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Video-Transkript

"Ein Ball wird vom Rand eines Gebäudes geschossen, 50 Fuß über dem Boden, "Ein Ball wird vom Rand eines Gebäudes geschossen, 50 Fuß über dem Boden, seine Geschwindigkeit beträgt 20 Fuß pro Sekunde." "Die Gleichung h" -- h steht dabei für die Höhe -- "ist gleich -16t² plus 20t plus 50 und beschreibt "Die Gleichung h" -- h steht dabei für die Höhe -- "ist gleich -16t² plus 20t plus 50 und beschreibt die Höhe des Balls nach t Sekunden. die Höhe des Balls nach t Sekunden. Für diese Aufgabe müssen wir anscheinend diese Formel so akzeptieren, obwohl wir in den Für diese Aufgabe müssen wir anscheinend diese Formel so akzeptieren, obwohl wir in den Physik-Videos der Khan Academy solche Formeln normalerweise zuerst ableiten und zeigen, warum sie für dieses Problem anwendbar sind. warum sie für dieses Problem anwendbar sind. Hier nehmen wir aber die gegebene Formel. Diese Formel beschreibt also nun die Höhe des Balls nach t Sekunden und sagt uns außerdem, Diese Formel beschreibt also nun die Höhe des Balls nach t Sekunden und sagt uns außerdem, wann der Ball den Boden berührt. wann der Ball den Boden berührt. Wenn das hier also die Höhe ist, ist der Boden bei der Höhe = 0. Wenn das hier also die Höhe ist, ist der Boden bei der Höhe = 0. Bodenberührung heißt konkret, dass h gleich 0 ist. Bodenberührung heißt konkret, dass h gleich 0 ist. Wir müssen also herausfinden, zu welchen Zeitpunkten h gleich 0 wird. Wir lösen also die Gleichung: 0 ist gleich -16t² plus 20t plus 50 Wir lösen also die Gleichung: 0 ist gleich -16t² plus 20t plus 50 Beim Vereinfachen sehen wir, dass alles hier durch 2 teilbar ist. Beim Vereinfachen sehen wir, dass alles hier durch 2 teilbar ist. Dividieren wir alles durch -2, einfach um das negative Vorzeichen hier vorne wegzubekommen. Dividieren wir alles durch -2, einfach um das negative Vorzeichen hier vorne wegzubekommen. Dividieren wir alles durch -2, einfach um das negative Vorzeichen hier vorne wegzubekommen. Beim Dividieren durch -2 erhalten wir nach wie vor eine 0. Beim Dividieren durch -2 erhalten wir nach wie vor eine 0. -16 geteilt durch -2 ist 8. Also 8t². 20 geteilt durch -2 ist -10. -10t 50 geteilt durch -2 ist -25. Also erhalten wir: 8t² minus 10t minus 25 gleich 0. Wenn ihr es lieber links stehen haben wollt, so können wir dies auch links stehen lassen. Wenn ihr es lieber links stehen haben wollt, so können wir dies auch links stehen lassen. Das ist dann gleich 0. Nun können wir lösen. Wir können dies mit quadratischer Ergänzung lösen, oder einfach die Mitternachtsformel anwenden, die von der quadratischen Ergänzung abgeleitet ist. oder einfach die Mitternachtsformel anwenden, die von der quadratischen Ergänzung abgeleitet ist. Das hier ist in Standardform. Wir wissen, das ist unser a, das hier drüben unser b, und das hier unser c. DIe quadratische Formel besagt, dass die Wurzeln -- in diesem Fall unter der Bedingung der Variable t -- DIe Mitternachtsformel sagt, dass die Wurzeln -- in diesem Fall unter der Bedingung der Variable t -- gleich -b +/- Wurzel von b² minus 4ac, alles geteilt durch 2a, sind gleich -b +/- Wurzel von b² minus 4ac, alles geteilt durch 2a, sind gleich -b +/- Wurzel von b² minus 4ac, alles geteilt durch 2a, sind Beim Anwenden erhalten wir also: t gleich -b. b ist -10. -(-10) ist dann +10. +/- der Wurzel von -10². Nun, das ist einfach +100, minus 4 mal a, also 8, mal c, was -25 ergibt. Nun, das ist einfach +100, minus 4 mal a, also 8, mal c, was -25 ergibt. Das alles dann geteilt durch 2a. a ist 8. Also ist 2 mal 8 gleich 16. Und hier drüben haben wir -- das vereinfachen wir besser noch ein wenig. Und hier drüben haben wir -- das vereinfachen wir besser noch ein wenig. Das Minus hier, minus mal minus ist gleich positiv. Das Minus hier, minus mal minus ist gleich positiv. 4 mal 25 ist 100, mal 8 ergibt 800. Das alles hier vereinfacht sich also zu 800. Und wir haben 100 plus 800 unter der Wurzel. Das ist dann gleich 10 +/- Wurzel von 900, alles geteilt durch 16. Das ist dann gleich 10 +/- Wurzel von 900, alles geteilt durch 16. Dann haben wir 10 +/-, die Wurzel von 900 ist 30, geteilt durch 16. Dann haben wir 10 +/-, die Wurzel von 900 ist 30, geteilt durch 16. So erhalten wir: Zeit (t) ist gleich 10 plus 30 geteilt durch 16, ist 40 geteilt durch 16, also dasselbe, wie So erhalten wir: Zeit (t) ist gleich 10 plus 30 geteilt durch 16, ist 40 geteilt durch 16, also dasselbe, wie wenn wir den Zähler und den Nenner durch 4 teilen, bzw. durch 8, dann haben wir 5 geteilt durch 2. wenn wir den Zähler und den Nenner durch 4 teilen, bzw. durch 8, dann haben wir 5 geteilt durch 2. 30 addieren ist die eine Lösung. Wenn wir nun 30 subtrahieren, erhalten wir 10 minus 30. t ist gleich 10 minus 30, -20, geteilt durch 16. Wir teilen den Zähler und Nenner durch 4 und erhalten -5 geteilt durch 4. Wir teilen den Zähler und Nenner durch 4 und erhalten -5 geteilt durch 4. Errinern wir uns: Wir versuchen, eine Zeit herauszufinden. Also müssen wir, zumindest bei dieser Aufgabe, lediglich positive Werte in Betracht ziehen. Also müssen wir, zumindest bei dieser Aufgabe, lediglich positive Werte in Betracht ziehen. Also müssen wir, zumindest bei dieser Aufgabe, lediglich positive Werte in Betracht ziehen. Wir wollen wissen, wie lange der Ball braucht, um auf den Boden zu treffen. Wir wollen wissen, wie lange der Ball braucht, um auf den Boden zu treffen. Wir wollen nicht in der Zeit zurückreisen. Also darf unser negatives Ergebnis nicht zählen. Hier ist also nur die positive Antwort richtig. Das heißt also, dass die einzige Wurzel, die funktioniert, 5/2 ist. Das heißt also, dass die einzige Wurzel, die funktioniert, 5/2 ist. WIr nehmen an, dies sei in Sekunden, also 5/2 Sekunden. WIr nehmen an, dies sei in Sekunden, also 5/2 Sekunden. Macht euch keine Gedanken über diese physikalische Formel. Hier möchte man eigentlich nur von uns wissen, wie man die Mitternachtsformel in diesem Anwendungsbeispiel richtig anwendet. Bei der Physik gehen wir deutlich tiefer ins Detail und erklären euch das konzeptionelle Verstehen Bei der Physik gehen wir deutlich tiefer ins Detail und erklären euch das konzeptionelle Verstehen in unseren Physik-Videos. Lasst uns nun noch sicherstellen, dass wir nach 5/2 Sekunden auch wirklich auf der Höhe 0 sind. Bzw. t ist gleich 5/2. Dieser AUsdruck sagt uns, dass h gleich 0 ist. WIr haben also -- probieren wir es aus. WIr haben -16 mal (5/2)² plus 20 mal 5/2 plus 50. WIr haben -16 mal (5/2)² plus 20 mal 5/2 plus 50. Das muss gleich 0 sein. Das ist also -16 mal 25/4 plus -- schauen wir, wenn wir 20 durch 2 teilen, erhalten wir 10. Das ist also -16 mal 25/4 plus -- schauen wir, wenn wir 20 durch 2 teilen, erhalten wir 10. 2 geteilt durch 2 ist 1. 10 mal 5 ist dann 50. Plus 50. Das muss gleich 0 sein. -16 geteilt durch 4 ist gleich -4. 4 geteilt durch 4 ist 1. WIr haben also -4 mal 25, das ist 100. Plus 50 -- Entschuldigt. -4 mal 25 ist -100. Plus 50, nochmals plus 50 ist gleich 0. Also haben wir -100 plus weitere 100. Das ist definitiv gleich 0. Wir erhalten: 0 ist gleich 0. Also passt alles. Wir berühren den Boden nach 5/2 bzw. 2,5 Sekunden. Wir berühren den Boden nach 5/2 bzw. 2,5 Sekunden. t ist gleich 5/2 oder 2,5 Sekunden.