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Video-Transkript

Wir sollen den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse dieses Graphen finden. Wir sollen den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse dieses Graphen finden. Wir sollen den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse dieses Graphen finden. Der springende Punkt dabei ist, dass du verstehst, was Scheitelpunkt und Symmetrieachse sind. Der springende Punkt dabei ist, dass du verstehst, was Scheitelpunkt und Symmetrieachse sind. Als kleine Wiederholung: Wenn eine Parabel so aussieht, ist der Scheitelpunkt der niedrigste Punkt hier, Als kleine Wiederholung: Wenn eine Parabel so aussieht, ist der Scheitelpunkt der niedrigste Punkt hier, der Minimalpunkt einer nach oben geöffneten Parabel. Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der Scheitelpunkt der oberste Punkt hier. Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der Scheitelpunkt der oberste Punkt hier. Er ist der Maximalpunkt. Die Symmetrieachse ist die Gerade, an der du die Parabel spiegeln kannst. Die Symmetrieachse ist die Gerade, an der du die Parabel spiegeln kannst. Die Symmetrieachse ist die Gerade, an der du die Parabel spiegeln kannst. Dies ist eine Spiegelung der linken Seite an der Symmetrieachse. Dies ist eine Spiegelung der linken Seite an der Symmetrieachse. Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist es das Gleiche. Im Allgemeinen besitzt eine nach oben geöffnete Parabel einen positiven Koeffizienten vor dem x² Im Allgemeinen besitzt eine nach oben geöffnete Parabel einen positiven Koeffizienten vor dem x² Im Allgemeinen besitzt eine nach oben geöffnete Parabel einen positiven Koeffizienten vor dem x² und die nach unten geöffnete einen negativen Koeffizienten. Und das werden wir uns noch näher anschauen. Zurück zur Aufgabe: Um den Scheitelpunkt herauszufinden, gibt es eine schnelle Lösungsformel, aber diese werde ich nicht anwenden, weil sie uns nicht den Lösungsweg zeigt. aber diese werde ich nicht anwenden, weil sie uns nicht den Lösungsweg zeigt. aber diese werde ich nicht anwenden, weil sie uns nicht den Lösungsweg zeigt. Aber ich zeige euch am Ende des Videos, wie ihr die Formel verwenden könnt, falls ihr diese Aufgabe in einem Mathetest bekommt und nur eine schnelle Lösung braucht. falls ihr diese Aufgabe in einem Mathetest bekommt und nur eine schnelle Lösung braucht. Aber wir nehmen zuerst den langsamen, intuitiven Weg. Wie können wir den Maximal- bzw. Minimalpunkt dieser Parabel herausfinden? Wie können wir den Maximal- bzw. Minimalpunkt dieser Parabel herausfinden? Der beste Weg ist die quadratische Ergänzung. Der beste Weg ist die quadratische Ergänzung. Das hört sich jetzt vielleicht fremd an, aber wir werden es Schritt für Schritt durchführen. Zuerst schreibe ich die Gleichung um, indem ich -2 ausklammere. Zuerst schreibe ich die Gleichung um, indem ich -2 ausklammere. Zuerst schreibe ich die Gleichung um, indem ich -2 ausklammere. Ich lasse etwas Platz für die quadratische Ergänzung. Ich lasse etwas Platz für die quadratische Ergänzung. Jetzt möchte ich den Ausdruck in den Klammern als Summe einer Quadratzahl und einer anderen Zahl darstellen. Jetzt möchte ich den Ausdruck in den Klammern als Summe einer Quadratzahl und einer anderen Zahl darstellen. Jetzt möchte ich den Ausdruck in den Klammern als Summe einer Quadratzahl und einer anderen Zahl darstellen. Ich habe x² minus 4x. Dies ist eine Quadratzahl, wenn ich hier eine positive 4 habe. Dies ist eine Quadratzahl, wenn ich hier eine positive 4 habe. Wenn hier eine positive 4 steht, ist das hier eine Quadratzahl. Wenn hier eine positive 4 steht, ist das hier eine Quadratzahl. Es wäre (x-2)². Auf die 4 bin ich gekommen, weil ich die Hälfte dieser Zahl gesucht habe: Auf die 4 bin ich gekommen, weil ich die Hälfte dieser Zahl gesucht habe: Die Hälfte von -4 ist -2. Das quadriere ich und erhalte so +4. Das quadriere ich und erhalte so +4. Aber ich kann nicht einfach nur eine 4 zu einer Seite der Gleichung addieren. Aber ich kann nicht einfach nur eine 4 zu einer Seite der Gleichung addieren. Ich muss sie entweder auch auf der anderen Seite addieren oder sie einfach wieder subtrahieren. Ich muss sie entweder auch auf der anderen Seite addieren oder sie einfach wieder subtrahieren. Ich addiere also 4 und subtrahiere 4. Ich addiere also 4 und subtrahiere 4. Ich habe also nur 0 zu diesem Ausdruck addiert und ihn nicht geändert. Ich habe also nur 0 zu diesem Ausdruck addiert und ihn nicht geändert. Aber es erlaubt mir, diesen Teil hier als Quadratzahl zu schreiben: Aber es erlaubt mir, diesen Teil hier als Quadratzahl zu schreiben: x² - 4x + 4 = (x-2)² x² - 4x + 4 = (x-2)² Davor steht noch die -2, mit der alles multipliziert wird. Und dann haben wir -4 - 4, also -8. Und dann haben wir -4 - 4, also -8. y ist also -2 mal den Ausdruck in den Klammern. Dann können wir die -2 wieder ausmultiplizieren. Dann können wir die -2 wieder ausmultiplizieren. Dann können wir die -2 wieder ausmultiplizieren. Dabei ist -2 mal -8 = +16. Alles was ich bisher gemacht habe, ist diese Gleichung mathematisch umzuformen. Alles was ich bisher gemacht habe, ist diese Gleichung mathematisch umzuformen. Aber das erlaubt uns, über den Maximal- oder Minimalpunkt dieser Gleichung nachzudenken. Aber das erlaubt uns, über den Maximal- oder Minimalpunkt dieser Gleichung nachzudenken. Das schauen wir uns genauer an. Das (x-2)² wird durch die Quadrierung immer ein positiver Wert. Das (x-2)² wird durch die Quadrierung immer ein positiver Wert. Das (x-2)² wird durch die Quadrierung immer ein positiver Wert. Das (x-2)² wird durch die Quadrierung immer ein positiver Wert. Aber es wird mit einer negativen Zahl multipliziert. Wenn ein positiver Wert mit -2 multipliziert wird, Wenn ein positiver Wert mit -2 multipliziert wird, wird es immer negativ. Je positiver dieser Wert wird, desto negativer wird der gesamte Ausdruck. Je positiver dieser Wert wird, desto negativer wird der gesamte Ausdruck. Je positiver dieser Wert wird, desto negativer wird der gesamte Ausdruck. Je positiver dieser Wert wird, desto negativer wird der gesamte Ausdruck. Hierbei handelt es sich als um eine nach unten geöffnete Parabel. Hierbei handelt es sich als um eine nach unten geöffnete Parabel. Wir haben hier einen negativen Koeffizienten. Und der Maximalpunkt dieser nach unten geöffneten Parabel liegt dort, wo dieser Ausdruck hier so klein wie möglich ist. Wenn er größer wird, wird er mit einer negativen Zahl multipliziert und dann von 16 abgezogen. Wenn er größer wird, wird er mit einer negativen Zahl multipliziert und dann von 16 abgezogen. Wenn also dieser Ausdruck hier 0 ist, haben wir die y-Koordinate von 16 für den Maximalpunkt. Wenn also dieser Ausdruck hier 0 ist, haben wir die y-Koordinate von 16 für den Maximalpunkt. Wie bekommen wir diesen Ausdruck also = 0? x - 2 = 0 x - 2 = 0 Das ist wahr, wenn x = 2 ist. Das ist wahr, wenn x = 2 ist. Wenn x = 2 ist, ist dieser Ausdruck = 0. 0 mal eine negative Zahl, das ist immer noch 0. Und dann ist y = 16. Das ist unser Scheitelpunkt, unser Maximalpunkt. Wir haben ihn einfach mathematisch hergeleitet, indem wir 16 als den höchsten Wert berechnet haben. Wenn x sich in positive oder negative Richtung von 2 wegbewegt, wird dieser Wert hier negativ oder positiv, aber wenn du ihn quadrierst, wird er positiv. Und wenn du ihn mit -2 multiplizierst, wird er negativ und dann von 16 abgezogen. Unser Scheitelpunkt ist also bei x = 2. Wir setzen jede Einheit auf 2. Wir setzen jede Einheit auf 2. Mein Scheitelpunkt ist also hier. Das ist der absolute Maximalpunkt dieser Parabel. Und die Symmetrieachse verläuft vertikal auf einer Geraden durch x = 2. Und die Symmetrieachse verläuft vertikal auf einer Geraden durch x = 2. Das ist die Symmetrieachse. Aus reiner Neugierde oder weil wir die Parabel zeichnen möchten, Aus reiner Neugierde oder weil wir die Parabel zeichnen möchten, können wir uns fragen, was passiert, wenn x = 0 ist? Das ist leicht: Wenn x = 0 ist, ist y = 8. Wenn x = 0 ist, ist y = 8. Wenn x = 0 ist, ist y = 8. Wenn x = 0 ist, ist y = 8. Der Punkt ist hier. Wir haben hier die Symmetrieachse, wenn x = 3, ist y auch = 8. Diese Parabel ist also sehr steil und eng. Sie sieht etwa so aus mit dem Maximalpunkt hier. Sie sieht etwa so aus mit dem Maximalpunkt hier. Ich habe gesagt, dass das hier ein ziemlich langsamer und intuitiver Weg zur Lösung des Problems ist. Ich habe gesagt, dass das hier ein ziemlich langsamer und intuitiver Weg zur Lösung des Problems ist. Wenn du einen schnellen Weg suchst, um einen Scheitelpunkt zu finden, gibt es eine Formel, die du ableiten kannst, die genau unseren Weg hier durchführt. Die Formel für den Scheitelpunkt, bzw. den x-Wert des Scheitelpunkts oder der Symmetrieachse ist x = -b/2a. Dabei handelt es sich einfach nur um eine stumpfsinnige Anwendung einer Formel. Dabei handelt es sich einfach nur um eine stumpfsinnige Anwendung einer Formel. Deshalb wollte ich euch den Weg zeigen, warum diese Formel überhaupt existiert. Deshalb wollte ich euch den Weg zeigen, warum diese Formel überhaupt existiert. Wenn du sie einfach nur anwendest, erhälst du b ist hier 8 und a ist -2. x = -8/2*(-2) x = -8/2*(-2) x = -8/2*(-2) x = -8/2*(-2) Das können wir berechnen: -8/-2 = -2. Und das ist genau das gleiche Ergebnis wie oben. Und wenn x = 2, dann ist y = 16. Also das gleiche Ergebnis: (2|16). Also das gleiche Ergebnis: (2|16).