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Beispielaufgabe: Quadratische Ergänzung (führender Koeffizient ≠ 1)

Video-Transkript

Die Aufgabe lautet: Vervollständige das Quadrat, um folgendes zu lösen: 4 mal x zum Quadrat plus 40 mal x minus 300 ist gleich 0. Lass mich das anders hinschreiben. 4 mal x zum Quadrat plus 40 mal x minus 300 ist gleich 0. Im ersten Schritt mag ich die 4 hier nicht als Koeffizient zum x zum Quadrat Term. Im ersten Schritt mag ich die 4 hier nicht als Koeffizient zum x zum Quadrat Term. Im ersten Schritt mag ich die 4 hier nicht als Koeffizient zum x zum Quadrat Term. Ich hätte hier lieber eine 1. Also lass uns beide Seiten der Gleichung durch 4 teilen. Wir dividieren also alles durch 4. Das hier geteilt durch 4, das hier geteilt durch 4, das hier geteilt durch 4 und die 0 geteilt durch 4. Einfach beide Seiten durch 4 teilen. Das vereinfacht sich zu x zum Quadrat plus 10 mal x. Ich kann das offensichtlich machen, denn: was auch immer ich auf der linken Seite mache, mache ich auch auf der rechten Seite. Dadurch bleibt die Gleichung gültig. Das ist das, was ich machen kann. 40 geteilt durch 4 ist 10 mal x. 300 geteilt durch 4 ist was? Das ist 75. Lass mich das überprüfen. 4 passt 7 mal in die 30. 7 mal 4 ist 28. Du ziehst das ab und erhältst als Rest 2. Übertrage die 0 nach unten. 4 geht 5 mal in die 20. 5 mal 4 ist 20. Ziehe 0 ab. Also passt es 75 mal. Das ist minus 75 ist gleich 0. Und wenn du dir dies ansiehst, könntest Du versucht sein, dies zu faktorisieren. Aber es ist ganz offensichtlich, das dies nicht ein komplettes Quadrat ist. Bzw.: dies ist kein perfektes Quadrat Trinom. Denn: Wenn Du diesen rechten Term Dir anschaust, diese 10, siehst Du, dass die Hälfte von 10 Fünf ergibt. Und 5 zum Quadrat ist nicht 75. Also ist es kein perfektes Quadrat. Was wir also machen möchten, ist, das, was wir auf der linken Seite haben, in ein perfektes Quadrat zu verwandeln. Ich beginne also, indem ich die 75 irgendwie aus dem Weg schaffe. Ich beginne also, indem ich die 75 irgendwie aus dem Weg schaffe. Du wirst manchmal sehen, dass Leute die 75 auf der linken Seite lassen. Ich aber nutze die rechte Seite, um hier mehr Übersichtlichkeit zu schaffen. Lass uns also die 75 auf beiden Seiten addieren, um die 75 auf der linken Seite der Gleichung loszuwerden. Lass uns also die 75 auf beiden Seiten addieren, um die 75 auf der linken Seite der Gleichung loszuwerden. Wir erhalten also x zum Quadrat plus 10 mal x und dann eine negative 75 plus 75. DIe beiden hier kürzen sich raus. Ich lasse hier mal etwas Platz, weil wir hier noch etwas addieren, um das Quadrat, das gleich 75 ist, zu ergänzen Alles, was ich gemacht habe, ist, die 75 auf beiden Seiten der Gleichung zu ergänzen. In diesem Schritt kommen wir zum Herzen dessen, was die Vervollständigung des Quadrats angeht. Ich möchte auf beiden Seiten etwas ergänzen. Ich kann nicht nur auf einer Seite etwas ergänzen. Ich möchte also auf beiden Seiten etwas ergänzen, sodass diese linke Seite ein perfektes Quadrat ergibt. Wir haben das bereits im letzten Video gesehen, wo wir ein perfektes Quadrat Trinom konstruiert haben. Hier nun sehen wir auf der linken Seite einen Term, Hier nun sehen wir auf der linken Seite einen Term, Hier nun sehen wir auf der linken Seite einen Term, der ein perfektes Quadrat sein wird, wenn wir einen konstanten Term finden, der das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten im ersten Teil des Terms ist. der das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten im ersten Teil des Terms ist. Der Koeffizient hier ist 10. Die Hälfte von 10 ist 5. 5 zum Quadrat ist 25. Ich werde also 25 auf der linken Seite addieren. Um die Gleichung zu erhalten muss ich natürlich alles, was ich auf der linken Seite mache, Um die Gleichung zu erhalten muss ich natürlich alles, was ich auf der linken Seite mache, auch auf der rechten Seite machen. Und nun sehen wir, dass dies ein perfektes Quadrat ist. Wir sagen: "Hey, welche zwei Zahlen ergeben addiert 10 und multipliziert 25?" Das sind 5 und 5. Wenn wir dies also faktorisieren, vereinfacht sich dies auf der linken Seite zu x plus 5 zum Quadrat. x plus 5 mal x plus 5. Du kannst dir die Videos zur Faktorisierung anschauen, wenn du dies verwirrend findest. Oder, du könntest dir das letzte Video anschauen, wie man ein perfektes Quadrat Trinom baut. Probier es aus und quadriere es und du wirst sehen, dass du genau dies herausbekommst. Und das ganze ist gleich 75 plus 25, was gleich 100 ist. Wir sagen hier, dass etwas zum Quadrat gleich 100 ist. Also, wirklich. das ist etwas genau hier. Wenn ich sage, dass Etwas zum Quadrat gleich 100 ist bedeutet das, dass das Etwas die Wurzel aus 100 ist. Wir wissen, dass 100 zwei Quadratwurzeln hat. +10 und -10. Wir können also sagen, dass x plus 5, das "Etwas", das wir quadrieren, das muss die Quadratwurzel aus 100 sein. Das muss also gleich dem positiven oder negativen der Quadratwurzel von 100 sein, plus oder minus 10. Das muss also gleich dem positiven oder negativen der Quadratwurzel von 100 sein, plus oder minus 10. Alternativ könnten wir es heraustrennen. Wir könnten sagen, dass x plus 5 gleich 10, oder, dass x plus 5 gleich -10 ist. Ich kann nun auf beiden Seiten der Gleichung 5 abziehen, und ich erhalte: Ich kann nun auf beiden Seiten der Gleichung 5 abziehen, und ich erhalte: Ich kann nun auf beiden Seiten der Gleichung 5 abziehen, und ich erhalte: x ist gleich 5 und hier, wenn ich wieder 5 von beiden Seiten substrahiere, erhalte ich y = -15. Dies sind meine beiden Lösungen, die ich mit dieser Gleichung löse. Dies sind meine beiden Lösungen, die ich mit dieser Gleichung löse. Wir können verifizieren, dass sie wirklich funktionieren. Ich mache das mit blau. Lass uns das mit 5 ausprobieren. Ich nehme eine von beiden. Ich lasse dir die andere übrig. Du kannst mit der anderen verifizieren, ob es funktioniert. 4 mal x zum Quadrat, also 4 mal 25 plus 40 mal 5 minus 300 muss gleich 0 sein. 4 mal 25 ist 100. 40 mal 5 ist 200. Wir müssen die 300 abziehen. 100 plus 200 minus 300, das gleicht 0. Also, x = 5 hat funktioniert. Und ich denke, dass du feststellen wirst, dass x = -15 ebenfalls funktioniert, wenn du dies hier einsetzt. Und ich denke, dass du feststellen wirst, dass x = -15 ebenfalls funktioniert, wenn du dies hier einsetzt.