Textaufgaben zu quadratischen Termen (faktorisierte Form)

Eine Rakete wird von einer Plattform aus gestartet. Ihre Höhe (in Metern), x Sekunden nach dem Start wird durch die Funktion h(x) = -4(x + 2)(x - 18) dargestellt. Die erste Frage lautet: Welche Höhe hat die Rakete beim Start? Pausiere das Video und versuche, die Frage zu beantworten. Was ist x zum Zeitpunkt des Starts? x ist die Anzahl der Sekunden nach dem Start, also ist x während dem Start gleich 0. Gesucht wird also die Höhe der Rakete mit x = 0. Oder auch: Was ist h(0)? Um das herauszufinden, müssen wir einfach in unserem Ausdruck alle x-Werte mit 0 ersetzen. h(0) = -4 mal (0 + 2), was einfach nur 2 ist, mal (0 - 18), was einfach nur -18 ist. Wir rechnen also -8 mal -18. Wir könnten es auch als -8 mal -9 mal 2 schreiben. Wir rechnen also 72 mal 2, was 144 ergibt. Also 144 Meter. Stimmt das? Mal schauen. Ja, das ist richtig. Wie viele Sekunden nach dem Start wird die Rakete den Boden erreichen? Pausiere das Video und versuche, die Frage zu beantworten. Was bedeutet es, wenn die Rakete am Boden ankommt? Das bedeutet, dass die Höhe = 0 ist. Wir wollen herausfinden, wie viele Sekunden nach dem Start es sind. Die Sekunden sind unser x, also wollen wir das x herausfinden, wenn unsere Höhe = 0 ist. Wir schreiben also eine Gleichung. Wir setzen unsere Höhe h(x) gleich 0. 0 = -4(x + 2)(x - 18). Wenn das Produkt von drei verschiedenen Dingen mit 0 gleichgesetzt wird, bekommst du das gelöst, indem mindestens eins dieser drei Dinge gleich 0 ist. -4 kann nicht gleich 0 sein. Also könnten wir sagen x + 2 = 0. Das ist aus dieser Klammer hier. Wenn x + 2 gleich 0 wäre, dann wäre diese Gleichung gelöst. Und das ist der Fall, wenn x = -2 wäre. Denk dran: x ist die Anzahl der Sekunden nach dem Start, also würde ein negativer x-Wert bedeuten, dass es vor dem Start stattfindet. Also kann das nicht stimmen. Wenn x - 18 gleich 0 wäre, dann wäre dieser gesamte Ausdruck gleich 0. x - 18 = 0. Du addierst 18 auf beiden Seiten. Du erhältst x = 18. Also 18 Sekunden nach dem Start, ist unsere Höhe bei 0 Metern, wir haben den Boden erreicht. Nächste Frage: Wie viele Sekunden nach dem Start erreicht die Rakete ihre maximale Höhe? Pausiere wieder das Video und versuche, die Frage zu beantworten. Das wichtige ist, dass, wenn du eine Kurve hast, wenn du eine Parabel hast, die ungefähr so aussieht, erreichst du deine maximale Höhe genau hier zwischen den zwei Stellen, an denen deine Höhe = 0 ist. Wenn du diese zwei x-Werte herausfindest, ist der Durchschnitt dieser beiden Werte der x-Wert, der die Zeit nach dem Start angibt, nach der die maximale Höhe erreicht ist. Wir haben diese beiden x-Werte bereits herausgefunden. Wir wissen, dass h(x) = 0 gilt, wenn x entweder gleich 18 ist, dieses x ist also gleich 18, oder wenn x = -2. Dieses x ist gleich -2. Um diese Frage zu beantworten, müssen wir einfach den Mittelpunkt zwischen -2 und 18 finden. Also machen wir das. -2 + 18 dividiert durch 2. Was kommt heraus? 16 dividiert durch 2, was 8 ergibt. Hier haben wir also x = 8 Sekunden, der Punkt an dem die Rakete ihre maximale Höhe erreicht. Letzte Frage: Welche maximale Höhe wird die Rakete erreichen? Pausiere das Video wieder und versuche, die Frage zu beantworten. Von der vorherigen Frage wissen wir bereits, dass wir unsere maximale Höhe erreichen, wenn x = 8, also 8 Sekunden nach dem Start. Um die Höhe herauszufinden, müssen wir nur ausrechnen, was h(8) ergibt. Denk dran: Du setzt jeden x-Wert ein, die Zeit, die nach dem Start vergangen ist, und erhältst die Höhe. Ich weiß also, dass ich nach 8 Sekunden die maximale Höhe erreiche. Um die Höhe herauszufinden, setze ich diesen Wert einfach in die Funktion ein. Also h(8) = -4(8 + 2)(8 - 18). 8 + 2 = 10. 8 - 18 = -10. Also rechnest du -4 mal -100 und das ergibt 400. h ist in Metern angegeben, das bedeutet, dass die maximale Höhe 400 Meter beträgt.