Quadratische Ergänzung - Wiederholung

Die quadratische Ergänzung ist eine Technik für das Umschreiben von quadratischen Gleichungen in die Form $(x+a{)}^2+b$‍.

Zum Bespiel kann $x^2+2x+3$‍ als $(x+1{)}^2+2$‍ umgeschrieben werden. Die zwei Ausdrücke sind vollkommen äquivalent, aber mit der zweiten kann man in manchen Situationen angenehmer arbeiten.

Wir haben einen quadratische Gleichung gegeben und sollen sie quadratisch ergänzen.

Wir beginnen, indem wir den konstanten Term auf die rechte Seite der Gleichung verschieben.

Wir ergänzen das Quadrat, indem wir den halben Koeffizienten des $x$‍-Terms nehmen, ihn quadrieren, und ihn auf beiden Seiten der Gleichung addieren. Da der Koeffizient unseres $x$‍-Terms $10$‍ ist, wäre die Hälfte $5$‍, und das Quadrat davon ergibt $25$‍.

Nun können wir die linke Seite der Gleichung als einen quadrierten Term umschreiben.

Ziehe auf beiden Seiten die Quadratwurzel.

Isoliere $x$‍, um die Lösung(en) zu finden.

Wir haben einen quadratische Gleichung gegeben und sollen sie quadratisch ergänzen.

Teile zuerst das Polynom durch $4$‍ (den Koeffizienten des $x^2$‍-Terms).

Beachte, dass die linke Seite der Gleichung bereits ein Quadratzahlen-Trinom ist. Der Koeffizient unseres $x$‍-Terms ist $5$‍, die Hälfte davon ist ${\displaystyle \frac{5}{2}}$‍, und das Quadrat davon ergibt ${\displaystyle \frac{25}{4}}$‍, unseren konstanten Term.

Also können wir die linke Seite der Gleichung als quadratischen Term schreiben.

Ziehe auf beiden Seiten die Quadratwurzel.

Isoliere $x$‍, um die Lösung zu finden.

Die Lösung ist: $x=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$‍