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"Bestimme die Anzahl der Lösungen der Gleichung x² + 14x + 49 = 0" "Bestimme die Anzahl der Lösungen der Gleichung x² + 14x + 49 = 0" Dazu gibt es einige Möglichkeiten. Wir könnten sie faktorisieren und einfach die x-Werte, die die Gleichung lösen, herausfinden und zählen. Wir könnten sie faktorisieren und einfach die x-Werte, die die Gleichung lösen, herausfinden und zählen. Wir könnten sie faktorisieren und einfach die x-Werte, die die Gleichung lösen, herausfinden und zählen. Wir können auch die quadratische Formel anwenden. Hier jedoch möchte ich eigentlich die quadratische Formel näher betrachten und versuchen, wie man die Anzahl der Lösungen ermitteln kann, ohne diese unbedingt explizit zu finden. wie man die Anzahl der Lösungen ermitteln kann, ohne diese unbedingt explizit zu finden. wie man die Anzahl der Lösungen ermitteln kann, ohne diese unbedingt explizit zu finden. Nach der Quadratformel haben wir eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Nach der Quadratformel haben wir eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0. Die Lösungen seien, wenn vorhanden, -b +/- Wurzel b² - 4ac. Die Lösungen seien, wenn vorhanden, -b +/- Wurzel b² - 4ac. Die Lösungen seien, wenn vorhanden, -b +/- Wurzel b² - 4ac. Das Ganze geteilt durch 2a. Der Grund dafür, dass wir zwei Lösungen haben können, ist das +/- hier. Der Grund dafür, dass wir zwei Lösungen haben können, ist das +/- hier. Wenn das hier, b² - 4ac, eine positive Zahl ist, dann müssen wir hier kurz überlegen. Wenn das hier, b² - 4ac, eine positive Zahl ist, dann müssen wir hier kurz überlegen. Wenn b² - 4ac > 0 ist, was passiert dann? Wenn b² - 4ac > 0 ist, was passiert dann? Nun, dann ist es eine positive Zahl. Wir haben eine Wurzel. Wenn du es dann zu -b addierst, erhälst du einen Wert für den Zähler, wenn du es von -b subtrahierst, erhälst du einen weiteren Wert für den Zähler. wenn du es von -b subtrahierst, erhälst du einen weiteren Wert für den Zähler. wenn du es von -b subtrahierst, erhälst du einen weiteren Wert für den Zähler. Das führt also zu zwei Lösungen. Das führt also zu zwei Lösungen. Was passiert, wenn b² - 4ac = 0 ist? Wenn dieser Ausdruck unter der Wurzel gleich 0 ist, erhält man einfach die Wurzel von 0. Wenn dieser Ausdruck unter der Wurzel gleich 0 ist, erhält man einfach die Wurzel von 0. Also haben wir -b +/- 0. Es ist egal, ob man 0 addiert oder subtrahiert, man erhält denselben Wert. Es ist egal, ob man 0 addiert oder subtrahiert, man erhält denselben Wert. In diesem Fall ist die eigentliche Lösung dieser Gleichung also -b/2a. In diesem Fall ist die eigentliche Lösung dieser Gleichung also -b/2a. Es geht nicht mehr um + oder -, dies ist nicht mehr relevant. Es geht nicht mehr um + oder -, dies ist nicht mehr relevant. Man hat lediglich eine Lösung. Bei b² - 4ac = 0 erhalten wir also nur eine Lösung. Bei b² - 4ac = 0 erhalten wir also nur eine Lösung. Was geschieht nun, wenn b² - 4ac < 0 ist? Was geschieht nun, wenn b² - 4ac < 0 ist? Wenn b² - 4ac < 0 ist, dann haben wir hier eine negative Zahl und ziehen daraus die Wurzel. Wenn b² - 4ac < 0 ist, dann haben wir hier eine negative Zahl und ziehen daraus die Wurzel. Wenn b² - 4ac < 0 ist, dann haben wir hier eine negative Zahl und ziehen daraus die Wurzel. Durch den Umgang mit reelen Zahlen wissen wir, dass man hier keine Wurzel ziehen kann. Durch den Umgang mit reelen Zahlen wissen wir, dass man hier keine Wurzel ziehen kann. Es existiert keine reele Zahl, dessen Quadrat eine negative Zahl ist. Es existiert keine reele Zahl, dessen Quadrat eine negative Zahl ist. In dieser Situation gibt es also keine Lösung, keine reele Zahl (ich meine nicht "reele Lösung"). In dieser Situation gibt es also keine Lösung, keine reele Zahl (ich meine nicht "reele Lösung"). In dieser Situation gibt es also keine Lösung, keine reele Zahl (ich meine nicht "reele Lösung"). In dieser Situation gibt es also keine Lösung, keine reele Zahl (ich meine nicht "reele Lösung"). Setzen wir dies nun in Kontext mit dieser Gleichung hier. Setzen wir dies nun in Kontext mit dieser Gleichung hier. Falls ihr euch fragt, wie man diesen Ausdruck, b² - 4ac, nennt, er heißt "Diskriminante". Falls ihr euch fragt, wie man diesen Ausdruck, b² - 4ac, nennt, er heißt "Diskriminante". Falls ihr euch fragt, wie man diesen Ausdruck, b² - 4ac, nennt, er heißt "Diskriminante". Falls ihr euch fragt, wie man diesen Ausdruck, b² - 4ac, nennt, er heißt "Diskriminante". Falls ihr euch fragt, wie man diesen Ausdruck, b² - 4ac, nennt, er heißt "Diskriminante". "Diskriminante" Sie ist Teil der Quadratfunktion. Sie bestimmt die Anzahl der Lösungen, die wir haben. Wenn wir also die Anzahl an Lösungen dieser Gleichung ermitteln wollen, müssen wir nicht die Wenn wir also die Anzahl an Lösungen dieser Gleichung ermitteln wollen, müssen wir nicht die ganze Gleichung entlang gehen, obwohl es eigentlich gar nicht so viel Aufwand ist. Wir müssen nur b² - 4ac ermitteln. Was ist b² - 4ac? b ist 14, hier. Also 14² - 4 mal a, also 1, mal c, 49. 14² - 4 mal 1 mal 49. Also 14² - 4 mal a, also 1, mal c, 49. 14² - 4 mal 1 mal 49. Das c hier, mal 49. Was ergibt 14 mal 14? Das machen wir am besten hier drüben... Das machen wir am besten hier drüben... 14 mal 14. a mal 4 ist 16... ...4 mal 1 ist 4... ...plus 1 ist 56. Hier 0. 1 mal 14 ist 14. ...also 6, 9, 1. Es ist 196. Das hier ergibt also 196. Die 1 hier können wir ignorieren. Was ist 4 mal 49? Was ist 4 mal 49? 4 mal 9 ist 36... ...4 mal 4 ist 16 plus 3 ist 190 bzw. 19, also erhalten wir 196. ...4 mal 4 ist 16 plus 3 ist 190 bzw. 19, also erhalten wir 196. Das hier ist also 196. b² - 4ac ist also 196 - 196. Das ist gleich 0. b² - 4ac ist also 196 - 196. Das ist gleich 0. Wir haben hier also den Fall, dass die Diskriminante gleich 0 ist. Wir haben hier also den Fall, dass die Diskriminante gleich 0 ist. Wir haben nur eine Lösung. Man kann diese Lösung auch ermittlen. Diser ganze Teil ist die Wurzel von 0. Also einfach 0. Die Lösung ist also -b/2a. Das -b ist dann -- das können wir lösen. -b ist -14/2 mal a. a ist einfach 1/2. Also ist es gleich -7. Das ist die einzige Lösung zu dieser Gleichung. Aber wenn ihr einfach wissen wollt, wie viele Lösungen es gibt, müsst ihr einfach sicherstellen, dass b² - 4ac = 0 ist. Sie hat also nur eine Lösung. Es gibt noch andere Wege. Man könnte das hier einfach faktorisieren zu (x + 7)*(x + 7) und das gleiche Ergebnis erhalten. Man könnte das hier einfach faktorisieren zu (x + 7)*(x + 7) und das gleiche Ergebnis erhalten. Man könnte das hier einfach faktorisieren zu (x + 7)*(x + 7) und das gleiche Ergebnis erhalten.