Quadrataufgaben lösen, indem man die Quadratwurzel zieht

Lerne wie man quadratische Gleichungen wie zum Beispiel x^2=36 oder (x-2)^2=49 löst.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Was du in dieser Lektion lernst

Bisher hast du lineare Gleichungen gelöst, die konstante Terme (einfache Zahlen) enthalten und Terme, in denen die Variable in der ersten Potenz angegeben wird, left parenthesis, x, start superscript, 1, end superscript, equals, x, right parenthesis.
Du wirst nun lernen quadratische Gleichungen zu lösen, welche Terme enthalten, wo die Variable in der zweiten Potenz vorhanden ist, x, start superscript, 2, end superscript.
Hier sind einige Beispiele der Arten von quadratischen Gleichungen, welche du lernen wirst zu lösen:
x, start superscript, 2, end superscript, equals, 36
left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, 49
Du könntest das verwirrend finden, weil die Gleichung keinen Terme mit x, start superscript, 2, end superscript hat. Aber sie hat left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, was ein Term ist, der x in der 2. Potenz enthält.
Wenn du nicht überzeugt bist, kannst du die Klammer in dem Term ausmultiplizieren und sehen welche Gleichung du erhältst.
(x2)2=49x24x+4=49\begin{aligned}(x-2)^2&=49\\\\ x^2-4x+4&=49\end{aligned}
Diese Gleichung hat nun x, start superscript, 2, end superscript und ist somit zweifellos eine quadratische Gleichung.
2, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 3, equals, 131
Jetzt kommen wir zum Problem.

Löse x, start superscript, 2, end superscript, equals, 36 und ähnliche Gleichungen

Angenommen, wir möchten die Gleichung x, start superscript, 2, end superscript, equals, 36 lösen. Lass uns zuerst in Worte fassen, was wir mit der Gleichung herausfinden sollen. Die Frage ist, welche Zahl, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, ist gleich 36.
Wenn dir diese Frage bekannt vorkommt, ist es, da dies die Definition der Quadratwurzel von 36 ist, die mathematisch als square root of, 36, end square root ausgedrückt wird.
Nun, dies ist, wie die komplette Lösung der Gleichung aussieht:
x2=36x2=±36Ziehe die Wurzel.x=±6\begin{aligned}x^2&=36\\\\ \sqrt{x^2}&=\pm\sqrt{36}&&\text{Ziehe die Wurzel.}\\\\ x&=\pm 6\end{aligned}
Schauen wir mal, wie wir zu dieser Lösung gekommen sind.

Was das plus minus Zeichen bedeutet

Beachte, dass jede positive Zahl zwei Quadratwurzeln hat: eine positive Quadratwurzel und eine negative Quadratwurzel. Z. B. sowohl 6 als auch minus, 6 ergeben 36 wenn sie quadriert werden. Daher hat diese Gleichung zwei Lösungen.
plus minus ist nur eine effiziente Möglichkeit, dies mathematisch darzustellen. Zum Beispiel bedeutet plus minus, 6 "entweder 6 oder minus, 6".

Eine Notiz über inverse Vorgänge

Als wir lineare Gleichungen gelöst haben, haben wir die Variable allein auf eine Seite gebracht, indem wir umgekehrte Rechenoperation benutzt haben: Wenn zu der Variable 3 addiert wurde, haben wir 3 von beiden Seiten subtrahiert. Wenn die Variable mit 4 multipiziert wurde, haben wir beide Seiten durch 4 dividiert.
Der umgekehrte Vorgang zum Quadrierern ist das Ziehen der Quadratwurzel. Jedoch müssen wir uns daran erinnern, dass wir im Gegensatz zu den anderen Operationen beim Ziehen der Quadratwurzel die positive und die negative Quadratwurzel ziehen müssen.
Jetzt löse ein paar ähnliche Gleichungen auf eigene Faust.
Löse x, start superscript, 2, end superscript, equals, 16.
x, equals, plus minus
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein vereinfachter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein vereinfachter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine exakte Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, p, i oder 2, slash, 3, space, p, i

x2=16x2=±16Ziehe die Wurzel.x=±4\begin{aligned}x^2&=16\\\\ \sqrt{x^2}&=\pm\sqrt{16}&&\text{Ziehe die Wurzel.}\\\\ x&=\pm 4\end{aligned}
Löse x, start superscript, 2, end superscript, equals, 81.
x, equals, plus minus
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein vereinfachter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein vereinfachter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine exakte Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, p, i oder 2, slash, 3, space, p, i

x2=81x2=±81Ziehe die Wurzel.x=±9\begin{aligned}x^2&=81\\\\ \sqrt{x^2}&=\pm\sqrt{81}&&\text{Ziehe die Wurzel.}\\\\ x&=\pm 9\end{aligned}
Löse x, start superscript, 2, end superscript, equals, 5.
Wähle 1 Lösung.
Wähle 1 Lösung.

x2=5x2=±5Ziehe die Wurzel.x=±5\begin{aligned}x^2&=5\\\\ \sqrt{x^2}&=\pm\sqrt{5}&&\text{Ziehe die Wurzel.}\\\\ x&=\pm \sqrt{5}\end{aligned}
Da die Zahl 5 keine Quadratzahl ist, ist ihre Wurzel keine rationale Zahl. Aus diesem Grund stellen wir es einfach als square root of, 5, end square root dar.

Löse left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, 49 und ähnliche Gleichungen

So geht die Lösung der Gleichung left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, 49:
Die Lösungen sind daher x, equals, 9 und x, equals, 5.
Schauen wir mal, wie wir zu dieser Lösung gekommen sind.

Isoliere x

Benutzten wir die umgekehrte Rechenoperation des Wurzelziehens, haben wir das Wurzelzeichen entfernt. Dies war wichtig um x alleine stehen zu haben, aber wir mussten immer noch 2 im letzten Schritt addieren um x wirklich alleine stehen zu haben.

Verstehen der Lösungen

Unsere Berechnung endete mit x, equals, plus minus, 7, plus, 2. Wie sollen wir diesen Ausdruck verstehen? Erinnere dich, dass plus minus, 7 "entweder plus, 7 oder minus, 7" bedeutet. Aus diesem Grund sollten wir unsere Lösung nach den beiden Fällen aufteilen: entweder x, equals, 7, plus, 2 oder x, equals, minus, 7, plus, 2.
Dies gibt uns die beiden Lösungen x, equals, 9 und x, equals, 5.
Um zu überprüfen, müssen wir die Lösungen in die Gleichung einsetzen.
start color blueD, x, end color blueD, equals, start color blueD, 9, end color blueDspace, start color blueD, x, end color blueD, equals, start color blueD, minus, 5, end color blueD
(92)2=?4972=?4949=49 \begin{aligned} (\blueD{9}-2) ^ 2 & \stackrel {?} {=} 49\\7 ^ 2 & \stackrel {?} {=} 49\\49 & \stackrel {\checkmark} {=} 49\end{aligned}(52)2=?49(7)2=?4949=49\qquad\begin{aligned} (\blueD{-5}-2) ^ 2 & \stackrel {?} {=} 49\\(-7) ^ 2 & \stackrel {?} {=} 49\\49 & \stackrel {\checkmark} {=} 49\end{aligned}
In beiden Fällen führte das Einsetzen der Lösung in die Gleichung zu einer wahren Aussage, so dass diese tatsächlich Lösungen der Gleichung sind.
Jetzt löse ein paar ähnliche Gleichungen auf eigene Faust.
Löse left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, 25.
Wähle 1 Lösung.
Wähle 1 Lösung.

(x+3)2=25(x+3)2=±25Ziehe die Wurzel.x+3=±5x=±53Subtrahiere 3.\begin{aligned}(x+3)^2&=25\\\\ \sqrt{(x+3)^2}&=\pm\sqrt{25}&&\text{Ziehe die Wurzel.}\\\\ x+3&=\pm 5\\\\ x&=\pm 5-3&&\text{Subtrahiere 3.}\end{aligned}
x=53x=53x=2x=8\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x&=5-3&x&=-5-3\\\\ x&=2&x&=-8\end{aligned}
Die Lösungen sind abschließend x, equals, 2 und x, equals, minus, 8.
Löse left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, 9.
Wähle 1 Lösung.
Wähle 1 Lösung.

(2x1)2=9(2x1)2=±9Ziehe die Wurzel.2x1=±32x=±3+1Add 1.x=±3+12Dividiere durch 2.\begin{aligned}(2x-1)^2&=9\\\\ \sqrt{(2x-1)^2}&=\pm\sqrt{9}&&\text{Ziehe die Wurzel.}\\\\ 2x-1&=\pm 3\\\\ 2x&=\pm 3+1&&\text{Add 1.}\\\\ x&=\dfrac{\pm 3+1}{2}&&\text{Dividiere durch 2.}\end{aligned}
x=3+12x=3+12x=2x=1\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x&=\dfrac{3+1}{2}&x&=\dfrac{-3+1}{2}\\\\\\ x&=2&x&=-1\end{aligned}
Die Lösungen sind abschließend x, equals, 2 und x, equals, minus, 1.
Löse left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, 7.
Wähle 1 Lösung.
Wähle 1 Lösung.

(x5)2=7(x5)2=±7Ziehe die Wurzel.x5=±7x=±7+5Addiere 5.\begin{aligned}(x-5)^2&=7\\\\ \sqrt{(x-5)^2}&=\pm\sqrt{7}&&\text{Ziehe die Wurzel.}\\\\ x-5&=\pm \sqrt{7}\\\\ x&=\pm \sqrt{7}+5&&\text{Addiere 5.}\end{aligned}
x=7+5x=7+5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x&=\sqrt{7}+5&x&=-\sqrt{7}+5\end{aligned}
Da die Zahl 7 keine Quadratzahl ist, ist ihre Wurzel keine rationale Zahl. Aus diesem Grund stellen wir es einfach als square root of, 7, end square root dar.
Die Lösungen sind abschließend x, equals, square root of, 7, end square root, plus, 5 und x, equals, minus, square root of, 7, end square root, plus, 5.

Warum wir die Klammern nicht erweitern sollten

Gehen wir zurück zu unserer Beispielgleichung, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, equals, 49. Nimm an, wir wollten die Klammern dort erweitern. Schließlich ist das, was wir mit lineare Gleichungen tun, richtig?
Erweitere die Ergebnisse der Klammer in der folgenden Gleichung:
x, start superscript, 2, end superscript, minus, 4, x, plus, 4, equals, 49
Wenn wir die Quadratwurzel dieser Gleichung ziehen wollten, müssten wir die Quadratwurzel von x ziehen. Aber das gibt ergibt square root of, x, end square root, was nicht hilfreich ist.
Im Gegensatz dazubekommen wir durch das Ziehen der Quadratwurzeln von Ausdrücken wie x, start superscript, 2, end superscript oder left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript einfachere Ausdrücke wie x oder left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis.
Daher ist es in quadratischen Gleichungen tatsächlich hilfreich, die einzelnen Faktoren zu zerlegen, weil dies uns erlaubt, die Wurzel zu ziehen.

Löse 2, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 3, equals, 131 und ähnliche Gleichungen

Nicht alle quadratischen Gleichungen werden gelöst, indem man sofort die Quadratwurzel zieht. Manchmal müssen wir den quadrierten Begriff vor dem Ziehen seiner Wurzel isolieren.
Zum Beispiel, um die Gleichung 2, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 3, equals, 131 zu lösen, sollten wir zuerst x, start superscript, 2, end superscript isolieren. Dies machen wir genauso wie wir den x-Term in einer linearen Gleichung isolieren würde.
2x2+3=1312x2=128Subtrahiere 3.x2=64Dividiere durch 2.x2=±64Ziehe die Wurzel.x=±8\begin{aligned}2x^2+3&=131\\\\ 2x^2&=128&&\text{Subtrahiere 3.}\\\\ x^2&=64&&\text{Dividiere durch 2.}\\\\ \sqrt{x^2}&=\pm\sqrt{64}&&\text{Ziehe die Wurzel.}\\\\ x&=\pm 8\end{aligned}
Jetzt löse ein paar ähnliche Gleichungen auf eigene Faust.
Löse 3, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 7, equals, 5.
Wähle 1 Lösung.
Wähle 1 Lösung.

3x27=53x2=12Addiere 7.x2=4Dividiere durch 3.x2=±4Ziehe die Wurzel.x=±2\begin{aligned}3x^2-7&=5\\\\ 3x^2&=12&&\text{Addiere 7.}\\\\ x^2&=4&&\text{Dividiere durch 3.}\\\\ \sqrt{x^2}&=\pm\sqrt{4}&&\text{Ziehe die Wurzel.}\\\\ x&=\pm 2\end{aligned}
Löse 4, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, plus, 2, equals, 38.
Wähle 1 Lösung.
Wähle 1 Lösung.

4(x1)2+2=384(x1)2=36Subtrahiere 2.(x1)2=9Dividiere durch 4.(x1)2=±9Ziehe die Wurzel.x1=±3x=±3+1Addiere 1.\begin{aligned}4(x-1)^2+2&=38\\\\ 4(x-1)^2&=36&&\text{Subtrahiere 2.}\\\\ (x-1)^2&=9&&\text{Dividiere durch 4.}\\\\ \sqrt{(x-1)^2}&=\pm\sqrt{9}&&\text{Ziehe die Wurzel.}\\\\ x-1&=\pm 3\\\\ x&=\pm 3+1&&\text{Addiere 1.}\end{aligned}
x=3+1x=3+1x=4x=2\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x&=3+1&x&=-3+1\\\\ x&=4&x&=-2\end{aligned}
Die Lösungen sind abschließend x, equals, 4 und x, equals, minus, 2.

Challenge Frage

Löse x, start superscript, 2, end superscript, plus, 8, x, plus, 16, equals, 9.
Wähle 1 Lösung.
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Es wird in diesem Fall nicht sehr hilfreich sein, bei der Lösung mit dem Ziehen der Quadratwurzel zu beginnen.
Stattdessen müssen wir etwas wichtiges beachten: der Ausdruck x, start superscript, 2, end superscript, plus, 8, x, plus, 16 hat die Form einer Quadratzahl: left parenthesis, x, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript, plus, 2, left parenthesis, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, left parenthesis, 4, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript.
Daher können wir den Ausdruck als left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, start superscript, 2, end superscript ausklammern und die Gleichung wie folgt umschreiben:
(x+4)2=9(x+4)2=±9Ziehe die Wurzel.x+4=±3x=±34Subtrahiere 4.\begin{aligned}(x+4)^2&=9\\\\ \sqrt{(x+4)^2}&=\pm\sqrt{9}&&\text{Ziehe die Wurzel.}\\\\ x+4&=\pm 3\\\\ x&=\pm 3-4&&\text{Subtrahiere 4.}\end{aligned}
x=34x=34x=1x=7\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x&=3-4&x&=-3-4\\\\ x&=-1&x&=-7\end{aligned}
Die Lösungen sind abschließend x, equals, minus, 1 und x, equals, minus, 7.