If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Wenn du hinter einem Webfilter bist, stelle sicher, dass die Domänen *. kastatic.org und *. kasandbox.org nicht blockiert sind.

Hauptinhalt
Aktuelle Zeit:0:00Gesamtdauer:5:24

Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen: keine Lösung

Video-Transkript

Benutze die Binom-Form, um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen. Nullstellen bedeutet einfach, die x zu finden, an denen y = 0 gilt. Das ist eine Nullstelle. Eine Nullstelle macht die Funktion gleich 0. Um die x zu finden, setzen wir erstmal y = 0, um dann nach x aufzulösen. In diesem Fall also 0 = 4 x zum Quadrat + 40x + 280. Im ersten Schritt wollen wir, da wir sehen, dass alle Teile durch 4 teilbar sind, beide Seiten durch 4 teilen. Das macht das Rechnen nachher leichter. Also alles durch 4 teilen. Wir erhalten 0 = x zum Quadrat + 10x + 70. Wir erhalten 0 = x zum Quadrat + 10x + 70. 40 / 4 = 10. 280 / 4 = 70. Wir sollen das Binom vervollständigen, wir schreiben die 70 weiter nach hinten, ihr werdet sehen wieso. Also die +70 nach hinten, damit ich ein bisschen Platz habe. Ihr werdet sehen, was ich mit dem Platz mache. Ihr werdet sehen, was ich mit dem Platz mache. Wir sollen die Gleichung also solange umformen, bis wir ein Binom erhalten. Mindestens Teile dieses Ausdrucks sollen wir in ein Binom umformen. Danach können wir nach x auflösen. Wie formen wir das nun um? Wir haben hier 10x und wir wissen, dass wir etwas in ein Binom umformen können, wenn wir das halbieren. Also 10*0,5 = 5. Das müssen wir dann quadrieren. Wir erhalten dann am Ende 25. Wir können nicht einfach so +25 machen, ohne es auch auf der anderen Seite zu machen. Oder wir ziehen die 25 auf dieser Seite wieder ab. Oder wir ziehen die 25 auf dieser Seite wieder ab. Wir haben dann ja den Wert nicht verändert. Wir addieren 25 und subtrahieren sie dann sofort wieder. Also haben wir nichts rechts hinzugefügt. Wir könnten eine Milliarde hinzufügen und wieder abziehen und die Gleichung würde sich nicht verändern. Ich habe hier also die Gleichung in keinster Weise verändert. Wir haben es jedoch möglich gemacht, diese 3 Teile als Binom zu schreiben. Hier ist 2*5 = 10 und 5 zum Quadrat = 25. Das ganze hier ist also (x+5) zum Quadrat. Falls du mir nicht glaubst, multiplizier es aus. Man wird x zum Quadrat + 10x + 25 erhalten. Man wird x zum Quadrat + 10x + 25 erhalten. Diese 3 Terme ergeben also das und die anderen beiden ergeben, wenn man sie zusammenrechnet, -25 + 70 = +45. -25 + 70 = +45. -25 + 70 = +45. Wir haben also mathematisch die Gleichung manipuliert. Wir erhalten also 0 = (x + 5) zum Quadrat + 45. Wir hätten von Anfang an ausmultiplizieren können, aber das hier funktioniert immer, auch wenn man komische Dezimalzahlen hat. Um für x aufzulösen, subtrahieren wir einfach 45 von beiden Seiten dieser Gleichung. Auf der linken Seite steht also -45, und auf der rechten Seite steht nur noch (x+5) zum Quadrat. Diese beiden heben sich gegenseitig auf. Normalerweise nimmt man hier einfach die Wurzel aus beiden Seiten der Gleichung. Möglicherweise wirst auch du dazu verleitet, aber sobald du dies tust, wirst du was Komisches feststellen. Wir versuchen gerade, die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen. Und solange wir mit Reelen Zahlen arbeiten, was immer der Fall war bisher, können wir nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. können wir nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Denn keine Reele Zahl wird durch quadrieren zu einer negativen Zahl. Es ist also nicht möglich, egal für welches x, das (x+5) zum Quadrat eine negative Zahl ergibt. Also kann kein x, solange x reel ist, diese Gleichung lösen. Denn egal welches reele x du einsetzt, du wirst niemals durch quadrieren eine negative Zahl erhalten. Also kann kein x diese Gleichung lösen. Also kann man sagen, dass keine, ich benutze Reele Zahlen, da wir in Algebra 2 noch die Komplexen Zahlen kennen lernen, aber das ist erstmal egal, Nullstellen dieser Gleichung vorhanden sind. Damit sind wir auch schon fertig. Wenn man es ausgeklammert hätte, würdet ihr es sehr schwer finden, denn es ist keine Gleichung, die man ausklammern kann. Man kommt also zum gleichen Ergebnis.