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Formen & Eigenschaften quadratischer Funktionen

Video-Transkript
Ich habe hier eine Funktion : f(x) = x^2 -5x+6 Ich möchte über verschiedene Formen dieser Funktion sprechen, vor allem wenn man die Nullstellen der Funktion sucht. Wenn wir herausfinden wollen wo diese Funktion die x-Achse schneidet, welche Form ist dann sinnvoll? Danach noch eine Form um die Tiefpunkte dieser Funktion zu ermitteln. Wir haben einen positiven Koeffizienten vor dem x^2. Die Parabel wird also nach oben geöffnet sein. Doch wo ist der Tiefpunkt dieser Funktion? Oder allgemeiner, was ist der Extrempunkt dieser Parabel hier? Wenn die Funktion so aussieht, dann können wir eine Form benutzen um herrauszufinden wo sie die x-Achse schneidet. Wo ist dies also der Fall? Womöglich können wir sie manipulieren um eine andere Form zu erhalten, um den Tiefpunkt zu ermitteln Was ist der Punkt hier für diese Funktion? Ich weis nichtmal ob die Funktion so aussieht. Ich ermutige euch das Video zu pausieren und zu versuchen die Funktion selbst in diese beiden Formen zu bringen. Also nun weiter. Um die Nullstellen zu erhalten können wir die Funktion faktorisieren. Wir müssen uns überlegen, von welchen beiden Zahlen das PRodukt +6 ist und deren Summe -5 ergibt. Da ihr Produkt positiv ist müssen beide das selbe Vorzeichen haben. Wenn beide das selbe vorzeichen haben und wir ein negativen Wert erhalten müssen beide Zahlen negativ sein. ( -2 )*( -3 )= + 6 ( -2 )+( -3 ) = - 5. Wir können f(x) also umschreiben zu Wir können f(x) also umschreiben zu Wir können f(x) also umschreiben zu f(x) = (x - 2) * (x - 3) Wie hilft uns das die Nullstellen zu finden? Wann wird dieser rechte Teil gleich 0 sein? Da es ein Produkt ist, wird, falls ein Teil 0 ist, das ganze 0. Denn 0 mal irgendwas ist gleich 0. Das ganze wird also 0, wenn (x - 2)=0 ist oder (x - 3)=0. Wenn wir 2 auf beiden seiten hinzuaddieren, erhaltern wir x = 2 oder x = 3. Dies sind also die beiden Nullstellen der Funktion. Dies sind also die beiden Nullstellen der Funktion. Wir können uns schonmal eine Vorstellung des Graphen machen. des Graphen machen. Wir versuchen den Graphen zu zeichnen. Das hier ist x=1. Das hier ist x=2. Das hier ist x=3. Das hier ist unsere x-Achse. Das hier ist unsere y-Achse wobei y=f(x). Wir sehen das wir die x-Achse an diesen Stellen schneiden. Wenn x=2 ist, ist f(x)=0. Wenn x=3 ist, ist f(x)=0. Man kann auch diese beiden Werte in die ursprüngliche Gleichung einsetzten und erhält dann Null, da es ja die gleichen Funktionen sind. Was ist mit dem Extrempunkt? Wie können wir den urspünglichen Ausdruck umformen damit wir den Extrempunkt einfach bestimmen können? Wir kennen von vorherigen Videos schon Binome. Wenn wir die Funktion in ein Binom umformen ist es relativ einfach den Tiefpunkt zu ermitteln. Genau das machen wir nun hier. Wir formen das nun um. Wir haben f(x) = x^2 - 5x +6 wobei ich mir etwas Platz lasse wobei ich mir etwas Platz lasse da wir hier noch etwas einfügen müsse. Dabei addieren und subtrahieren wir den gleichen Wert, Dabei addieren und subtrahieren wir den gleichen Wert, haben also am Ende den Wert nicht verändert. haben also am Ende den Wert nicht verändert. Ich möchte das machen, damit der unterstrichene Teil Ich möchte das machen, damit der unterstrichene Teil ein Binom wird. Wir haben das schon öfters gemacht, also einen Ausdruck in ein Binom umgeformt. Ich lege euch nahe, diese Videos anzuschauen, falls ihr etwas Wiederholung braucht. Die Idee dahinter ist, dass man ein Binom erhält, wenn diesen Koeffizient nimmt. In diesem Beispiel -5. Wir halbieren ihn (hier -(5/2)) und quadrieren ihn. Wir können hier also schreiben +(-5/2)^2. Was ist (-(5/2))^2? Wir können hier also schreiben +(-5/2)^2. Wenn eine negative Zahl quadriert wird erhält man eine positive. Das ist also das gleiche wie (5/2)^2. 5^2 ist 25. 2^2 ist 4 Das hier wird also +25/4 sein. Damit weiterhin die Funktion stimmt, müssen wir hier das gleiche auf beiden Seiten addieren oder wieder auf der Seite abziehen. oder wieder auf der Seite abziehen. oder wieder auf der Seite abziehen. Wir haben somit also nicht den Wert des Gleichung geändert. Wenn wir also +25/4 machen und -25/4 auch, bleibt alles gleich. Was ist jetzt dieser rechte Teil hier? Was wird dieser Teil, welchen ich in Lila unterstrichen hab? Das ganze wird - deswegen haben wir den ganzen Aufwand ja betrieben - ( x - (5/2) )^2 Ich leg dir nahe, das zu prüfen. Wir gehen in den Binomvideos näher darauf ein warum man durch halbieren und quadrieren ein Binom erhält. Aber bei diesem Ausdruck kann man es prüfen, dass das so ist. Nun das ist also der erste Teil, nun müssen wir noch 6 - (25/4) vereinfachen. Wir können 6 als 24/4 schreiben. (24/4) - (25/4) = -(1/4). Wir können die Originalfunktion also also f(x)= (x - (5/2))^2 - (1/4) schreiben. Was bringt uns das? Dieser vordere Teil, wird immer nicht negativ sein. Der geringste Wert des lilanen wird 0 sein. Warum? Durch das quadrieren , falls wir nur Reelle Zahlen betrachten, wird ein negativer Wert in der Klammer positiviert. in der Klammer positiviert. Also wird dieser Wert minimal 0. Wenn wir uns nun überlegen wann die Funktion ihr Minimum erreicht, dann sheen wir, dass das passiert wenn wir 0 quadrieren. Und wann ist das der Fall? Offensichtlich wenn x - (5/2) = 0 ergibt. Also wenn x = (5/2) ist. Also wenn x = (5/2) ist. Der Tiefpunkt ist also bei x = (5/2). Was ist y wenn x = (5/2)? f(5/2) ist - und erneut hätte man jede Form benutzen können um die 5/2 zu erhalten, am einfachsten ist es jedoch hier. Wenn x = 5/2 dann wird dieser Teil hier 0. 0^2 =0. Und übrig bleibt -1/4. Unser Extrempunkt ist also an dem Punkt ( (5/2) | (-1/4) ). Also x = 5/2, was das gleiche wie 2,5 ist. was das gleiche wie 2,5 ist. y = -1/4 wäre dann ungefähr hier. Hier ist also unser Extrempunkt. Dieser Punkt hier ist ( (5/2) | (-1/4) ). Wir haben also gerade diese Form benutzt um den Tiefpunkt zu ermitteln. um den Tiefpunkt zu ermitteln. Dazu können wir nun die Nullstelle benutzen um eine grobe Skizze von der Prabel zu erhalten. um eine grobe Skizze von der Prabel zu erhalten. Was dieses Video vermitteln soll ist, dass man diese Funktion umschreiben kann, abhängig davon, was wir wissen wollen. abhängig davon, was wir wissen wollen.