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Merkmale von quadratischen Funktionen herausfinden

Video-Transkript
Hier habe ich drei unterschiedliche Funktionen. Ich weiß, dass sie alle f heißen, aber wir nehmen mal an, sie seien verschieden. Ich weiß, dass sie alle f heißen, aber wir nehmen mal an, sie seien verschieden. Und für jede dieser drei möchte ich drei Dinge wissen. Ich möchte die Nullstellen wissen, also jene Werte die einen Funktionswert von 0 ergeben. Ich möchte die Nullstellen wissen, also jene Werte die einen Funktionswert von 0 ergeben. Ich möchte die Nullstellen wissen, also jene Werte die einen Funktionswert von 0 ergeben. Hier wären das die t-Werte. Hier wären das die x-Werte. Hier wären das die x-Werte. Ich möchte also die Nullstellen wissen. Außerdem möchte ich die Koordinaten des Scheitelpunktes wissen. Und zu guter Letzt möchte ich die Gleichung der Symmetrieachse bestimmen. Und zu guter Letzt möchte ich die Gleichung der Symmetrieachse bestimmen. Und zu guter Letzt möchte ich die Gleichung der Symmetrieachse bestimmen. Um etwas genauer zu sein, die vertikale Symmetrieachse, welche die einzige Symmetrieachse für diese drei ist. die vertikale Symmetrieachse, welche die einzige Symmetrieachse für diese drei ist. Halte das Video nun an und probier eigenständig, die Nullstellen, den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse zu finden. Halte das Video nun an und probier eigenständig, die Nullstellen, den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse zu finden. Ich gehe davon aus, dass du es versucht hast und versuche es jetzt selbst. Falls du dich zwischendurch dazu angeregt fühlst, das Video erneut anzuhalten und eigenständig fortzufahren, tu es, denn der beste Weg diese Dinge zu lernen, ist es sie zu machen. Also lass uns zunächst die Nullstellen finden. Hierzu können wir (t - 5)^2 - 9 gleich null setzen. Hierzu können wir (t - 5)^2 - 9 gleich null setzen. Für welche t-Werte wäre "(t - 5)^2 - 9" gleich null? Für welche t-Werte wäre "(t - 5)^2 - 9" gleich null? Um das herauszufinden, könnten wir auf beiden Seiten 9 addieren. Dann steht auf der linken Seite bloß noch (t - 5)^2. Dann steht auf der linken Seite bloß noch (t - 5)^2. Rechts steht 9. Und wenn (t - 5)^2 = 9 ist, ist "t - 5" gleich der positiven oder negativen Quadratwurzel von 9. Und wenn (t - 5)^2 = 9 ist, ist "t - 5" gleich der positiven oder negativen Quadratwurzel von 9. Und wenn (t - 5)^2 = 9 ist, ist "t - 5" gleich der positiven oder negativen Quadratwurzel von 9. Und wenn (t - 5)^2 = 9 ist, ist "t - 5" gleich der positiven oder negativen Quadratwurzel von 9. Und wenn (t - 5)^2 = 9 ist, ist "t - 5" gleich der positiven oder negativen Quadratwurzel von 9. Um nach t aufzulösen, addieren wir auf beiden Seiten 5, wodurch wir entweder auf 8 oder 2 kommen. Um nach t aufzulösen, addieren wir auf beiden Seiten 5, wodurch wir entweder auf 8 oder 2 kommen. Um nach t aufzulösen, addieren wir auf beiden Seiten 5, wodurch wir entweder auf 8 oder 2 kommen. Um nach t aufzulösen, addieren wir auf beiden Seiten 5, wodurch wir entweder auf 8 oder 2 kommen. Und so einfach haben wir die Nullstellen gefunden. Denn wenn t gleich 8 oder 2 ist, ist diese Funktion 0. Denn wenn t gleich 8 oder 2 ist, ist diese Funktion 0. f(8) ist 0 und f(2) ist ebenfalls 0. Finden wir jetzt die Koordinaten des Scheitelpunktes. Finden wir jetzt die Koordinaten des Scheitelpunktes. Finden wir jetzt die Koordinaten des Scheitelpunktes. Also die t-Koordinate des Scheitelpunktes, denn wir haben hier ein t und kein x, die t-Koordinate des Scheitelpunktes liegt mittig zwischen den Nullstellen. die t-Koordinate des Scheitelpunktes liegt mittig zwischen den Nullstellen. Sie ist in diesen Fall auf halber Strecke zwischen den Punkten, Sie ist in diesen Fall auf halber Strecke zwischen den Punkten, an denen die Parabel die x-Achse bzw. die t-Achse schneidet. an denen die Parabel die x-Achse bzw. die t-Achse schneidet. an denen die Parabel die x-Achse bzw. die t-Achse schneidet. Also auf der Hälfte zwischen 8 und 2. Es ist also der Durchschnitt dieser beiden Werte. 8 plus 2 geteilt durch 2 bzw. 10 durch 2 ergibt 5. 8 plus 2 geteilt durch 2 bzw. 10 durch 2 ergibt 5. Die t-Koordinate ist 5 und 5 ist 3 von 8 und von 2 entfernt. Die t-Koordinate ist 5 und 5 ist 3 von 8 und von 2 entfernt. Und was für einen Wert wird f(t) annehmen, wenn t=5 ist? Was ist f(5)? Und was für einen Wert wird f(t) annehmen, wenn t=5 ist? Was ist f(5)? Wenn t=5 ist, ist 5-5^2=0. Wenn t=5 ist, ist 5-5^2=0. f(5) st also -9. Diese Art eine Funktion zu schreiben wird auch die Scheitelform der Funktion genannt, da es recht einfach ist, den Scheitelpunkt aus ihr herauszulesen. Manchmal reicht dann ein Blick. Für diese Funktion hier erreichen wir ein Minimum, wenn dieser Teil null ergibt, Für diese Funktion hier erreichen wir ein Minimum, wenn dieser Teil null ergibt, Für diese Funktion hier erreichen wir ein Minimum, wenn dieser Teil null ergibt, denn da wir hier quadrieren, kann er nie negativ werden und ist null der kleinstmögliche Wert. denn da wir hier quadrieren, kann er nie negativ werden und ist null der kleinstmögliche Wert. Und er ergibt 0, wenn t=5 ist. Und wenn dieser Teil null ist, ist f(5) gleich minus neun. Und wenn dieser Teil null ist, ist f(5) gleich minus neun. Und so leicht haben wir den Scheitelpunkt gefunden. Nun wissen wir schon eine ganze Menge, falls wir die Funktion zeichnen wollten. Nun wissen wir schon eine ganze Menge, falls wir die Funktion zeichnen wollten. Also ich versuch das einfach mal skizzenartig. Also ich versuch das einfach mal skizzenartig. Also ich versuch das einfach mal skizzenartig. Also ich versuch das einfach mal skizzenartig. Hier ist unsere t-Achse. Hier ist unsere t-Achse. Und das ist unsere y-Achse. Und das ist unsere y-Achse. Und wir zeichnen y = f(t). Wir wissen, dass der Scheitelpunkt die Koordinaten 5 | -9 hat. Wir wissen, dass der Scheitelpunkt die Koordinaten 5 | -9 hat. Das ist t = 5 und y = -9. Das ist t = 5 und y = -9. Das ist der Scheitelpunkt der Funktion. Außerdem kennen wir die Nullstellen, t = 8 und t = 2. Außerdem kennen wir die Nullstellen, t = 8 und t = 2. Außerdem kennen wir die Nullstellen, t = 8 und t = 2. Die beiden Nullstellen liegen bei t gleich zwei und t gleich acht. Die beiden Nullstellen liegen bei t gleich zwei und t gleich acht. Die beiden Nullstellen liegen bei t gleich zwei und t gleich acht. Und so einfach können wir f(t) bzw. y = f(t) zeichnen. Und so einfach können wir f(t) bzw. y = f(t) zeichnen. Das würde in etwa... ...so aussehen. Der Graph von y = f(t). Und das Letzte, was uns noch fehlt ist die Symmetrieachse. Bei dieser handelt es sich um eine senkrechte Linie durch den Scheitelpunkt. Bei dieser handelt es sich um eine senkrechte Linie durch den Scheitelpunkt. Und die Gleichung dieser Linie ist t = 5. Und die Gleichung dieser Linie ist t = 5. Die Symmetrieachse ist im Grunde allein durch die t-Koordinate des Scheitelpunktes definiert. Die Symmetrieachse ist im Grunde allein durch die t-Koordinate des Scheitelpunktes definiert. Bearbeiten wir nun die anderen beiden hier. Was sind die Nullstellen? Wenn das hier, also (x + 2) mal (x + 4), null ergeben soll, Wenn das hier, also (x + 2) mal (x + 4), null ergeben soll, muss entweder (x + 2) oder (x + 4) null sein. muss entweder (x + 2) oder (x + 4) null sein. Wenn wir hier auf beiden Seiten 2 abziehen, erhalten wir x = -2, und wenn wir hier 4 auf beiden Seiten abziehen, erhalten wir x = -4. Wenn wir hier auf beiden Seiten 2 abziehen, erhalten wir x = -2, und wenn wir hier 4 auf beiden Seiten abziehen, erhalten wir x = -4. Wenn wir hier auf beiden Seiten 2 abziehen, erhalten wir x = -2, und wenn wir hier 4 auf beiden Seiten abziehen, erhalten wir x = -4. Wie besprochen, liegt die x-Koordinate des Scheitelpunktes genau zwischen diesen beiden Werten. Wie besprochen, liegt die x-Koordinate des Scheitelpunktes genau zwischen diesen beiden Werten. Also bei -2 + (-4) geteilt durch 2, was -3 ist. Also bei -2 + (-4) geteilt durch 2, was -3 ist. Also bei -2 + (-4) geteilt durch 2, was -3 ist. Also bei -2 + (-4) geteilt durch 2, was -3 ist. Und wenn x = -3 ist, ist f(x) = -1. Und wenn x = -3 ist, ist f(x) = -1. Und wenn x = -3 ist, ist f(x) = -1. -3 + 2 = -1, und dann x 1. Minus eins. Damit haben wir das. Und die Symmetrieachse ist die vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt bei -3 geht. Und die Symmetrieachse ist die vertikale Linie, die durch den Scheitelpunkt bei -3 geht. Das können wir wieder recht flott zeichnen. Hier ist meine y-Achse. Hier ist meine y-Achse. Da die x-Werte hauptsächlich negativ sind, zeichne ich das ein bisschen anders. Da die x-Werte hauptsächlich negativ sind, zeichne ich das ein bisschen anders. Das ist meine x-Achse. Wir wissen, dass unsere Nullstellen bei -2 und -4 liegen. Wir wissen, dass unsere Nullstellen bei -2 und -4 liegen. Lass mich das einzeichnen. Unsere Nullstellen sind bei -2 und -4. Unsere Nullstellen sind bei -2 und -4. Unsere Nullstellen sind bei -2 und -4. Und der Scheitelpunkt liegt bei -3 | -1. Und der Scheitelpunkt liegt bei -3 | -1. Um ganz deutlich zu sein, das ist -1, das ist -2 und das ist -4 Um ganz deutlich zu sein, das ist -1, das ist -2 und das ist -4 Um ganz deutlich zu sein, das ist -1, das ist -2 und das ist -4 Und damit können wir den Graph von y = f(x) skizzieren. Und damit können wir den Graph von y = f(x) skizzieren. Ungefähr so würde y = f(x) aussehen. Ungefähr so würde y = f(x) aussehen. Nun zur nächsten Funktion. Ich hoffe, das ergibt langsam Sinn. Um x^2 + 6x + 8 = 0 aufzulösen, hilft es diesen Teil zu faktorisieren. Falls du nicht ganz sicher bist, wie das geht, empfehle ich dir dieses Video zu pausieren und dir ein paar Videos zur Faktorisierung von Polynomen anzuschauen. Falls du nicht ganz sicher bist, wie das geht, empfehle ich dir dieses Video zu pausieren und dir ein paar Videos zur Faktorisierung von Polynomen anzuschauen. Falls du nicht ganz sicher bist, wie das geht, empfehle ich dir dieses Video zu pausieren und dir ein paar Videos zur Faktorisierung von Polynomen anzuschauen. Welche Zahlen ergeben addiert sechs und multipliziert acht? Welche Zahlen ergeben addiert sechs und multipliziert acht? Vier und zwei. 4 plus 2 ergibt 6 und 4 mal 2 ist 8. Gleich null. Und das ist genau das, was wir hier drüben in blau haben. Und das ist genau das, was wir hier drüben in blau haben. Die beiden sind eigentlich identisch. Sie sind nur unterschiedlich geschrieben. Folglich sind auch die Lösungen identisch. Der Graph hierfür wird der gleiche sein, wie der hier drüben. Der Graph hierfür wird der gleiche sein, wie der hier drüben. Der gleiche Scheitelpunkt, die gleiche Symmetrieachse, die gleichen Nullstellen. Diese beiden Funktionen wurden nur unterschiedlich formuliert.