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Beispielaufgabe: Terme umschreiben durch quadratische Ergänzung

Video-Transkript

Betrachten wir diese Gleichung hier, x² plus 16x plus 9, und versuchen, sie in diese Form zu bringen. Betrachten wir diese Gleichung hier, x² plus 16x plus 9, und versuchen, sie in diese Form zu bringen. Betrachten wir diese Gleichung hier, x² plus 16x plus 9, und versuchen, sie in diese Form zu bringen. Warum machen wir das hier überhaupt? Warum machen wir das hier überhaupt? Zunächst ist es eine Übung zur algebraischen Umformung. Zunächst ist es eine Übung zur algebraischen Umformung. Genauer heißt die Technik "Quadratische Ergänzung". Genauer heißt die Technik "Quadratische Ergänzung". Sie ist eine äußerst wertvolle Technik, Quadrate zu lösen und letztlich Basis für die Mitternachtsformel, Sie ist eine äußerst wertvolle Technik, Quadrate zu lösen und letzlich Basis für die Mitternachtsformel, welche ihr kennen lernen werdet. Ein interessantes Werkzeug also. Wie schreiben wir das also nun in diese Form um? Zunächst können wir das hier ausmultiplizieren. (x plus a)², wir wissen, dass das x² plus 2ax plus a² ist, (x plus a)², wir wissen, dass das x² plus 2ax plus a² ist, (x plus a)², wir wissen, dass das x² plus 2ax plus a² ist, und dann haben wir noch dieses b hier. Wir können es einmal so versuchen: Nehmen wir diesen Ausdruck hier, x² plus 12x plus 9, ich lasse dabei ein wenig Platz. x² plus 16x und dann plus 9, so wie hier. Wir haben hier ein x², genauso wie hier. Wir haben hier ein x², genauso wie hier. Wenn wir sagen, 2ax sei dasselbe wie das hier, was ist dann dieses A hier? Wenn wir sagen, 2ax sei dasselbe wie das hier, was ist dann dieses A hier? Das ist also 2ax. Das heißt, 2a ist 16 bzw, a ist gleich 8. Das heißt, 2a ist 16 bzw, a ist gleich 8. Ich möchte hier nun auch ein a² haben, wenn a gleich 8 ist, könnte ich ein 8² hinzufügen, was 64 ergibt. wenn a gleich 8 ist, könnte ich ein 8² hinzufügen, was 64 ergibt. Ich kann nun nicht einfach willkürlich Zahlen zu diesem Ausdruck hinzufügen, ohne dessen Wert zu verändern. Um dies zu vermeiden, muss ich also zusätzlich noch 64 subtrahieren. Um dies zu vermeiden, muss ich also zusätzlich noch 64 subtrahieren. Alles, was ich gerade getan habe, ist, die ursprüngliche Gleichung zu nehmen, Alles, was ich gerade getan habe, ist, die ursprüngliche Gleichung zu nehmen, und 64 zu addieren bzw. zu subtrahieren. Dadurch bleibt der Wert dieses Ausdrucks unverändert. Der eigentliche Grund, warum ich das getan habe, ist jedoch, dass dieser erste Teil des Ausdrucks, Der eigentliche Grund, warum ich das getan habe, ist jedoch, dass dieser erste Teil des Ausdrucks, der Teil genau hier, zu dem Muster der Mitternachtsformel hier passt. zu dem Muster der Mitternachtsformel hier passt. Wir haben x² plus 2ax, a sei dabei 8, plus a², 64. Wir haben x² plus 2ax, a sei dabei 8, plus a², 64. Wie kam ich nochmal zu der 64? Ich habe 16 halbiert und dann quadriert, um meine 64 zu erhalten. Dieser Teil, den ich gerade umgeformt habe, ist gleich (x plus 8)². Dieser Teil, den ich gerade umgeformt habe, ist gleich (x plus 8)². (x plus 8)². Auch hier weiß ich das, da a gleich 8 ist, a ist gleich 8, also ist das hier (x plus 8)². Auch hier weiß ich das, da a gleich 8 ist, a ist gleich 8, also ist das hier (x plus 8)². Dann hier noch der Teil rechts. Was ist 9 minus 64? Nun, 64 minus 9 ist 55, also ist das hier gleich -55. -55 also, wir sind fertig. Wir haben die Gleichung hier in diese Form gebracht, was auch "Quadratische Ergänzung" genannt wird. was auch "Quadratische Ergänzung" genannt wird.