Lösung quadratischer Gleichungen durch quadratisches Ergänzen

Löse zum Beispiel die Gleichung x²+6x=-2, indem du sie in (x+3)²=7 veränderst und dann die Quadratwurzel ziehst.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Was du in dieser Lektion lernst

Bis hierher hast die quadratische Gleichungen entweder durch Wurzelziehen oder durch Faktorisieren gelöst. Diese Methoden sind relativ einfach und wirkungsvoll, wenn sie einsetzbar sind. Leider sind sie nicht immer anwendbar.
In dieser Lektion lernst du eine Methode zur Lösung von jeder Art einer quadratischen Gleichung kennen.

Quadratische Gleichungen mit quadratischer Ergänzung lösen

Betrachte die Gleichung x2+6x=2x^2+6x=-2. Die Wurzel- und Faktorisierungsmethode sind hier nicht anwendbar.
Aber die Hoffnung ist nicht verloren! Wir können ein Methode benutzen, die quadratische Ergänzung genannt wird. Wir beginnen mit der Lösung und wiederholen es dann etwas genauer.
(1)x2+6x=2(2)x2+6x+9=7Addiere 9, ergnze den quadratischen Term.a¨(3)(x+3)2=7Faktorisiere den Ausdruck auf der linken Seite.(4)(x+3)2=±7Ziehe die Wurzel.(5)x+3=±7(6)x=±73Subtrahiere 3.\begin{aligned}(1)&&x^2+6x&=-2\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2+6x+9}&\Large\blueD{=7}&&\blueD{\text{Addiere 9, ergänze den quadratischen Term.}}\\\\ (3)&&(x+3)^2&=7&&\text{Faktorisiere den Ausdruck auf der linken Seite.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x+3)^2}&=\pm \sqrt{7}&&\text{Ziehe die Wurzel.}\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{7}-3&&\text{Subtrahiere 3.}\end{aligned}
Zusammengefasst sind die Lösungen x=73x = \sqrt{7}-3 und x=73x=-\sqrt{7}-3.

Was ist hier passiert?

Das Addieren von 99 zu x2+6xx^2+6x in Zeile (2)\blueD{(2)} hat das vorteilhafte Ergebnis, aus dem Ausdruck einen quadratischen Term zu bilden, der als (x+3)2(x+3)^2 faktorisiert werden kann. Dies ermöglicht uns die Gleichung durch Wurzelziehen zu lösen.
Die war natürlich kein Zufall. Die Zahl 99 wurde sorgfältig so ausgewählt, damit der sich ergebende Term ein quadratischer Term sein würde.

Wie der quadratische Term vervollständigt wird

Um zu verstehen, wie 99 gewählt wurde,sollten wir uns selbst die folgende Frage stellen: Wenn x2+6xx^2+6x der Anfang eines quadratischen Terms ist, wie lautet dann der konstante Term?
Nehmen wir an, dass der Ausdruck als Quadratzahl (x+a)2(x+a) ^ 2 faktorisiert werden kann, wobei der Wert der Konstante aa noch unbekannt ist. Dieser Ausdruck wird erweitert, als x2+2ax+a2x ^ 2 + 2ax + a ^ 2, was uns zwei Dinge sagt:
  1. Der Koeffizient von xx, von dem wir wissen, dass er 66 ist, sollte 2a2a entsprechen. Dies bedeutet, dass a=3a=3.
  1. Die konstante Zahl, die wir addieren müssen entspricht a2a^2, was 32=93^2=9 ist.
Versuche selbst ein paar quadratische Terme zu ergänzen.

Challenge Frage

Diese anspruchsvolle Frage ergibt eine Abkürzung für die quadratische Ergänzung, für die, die Abkürzungen lieben und denen es nichts ausmacht, sich Dinge zu merken. Es zeigt uns, dass um x2+bxx^2+bx als quadratischen Term zu ergänzen, wobei bb jede beliebige Zahl ist, wir (b2)2\left(\dfrac{b}{2}\right)^2 dazu addieren müssen.
Zum Beispiel, um x2+6xx^2+\blueD{6}x als quadratischen Term zu ergänzen, müssen wir (62)2=9\left(\dfrac{\blueD{6}}{2}\right)^2=9 zu diesem addieren.

Noch einmal: Gleichungen lösen

Fertig! Nun, da du ein geprüfter Quadratischer Ergänzer bist, wollen wir zurück zu dem Prozess des Lösens von quadratischen Gleichungen gehen, indem wir unsere Methode anwenden.
Schauen wir uns ein neues Beispiel an, die Gleichung x210x=12x ^ 2-10 x = 12.
(1)x210x=12(2)x210x+25=13Addiere 25, ergnze den quadratischen Term.a¨(3)(x5)2=13Faktorisiere dne Term auf der linken Seite.(4)(x5)2=±13Ziehe die Wurzel.(5)x5=±13(6)x=±13+5Addiere 5.\begin{aligned}(1)&&x^2-10x&=-12\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2-10x+25}&\Large\blueD{=13}&&\blueD{\text{Addiere 25, ergänze den quadratischen Term.}}\\\\ (3)&&(x-5)^2&=13&&\text{Faktorisiere dne Term auf der linken Seite.}\\\\ (4)&&\sqrt{(x-5)^2}&=\pm \sqrt{13}&&\text{Ziehe die Wurzel.}\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{13}+5&&\text{Addiere 5.}\end{aligned}
Um den ursprünglichen linken Term x210xx^2-10x zu einem quadratischen Term zu machen, addieren wir 2525 in Reihe (2)\blueD{(2)}. Wie immer bei Gleichungen, machen wir das gleiche auf der rechten Seite , wodurch dort 12-12 auf 1313 zunimmt.
Im allgemeinen hängt die Wahl welche Zahl addiert wird, um den quadratischen Term zu ergänzen nicht von der rechten Seite ab, aber wir müssen die Zahl immer auf beiden Seiten addieren.
Nun bist du dran einige Gleichungen zu lösen.

Ordnen der Gleichung vor der quadratischen Ergänzung

Regel 1: Trenne die Variablen vom konstanten Term

Dies zeigt, wie die Lösung der Gleichung x2+5x6=x+1x^2+5x-6=x+1 geht:
(1)x2+5x6=x+1(2)x2+4x6=1Subtrahiere x.(3)x2+4x=7Add 6.(4)x2+4x+4=11Addiere 4, ergnze den quadratischen Term.a¨(5)(x+2)2=11Faktorisiere.(6)(x+2)2=±11Ziehe die Wurzel.(7)x+2=±11(8)x=±112Subtrahiere 2.\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1\\\\ \tealD{(2)}&&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&&\tealD{\text{Subtrahiere }x.}\\\\ \purpleC{(3)}&&\purpleC{x^2+4x}&\purpleC{=7}&&\purpleC{\text{Add 6.}}\\\\ (4)&&x^2+4x+4&=11&&\text{Addiere 4, ergänze den quadratischen Term.}\\\\ (5)&&(x+2)^2&=11&&\text{Faktorisiere.}\\\\ (6)&&\sqrt{(x+2)^2}&=\pm\sqrt{11}&&\text{Ziehe die Wurzel.}\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&&x&=\pm\sqrt{11}-2&&\text{Subtrahiere 2.}\end{aligned}
Das Ergänzen des quadratischen Terms auf einer der Seiten der Gleichung ist nicht hilfreich wenn wir einen xx-Term auf der anderen Seite haben. Dies ist warum wir xx in Reihe (2)\tealD{(2)} subtrahiert haben, indem wir alle variablen Terme auf der linken Seite platziert haben.
Außerdem müssen wir, um x2+4xx^2+4x zu einem quadratischen Term zu ergänzen, 44 hinzufügen. Aber bevor wir das tun, müssen wir sicher sein, dass alle konstanten Terme auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Dies ist, warum wir 66 in Reihe (3)\purpleC{(3)} addierten, und x2+4xx^2+4x alleine stehen ließen.

Regel 2: Stelle sicher, dass der Koeffizient von x2x^2 gleich 11 ist.

Dies zeigt, wie die Lösung der Gleichung 3x236x=423x^2-36x=-42 geht:
(1)3x236x=42(2)x212x=14Dividiere durch 3.(3)x212x+36=22Addiere 36, ergnze zum quadratischen Term.a¨(4)(x6)2=22Faktorisiere.(5)(x6)2=±22Ziehe die Wurzel.(6)x6=±22(7)x=±22+6Addiere 6.\begin{aligned}(1)&&3x^2-36x&=-42\\\\ \maroonD{(2)}&&\maroonD{x^2-12x}&\maroonD{=-14}&&\maroonD{\text{Dividiere durch 3.}}\\\\ (3)&&x^2-12x+36&=22&&\text{Addiere 36, ergänze zum quadratischen Term.}\\\\ (4)&&(x-6)^2&=22&&\text{Faktorisiere.}\\\\ (5)&&\sqrt{(x-6)^2}&=\pm\sqrt{22}&&\text{Ziehe die Wurzel.}\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&&x&=\pm\sqrt{22}+6&&\text{Addiere 6.}\end{aligned}
Die Methode des quadratischen Ergänzens funktioniert nur wenn der Koeffzient von x2x^2 gleich 11 ist.
Das ist warum wir in Reihe (2)\maroonD{(2)} durch den Koeffizienten von x2x^2, welcher 33 ist, dividiert haben.
Manchmal ergeben sich Brüche bei den anderen Koeffizienten wenn wir durch den Koeffizienten von x2x^2 dividieren. Das bedeutet nicht, dass du etwas falsch gemacht hast, Es bedeutet nur, dass du mit Brüchen arbeiten musst um die Gleichung zu lösen.
Nun bist du dran eine solche Gleichung zu lösen.
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