Die Diskriminante ist Teil der quadratischen Formen unter dem Wurzelsymbol: b²-4ac. Wenn die Diskriminante uns sagt, ob es zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung gibt.

Kurze Wiederholung der quadratischen Lösungsformel

Die quadratische Lösungsformel besagt, dass
x=b±b24ac2ax=\dfrac{-\goldD{b}\pm\sqrt{\goldD{b}^2-4\purpleD{a}\redD{c}}}{2\purpleD{a}}
für jede quadratische Gleichung wie:
ax2+bx+c=0\purpleD{a}x^2 + \goldD{b}x + \redD{c} = 0

Was ist die Diskriminante?

Die Diskriminante\goldD{\text{Diskriminante}} ist der Teil der quadratischen Lösungsformel unter der Wurzel.
x=b±b24ac2ax=\dfrac{-{b}\pm\sqrt{\goldD{b^2-4ac}}}{2a}
Die Diskriminante kann positiv, Null oder negativ sein und diese legt fest wie viele Lösungen es bei der gegebenen quadratischen Gleichung gibt.
  • Eine positive Diskriminante zeigt an, dass die quadratische Gleichung zwei eindeutige reelle Zahlen als Lösung hat.
  • Eine Diskriminante mit Null zeigt an, dass die quadratische Gleichung ein mehrmalige reelle Zahl als Lösung hat.
  • Eine negative Diskriminante zeigt an, dass keine der Lösungen reelle Zahlen sind.
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Beispiel

Wir haben eine quadratische Gleichung gegeben und sollen bestimmen wie viele Lösungen sie hat:
6x2+10x1=06x^2+10x-1 =0
Mit Hilfe der Gleichung sehen wir:
  • a=6a=6
  • b=10b=10
  • c=1c=-1
Setzen wir diese Werte in die Diskriminante ein, erhalten wir:
b24ac=1024(6)(1)=100+24=124\begin{aligned} &b^2-4ac\\\\ =&10^2-4(6)(-1)\\\\ =&100+24\\\\ =&124 \end{aligned}
Dies ist eine positive Zahl, daher hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.
Dies macht Sinn, wenn wir über den dazugehörigen Graph nachdenken.
Beachte wie er die xx-Achse an zwei Punkten schneidet. In anderen Worten gibt es zwei Lösungen die eine yy-Wert von 00 haben, daher muss es zwei Lösungen geben von unserer Original-Gleichung: 6x2+10x1=06x^2+10x-1 =0.

Übung

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