Die quadratische Ergänzung ist eine Technik für das Faktorisieren von quadratischen Termen. Dieser Artikel wiederholt die Technik mit Beispielen und lässt dich sogar die Technik selber üben.

Was ist die quadratische Ergänzung?

Die quadratische Ergänzung ist eine Technik für das Umschreiben von quadratischen Gleichungen in die Form (x+a)2+b(x+a)^2+b.
Zum Bespiel kann x2+2x+3x^2+2x+3 als (x+1)2+2(x+1)^2+2 umgeschrieben werden. Die zwei Ausdrücke sind vollkommen äquivalent, aber mit der zweiten kann man in manchen Situationen angenehmer arbeiten.

Beispiel 1

Wir haben einen quadratische Gleichung gegeben und sollen sie quadratisch ergänzen.
x2+10x+24=0x^{2}+10x+24 = 0
Wir beginnen, indem wir den konstanten Term auf die rechte Seite der Gleichung verschieben.
x2+10x=24x^2 + 10x = -24
Wir ergänzen das Quadrat, indem wir den halben Koeffizienten des xx-Terms nehmen, ihn quadrieren, und ihn auf beiden Seiten der Gleichung addieren. Da der Koeffizient unseres xx-Terms 1010 ist, wäre die Hälfte 55, und das Quadrat davon ergibt 25\blueD{25}.
x2+10x+25=24+25x^2 + 10x \blueD{ + 25} = -24 \blueD{ + 25}
Nun können wir die linke Seite der Gleichung als einen quadrierten Term umschreiben.
(x+5)2=1( x + 5 )^2 = 1
Ziehe auf beiden Seiten die Quadratwurzel.
x+5=±1x + 5 = \pm1
Isoliere xx, um die Lösung(en) zu finden.
x=5±1x = -5\pm1
Möchtest du mehr über die quadratische Ergänzung lernen? Schau dir dieses Video an.

Beispiel 2

Wir haben einen quadratische Gleichung gegeben und sollen sie quadratisch ergänzen.
4x2+20x+25=04x^{2}+20x+25 = 0
Teile zuerst das Polynom durch 44 (den Koeffizienten des x2x^2-Terms).
x2+5x+254=0x^2 + 5x + \dfrac{25}{4} = 0
Beachte, dass die linke Seite der Gleichung bereits ein Quadratzahlen-Trinom ist. Der Koeffizient unseres xx-Terms ist 55, die Hälfte davon ist 52\dfrac{5}{2}, und das Quadrat davon ergibt 254\blueD{\dfrac{25}{4}}, unseren konstanten Term.
Also können wir die linke Seite der Gleichung als quadratischen Term schreiben.
(x+52)2=0( x + \dfrac{5}{2} )^2 = 0
Ziehe auf beiden Seiten die Quadratwurzel.
x+52=0x + \dfrac{5}{2} = 0
Isoliere xx, um die Lösung zu finden.
Die Lösung ist: x=52x = -\dfrac{5}{2}
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