neun über 3. Ich denke, das ist etwa so einfach wie wir dies beantwortet werden können. Ich möchte ganz klar was ich machen den letzten Schritt tat. Ich nicht vergessen, über diese negativen Vorzeichen. Ich sagte nur, es spielt keine Rolle. Es geht um die positiven in die Negative verwandeln; Es geht um das negativ in das Positive zu verwandeln. Lassen Sie mich dies umschreiben. Also kann dies hier als 2 plus das Quadrat umgeschrieben werden Stamm über negative 3 oder 2 abzüglich der Quadratwurzel der 39 39 über negative 3, richtig? Das ist, was das Plus oder minus bedeutet, könnte es sein, dass dies oder oder beide, wirklich. Jetzt wird in diesem Fall diese negative 3 zu 2 machen abzüglich der Quadratwurzel der 39 über 3, richtig? Ich bin gerade dabei das negative heraus. Hier die negativen und die negativen werden eine positiv, und Sie erhalten 2 plus die Quadratwurzel 39 über 3 richtig? Eine Negative Zeiten ein negativ ist positiv. Also nochmals, Sie haben 2 plus oder minus die Platz 39 in 3. 2 plus oder minus die Quadratwurzel von 39 über 3 sind Lösungen für diese Gleichung genau dort. Lassen Sie überprüfen. Ich bin nur neugierig, wie die Grafik aussieht. Also lassen Sie uns es nur anschauen. Lassen Sie mich dies deaktivieren. Wo ist die Schaltfläche Löschen? So wir negative 3 haben drei kariert plus 12 X plus 1 und lassen Sie uns es Grafik. Mal sehen, wo es die x-Achse schneidet. Es geht und dort wieder nach unten wieder. Also 2 plus oder minus den Platz, Sie sehen--die Quadratwurzel wird 39 ein wenig mehr als 6 richtige werden? Da 36 6 kariert ist. Also wird es ein wenig mehr als 6, werden, so wird dies ein bisschen mehr als 2 sein. Ein wenig mehr als 6 geteilt durch 2 ist ein bisschen mehr als 2. Also wirst du einen Wert erhalten, die ein bisschen mehr ist als 4 und dann einen anderen Wert sollte so ein bisschen sein. weniger als 1. Und das sieht dann der Fall, müssen Sie 1, 2, 3, 4. Sie haben einen Wert, der ziemlich in der Nähe von 4 ist, und dann haben Sie ein weiterer Wert, der ein bisschen--ist es nahe 0 sieht aber vielleicht ein bisschen weniger als das. Wie auch immer, hoffentlich finden Sie die Anwendung von der Mitternachtsformel hilfreich.