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Beispielaufgabe: Quadratformel (negative Koeffizienten)

Video-Transkript

Wir müssen folgende quadratische Gleichung lösen: -3x zum Quadrat + 10x - 3 = 0 Und sie ist schon in der Standardform geschrieben. Es gibt viele Möglichkeiten, dies zu lösen. Aber speziell hier löse ich es mit der Mitternachtsformel. Lasst es mich nochmal aufschreiben. Wir haben: -3x zum Quadrat + 10x - 3 = 0 Im Prinzip löse ich sie zweimal mit der Mitternachtsformel, um euch zu zeigen, dass, egal wie wir sie auf zulässigem Weg verändern, die Mitternachtsformel uns die exakt gleichen Wurzeln beziehungsweise Ergebnisse zu dieser Gleichung gibt. Was sind also in dieser Form unsere ABCs? Führen wir uns nochmal ins Gedächtnis, was die Mitternachtsformel eigentlich ist. Ein guter Punkt, um anzufangen. Die Mitternachtsformel sagt uns, dass wenn wir eine quadratische Gleichung der Form "ax zum Quadrat + bx + c = 0", also in Standardform haben, dann sind ihre Wurzeln: x = -b +/- der Quadratwurzel von b zum Quadrat - 4ac, das alles geteilt durch 2a. Das hier wurde hergeleitet durch Beseitigen des Quadrates auf normalem Weg. Es ist also keine Zauberei hier, ich habe es in anderen Videos hergeleitet. Aber das ist die Mitternachtsformel. Sie gibt uns im Prinzip 2 Lösungen, da man hier die positive Quadratwurzel und hier die negative Quadratwurzel hat. Lasst sie uns also für diesen Fall anwenden, a = -3, b = 10 und c = -3. Die Formel also hier angewandt, erhalten wir unsere Lösungen: x = -b b = 10. Also ist -b = -10 +/- Quadratwurzel von b zum Quadrat. b =10. Also ist b zum Quadrat = 100 - 4*a*c Also: - (4*(-3)*(-3)) Schreiben wir es hin. - (4*(-3)*(-3)). Das alles steht unter der Wurzel. Und das alles geteilt durch 2a. Also 2*a = -6. Das ist dann gleich -10 +/- Quadratwurzel von 100 minus -- (-3)* (-3) ist +9. +9*4 = +36. Hier haben wir ein Minuszeichen. Also -36. Das alles geteilt durch -6. Das ist gleich 100 - 36 = 64. Also -10 +/- Quadratwurzel von 64. Alles geteilt durch -6. Die Wurzel aus 64 ist 8. Wir nehmen aber die positive und negative Quadratwurzel. Das ist also -10 +/- 8 geteilt durch -6. Wenn wir die positive Möglichkeit nehmen, sagen wir, x könnte gleich -- -10 + 8 = -2 geteilt durch -6. Das war also die positive Version. Das ist das hier. Und -2/-6 = 1/3. Wenn wir die negative Quadratwurzel nehmen, -10 - 8 -- Also lasst uns -10 - 8 nehmen. Das wäre dann: x = -10 - 8 = -18. Und das geteilt durch -6. -18/-6 = +3. Die beiden Wurzeln für diese quadratische Gleichung sind also + 1/3 und +3. Und ich will euch zeigen, dass wir die gleiche Lösung erhalten, selbst wenn wir das hier manipulieren. Manche stört es vielleicht, dass unser erster Koeffizient hier eine -3 ist. Vielleicht wollen sie eine +3. Um also diese -3 loszuwerden, können sie beide Seiten dieser Gleichung mit -1 multiplizieren. Wenn man das also tun würde, bekäme man 3x zum Quadrat - 10x + 3 = 0*(-1), was immer noch 0 ergibt. In diesem Fall also, ist a gleich 3, b ist gleich -10 und c ist wieder gleich 3. Und wir können die Mitternachtsformel anwenden. Wir erhalten x = -b. b = -10 Also ist -(-10) = +10 +/- Quadratwurzel von b zum Quadrat, was -10 zum Quadrat ergibt, was 100 ergibt, - 4*a*c. a*c = 9 * 4 = 36. Also -36. Das alles geteilt durch 2*a. Das alles geteilt durch 6. Das ist also geich 10 +/- Quadratwurzel von 64, das ergibt einfach nur 8. Das alles geteilt durch 6. Addieren wir 8 hier dazu, erhalten wir 10 + 8 = 18 geteilt durch 6. Wir erhalten: x könnte gleich 3 sein. Oder wenn wir hier die negative Quadratwurzel oder -8 nehmen, 10 - 8 =2. 2 geteilt durch 6 ist 1/3. Man bekommt auch hier wieder die identischen Lösungen.