Hauptinhalt
Aktuelle Zeit:0:00Gesamtdauer:4:41

Video-Transkript

Wir sollen den Graph y = 5x² - 20x + 15 zeichnen. Wir sollen den Graph y = 5x² - 20x + 15 zeichnen. Dazu hole ich meinen kleinen Notizblock heraus. Also: y = 5x² - 20x + 15. Es gibt verschiedene Wege, das zu zeichnen. Du kannst einfach drei Werte für x nehmen, y berechnen und den Graphen mit diesen drei Punkten zeichnen. Du kannst einfach drei Werte für x nehmen, y berechnen und den Graphen mit diesen drei Punkten zeichnen. Du kannst einfach drei Werte für x nehmen, y berechnen und den Graphen mit diesen drei Punkten zeichnen. Denn drei Punkte bestimmen eine Parabel. Aber ich möchte etwas Interessanteres machen. Ich möchte bestimmte Stellen finden. Stellen wir uns die Achsen vor: Meine x-Achse und meine y-Achse. Und das ist unsere Kurve. Die Parabel sieht vielleicht in etwa so aus. Zuerst möchte ich herausfinden, wo die Parabel die x-Achse schneidet. Zuerst möchte ich herausfinden, wo die Parabel die x-Achse schneidet. Wie wissen, dass am Schnittpunkt mit der x-Achse der y-Wert gleich Null ist. Wie wissen, dass am Schnittpunkt mit der x-Achse der y-Wert gleich Null ist. Wie wissen, dass am Schnittpunkt mit der x-Achse der y-Wert gleich Null ist. Das heißt: Wann ist 5x² - 20x + 15 = 0? Das heißt: Wann ist 5x² - 20x + 15 = 0? Das heißt: Wann ist 5x² - 20x + 15 = 0? Ich will also diese Punkte herausfinden. Und dann will ich noch den Punkt genau in der Mitte herausfinden, den Scheitelpunkt. Und dann will ich noch den Punkt genau in der Mitte herausfinden, den Scheitelpunkt. Und mit diesen drei Punkten kann ich die gesamte Parabel zeichnen. Und mit diesen drei Punkten kann ich die gesamte Parabel zeichnen. Wir wollen also die Gleichung 5x² - 20x + 15 = 0 lösen. Wir wollen also die Gleichung 5x² - 20x + 15 = 0 lösen. Wir wollen also die Gleichung 5x² - 20x + 15 = 0 lösen. Immer wenn ich einen Koeffizienten vor dem x²-Term sehe, der nicht 1 ist, Immer wenn ich einen Koeffizienten vor dem x²-Term sehe, der nicht 1 ist, schaue ich, ob man alles durch diesen Koeffizienten dividieren kann, um die Gleichung zu vereinfachen. schaue ich, ob man alles durch diesen Koeffizienten dividieren kann, um die Gleichung zu vereinfachen. Und das führt uns vielleicht zu einer faktorisierbaren Form. Und scheinbar ist jeder Term hier durch 5 dividierbar. Ich dividiere also beide Seiten der Gleichung durch 5. Ich dividiere also beide Seiten der Gleichung durch 5. Und dann erhalte ich x² - 4x + 3 = 0. Und dann erhalte ich x² - 4x + 3 = 0. Und dann erhalte ich x² - 4x + 3 = 0. Jetzt können wir versuchen, die linke Seite auszuklammern. Wir suchen zwei Zahlen, deren Produkt +3 ist. Da ihr Produkt positiv ist, müssen beide positiv sein. Da ihr Produkt positiv ist, müssen beide positiv sein. Ihre Summe muss -4 sein, daher müssen beide negativ sein. Ihre Summe muss -4 sein, daher müssen beide negativ sein. Ihre Summe muss -4 sein, daher müssen beide negativ sein. Was dir sofort ins Auge fällt - schau dir vielleicht nochmal die Videos zur Faktorisierung von quadratischen Gleichungen an, wenn das schon länger her ist - schau dir vielleicht nochmal die Videos zur Faktorisierung von quadratischen Gleichungen an, wenn das schon länger her ist - ist, dass -3 und -1 funktionieren. ist, dass -3 und -1 funktionieren. -3 * -1 = 3. -3 * -1 = 3. -3 + -1 = -4. Ich kann das also ausklammern zu: (x-3)*(x-1). Auf der rechten Seite haben wir immer noch 0. Auf der rechten Seite haben wir immer noch 0. Jetzt müssen wir herausfinden, mit welchen x-Werten dieser Ausdruck 0 ergibt. Jetzt müssen wir herausfinden, mit welchen x-Werten dieser Ausdruck 0 ergibt. Jetzt müssen wir herausfinden, mit welchen x-Werten dieser Ausdruck 0 ergibt. Jetzt müssen wir herausfinden, mit welchen x-Werten dieser Ausdruck 0 ergibt. Dafür muss einer dieser beiden 0 ergeben. Also x - 3 = 0 oder x - 1 = 0. Also x - 3 = 0 oder x - 1 = 0. Wenn du zu beiden Seiten 3 addierst, erhälst du x = 3. Wenn du zu beiden Seiten 3 addierst, erhälst du x = 3. Und hier x = 1. So haben wir diese beiden Punkte herausgefunden: So haben wir diese beiden Punkte herausgefunden: Dieser ist x = 1. Dieser ist x = 3. Dies ist der Punkt (1|0). Dies ist der Punkt (3|0). Schließlich möchte ich noch diesen Punkt hier, den Scheitelpunkt, herausfinden. Schließlich möchte ich noch diesen Punkt hier, den Scheitelpunkt, herausfinden. Der Scheitelpunkt liegt immer genau mittig zwischen den Ursprüngen. Der Scheitelpunkt liegt immer genau mittig zwischen den Ursprüngen. Wenn du welche hast, da eine Parabel nicht immer die x-Achse schneidet. Deshalb wissen wir bereits, dass die x-Koordinate 2 ist. Deshalb wissen wir bereits, dass die x-Koordinate 2 ist. Die müssen wir jetzt nur einsetzen, um die y-Koordinate herauszufinden. Die müssen wir jetzt nur einsetzen, um die y-Koordinate herauszufinden. Wenn x = 2, ist y = 5 * 2² - 20 * 2 + 15. Wenn x = 2, ist y = 5 * 2² - 20 * 2 + 15. Dies ist 5 * 4, also 20 - 40 + 15 Dies ist 5 * 4, also 20 - 40 + 15 Dann haben wir -20 + 15, also -5. Dann haben wir -20 + 15, also -5. Dies ist also der Punkt (2|-5). Jetzt können wir zurück zur Aufgabe kommen und diese drei Punkte zeichnen. Jetzt können wir zurück zur Aufgabe kommen und diese drei Punkte zeichnen. (1|0), (2|-5), (3|0). Also zeichne ich zuerst den Scheitelpunkt bei (2|-5). Also zeichne ich zuerst den Scheitelpunkt bei (2|-5). Und wir wissen, dass sie einmal bei (1|0) und einmal bei (3|0) die x-Achse schneidet. Und wir wissen, dass sie einmal bei (1|0) und einmal bei (3|0) die x-Achse schneidet. Und wir wissen, dass sie einmal bei (1|0) und einmal bei (3|0) die x-Achse schneidet. Jetzt können wir unsere Antwort überprüfen. Und sie ist richtig.