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Beispielaufgabe: Gleichungen lösen durch quadratische Ergänzung

Video-Transkript

Wir wollen heute diese quadratische Gleichung lösen. Wir wollen heute diese quadratische Gleichung lösen. [Sal entschuldigt sich für störende Geräusche.] Gut. Zurück zu unserem Problem. Es gibt mehrere Möglichkeiten, um diese Gleichung zu lösen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, um diese Gleichung zu lösen. Wir könnten z.B. die linke Seite faktorisieren. Aber wir werden hier die Gleichung mithilfe einer Quadratischen Ergänzung lösen. Aber wir werden hier die Gleichung mithilfe einer Quadratischen Ergänzung lösen. Was bedeutet das? Das bedeutet, dass ich die linke Seite der Gleichung Das bedeutet, dass ich die linke Seite der Gleichung in die Form (x+a)² + b bringen werde. in die Form (x+a)² + b bringen werde. Wenn wir diese linke Gleichung in diese Form hier bringen, werden wir sehen, dass wir diese ziemlich einfach lösen können. werden wir sehen, dass wir diese ziemlich einfach lösen können. Also mal sehen, ob das klappt. Wir müssen uns nur daran erinnern, wie wir die linke Seite anordnen müssen, um diese Form zu erhalten. Wir müssen uns nur daran erinnern, wie wir die linke Seite anordnen müssen, um diese Form zu erhalten. Wir müssen uns nur daran erinnern, wie wir die linke Seite anordnen müssen, um diese Form zu erhalten. Wenn wir (x + a)² ausmultiplizieren, Wenn wir (x + a)² ausmultiplizieren, Wenn wir (x + a)² ausmultiplizieren, erhalten wir x² + 2ax + a² + b erhalten wir x² + 2ax + a² + b erhalten wir x² + 2ax + a² + b erhalten wir x² + 2ax + a² + b erhalten wir x² + 2ax + a² + b Mal sehen, ob wir das in diese Form bringen können. Das, was ich jetzt mache, ist die typische Vorgehensweise bei einer quadratischen Ergänzung. Das, was ich jetzt mache, ist die typische Vorgehensweise bei einer quadratischen Ergänzung. Das, was ich jetzt mache, ist die typische Vorgehensweise bei einer quadratischen Ergänzung. Also, x² - 2x - 8 = 0. Also, x² - 2x - 8 = 0. Also, x² - 2x - 8 = 0. Also, x² - 2x - 8 = 0. Also, x² - 2x - 8 = 0. Ich habe hier etwas Platz gelassen. Ich habe hier etwas Platz gelassen, um hier noch eine Subtraktion oder Addition einzufügen. Damit könnte es einfacher werden, diese Form zu erhalten. Damit könnte es einfacher werden, diese Form zu erhalten. Wenn wir unsere Terme jetzt einfach vergleichen: x² hier und x² hier, 2ax und -2x. Wenn das hier 2ax ist, ist 2a = -2. Wenn das hier 2ax ist, ist 2a = -2. Wenn das hier 2ax ist, ist 2a = -2. Also ist a gleich -1. Man könnte auch sagen, a ist gleich der Hälfte des Koeffizienten erster Ordnung, oder des Koeffizienten des x-Terms. Der Koeffizient des x-Terms ist -2 und die Hälfte davon ist -1. Der Koeffizient des x-Terms ist -2 und die Hälfte davon ist -1. Jetzt wollen wir wissen, was a² ist. Jetzt wollen wir wissen, was a² ist. Wenn a = - 1 ist, dann ist a² = 1. Also 1. Aber wir können nicht nur auf einer Seite etwas hinzufügen, Aber wir können nicht nur auf einer Seite etwas hinzufügen, ohne es auf der anderen Seite auch hinzuzufügen, oder es auf der gleichen Seite wieder zu subtrahieren. Andernfalls stimmt die Gleichung nicht mehr. Andernfalls stimmt die Gleichung nicht mehr. Also, wenn ich links 1 hinzufüge, Also, wenn ich links 1 hinzufüge, muss ich auch rechts 1 hinzufügen, damit die Gleichung wahr bleibt. muss ich auch rechts 1 hinzufügen, damit die Gleichung wahr bleibt. Ich könnte auch links 1 addieren und dann wieder subtrahieren, sodass ich den Wert der linken Seite nicht ändere. Ich addiere und subtrahiere 1 auf einer Seite. Ich addiere und subtrahiere 1 auf einer Seite. Und warum habe ich das gemacht? Ich habe den Wert der Gleichung nicht verändert. Ich habe den Wert der Gleichung nicht verändert. Ich habe denselben Wert addiert und dann wieder subtrahiert. Aber dieser Teil der linken Seite entspricht nun diesem Muster direkt hier, x² + 2ax, wobei a = -1 ist, also -2 x, + a² + -1². Und das ist + b. Und das ist + b. Wir wissen, dass b gleich - 9 ist. - 8 - 1 ist - 9. b ist gleich - 9. Damit können wir das umformulieren: Was ich hier grün umrandet habe, ist (x+a)². Was ich hier grün umrandet habe, ist (x+a)². a ist minus 1. Ich schreibe es zunächst so auf: (x + a)² oder (x + -1)². Also einfach (x - 1)² Also einfach (x - 1)² - 9 - 9 ist gleich 0. Ich addiere 9 auf beiden Seiten, und ich erhalte hier dieses Quadrat auf der linken Seite. und ich erhalte hier dieses Quadrat auf der linken Seite. Ich addiere 9 auf beiden Seiten. Und ich erhalte-- auf der linken Seite kürzt sich das heraus.. Ich addiere 9. Und ich erhalte (x-1)² Und das ist gleich 0 + 9, also 9. Wenn (x-1)² = 9 ist, Wenn (x-1)² = 9 ist, Wenn (x-1)² = 9 ist, etwas Quadriertes ist gleich 9, dann ist dieses Etwas entweder die positive oder die negative Quadratwurzel von 9. Also somit entweder 3 oder minus 3. x - 1 ist somit gleich 3 oder x - 1 ist gleich -3 Wenn x-1 = 3 ist, dann ist 3² = 9. Wenn x-1 = 3 ist, dann ist 3² = 9. Wenn x-1 = -3 ist, dann ist auch -3² = 9. Wenn x-1 = -3 ist, dann ist auch -3² = 9. Wir addieren dann 1 auf beiden Seiten dieser Gleichung, Wir addieren dann 1 auf beiden Seiten dieser Gleichung, Wir addieren dann 1 auf beiden Seiten dieser Gleichung, und wir erhalten x = 4. Oder, wenn ich auf beiden Seiten dieser Gleichung 1 addiert hätte, erhalten wir x = -3+1 = 2 erhalten wir x = -3+1 = 2 erhalten wir x = -3+1 = 2 x kann also = 4 oder = -2 sein. x kann also = 4 oder = -2 sein. Vielleicht fragst du dich, warum wir uns die Mühe einer quadratischen Ergänzung machen. Vielleicht fragst du dich, warum wir uns die Mühe einer quadratischen Ergänzung machen. Vielleicht fragst du dich, warum wir uns die Mühe einer quadratischen Ergänzung machen. Man hätte auch ausklammern können. Man hätte auch ausklammern können. Für dieses Beispiel hier könntest du damit recht haben. Aber die quadratische Ergänzung ist sehr wichtig, da du sie immer anwenden kannst. Aber die quadratische Ergänzung ist sehr wichtig, da du sie immer anwenden kannst. Bald wirst du auch die binomischen Formeln kennenlernen. Bald wirst du auch die binomischen Formeln kennenlernen. Und diese basieren auf der quadratischen Ergänzung. Und diese basieren auf der quadratischen Ergänzung. Tatsächlich ist es so, wenn du hier die Binomischen Formeln anwenden würdest, dann wäre dies im Ergebnis eine quadratische Ergänzung. dann wäre dies im Ergebnis eine quadratische Ergänzung. Hoffentlich hat dir das gefallen.