3. Binomische Formel - Einführung

Üben wir Ausklammern mit der dritten binomischen Formel (Plus-Minus-Formel) Üben wir Ausklammern mit der dritten binomischen Formel (Plus-Minus-Formel) für die Differenz von zwei Quadratzahlen: zum Beispiel x^2 minus 9. für die Differenz von zwei Quadratzahlen: zum Beispiel x^2 minus 9. Zwei Größen werden subtrahiert, und beide sind Quadratzahlen. Zwei Größen werden subtrahiert, und beide sind Quadratzahlen. Zwei Größen werden subtrahiert, und beide sind Quadratzahlen. Das ist x zum Quadrat minus 3 zum Quadrat. Das ist x zum Quadrat minus 3 zum Quadrat. Das ist x zum Quadrat minus 3 zum Quadrat. Das ist eine Differenz von zwei Grössen, die quadriert wurden. Das ist eine Differenz von zwei Grössen, die quadriert wurden. So etwas kann man recht einfach ausklammern. Wie macht man das? Wiederholen wir zuerst, wie man Binome multipliziert. Wiederholen wir zuerst, wie man Binome multipliziert. Wiederholen wir zuerst, wie man Binome multipliziert. Dann sehen wir sofort, wie das geht. Dann sehen wir sofort, wie das geht. Nehmen wir (x plus a) mal (x minus a). "a" ist eine beliebige Zahl. Nehmen wir (x plus a) mal (x minus a). "a" ist eine beliebige Zahl. Nehmen wir (x plus a) mal (x minus a). "a" ist eine beliebige Zahl. Man könnte die ERML Eselsbrücke vom vorigen Video verwenden. Man könnte die ERML Eselsbrücke vom vorigen Video verwenden. Ich wende lieber das Distributivgesetz zweimal an. Ich wende lieber das Distributivgesetz zweimal an. Wir könnten "x + a" nehmen und es auf das "x" und auf das "a" verteilen. Wir könnten "x + a" nehmen und es auf das "x" und auf das "a" verteilen. Wenn wir (x plus a) mit x multiplizieren, erhalten wir: x^2 für x mal x, ax für a mal x, und wenn wir (x plus a) mit dem negativen "a" multiplizieren, erhalten wir minus ax minus a^2. Die beiden mittleren Ausdrücke heben sich auf. Es bleibt x^2 - a^2. Das ist die Differenz zweier Quadrate! nämlich "x" zum Quadrat minus "a" zum Quadrat. Das ist die Differenz zweier Quadrate! nämlich "x" zum Quadrat minus "a" zum Quadrat. Das ist ein interessantes Ergebnis: x^2 minus a^2 gleich (x plus a) mal (x minus a). Das ist ein interessantes Ergebnis: x^2 minus a^2 gleich (x plus a) mal (x minus a). Das ist ein interessantes Ergebnis: x^2 minus a^2 gleich (x plus a) mal (x minus a). Das ist ein interessantes Ergebnis: x^2 minus a^2 gleich (x plus a) mal (x minus a). Und das gilt für jedes "a". Wir können dieses Schema nutzen, um den anderen Ausdruck auszuklammern. Was ist unser "a" hier? Unser a ist Drei. x zum Quadrat minus drei zum Quadrat oder x zum Quadrat minus a zum Quadrat mit a gleich Drei. Wenn wir das ausklammern, bekommen wir x plus a mit a gleich Drei, mal x minus a mit a gleich Drei. Also (x plus drei) mal (x minus drei). Üben wir noch einige Beispiele, damit wir "Differenz von Quadraten" verstehen. Üben wir noch einige Beispiele, damit wir "Differenz von Quadraten" verstehen. Klammern wir mal y^2 minus 25 aus. Klammern wir mal y^2 minus 25 aus. Es muss eine Differenz von zwei Quadraten sein. Mit der Summe von Quadraten funktioniert es nicht. Hier wären das y und fünf, Hier wären das y und fünf, denn "y" mal "y" ist "y^2" und fünf mal fünf ist 25. denn "y" mal "y" ist "y^2" und fünf mal fünf ist 25. Das ist also "y" plus etwas mal "y" minus etwas. Und was ist dieses etwas? Fünf, denn 25 ist gleich 5^2 und wir erhalten (y + 5) mal (y - 5). Fünf, denn 25 ist gleich 5^2 und wir erhalten (y + 5) mal (y - 5). Die Variable muss übrigens nicht vorne stehen. Wir könnten 121 minus b zum Quadrat schreiben. Wir könnten 121 minus b zum Quadrat schreiben. Auch hierbei handelt es sich um die Differenz von Quadraten, denn 121 ist gleich 11 zum Quadrat. Auch hierbei handelt es sich um die Differenz von Quadraten, denn 121 ist gleich 11 zum Quadrat. Folglich ist das hier (11 plus etwas) mal (11 minus etwas) und dieses etwas ist, was hier quadriert war. Folglich ist das hier (11 plus etwas) mal (11 minus etwas) und dieses etwas ist, was hier quadriert war. Folglich ist das hier (11 plus etwas) mal (11 minus etwas) und dieses etwas ist, was hier quadriert war. (11 plus b) mal (11 minus b) Das gilt immer, wenn du eine Differenz von Quadraten siehst, also ein Ausdruck bei dem ein Quadrat von einen anderen Quadrat subtrahiert wird, gleich ob Zahl oder Variable, solange du die Quadratwurzel ziehen kannst. gleich ob Zahl oder Variable, solange du die Quadratwurzel ziehen kannst. gleich ob Zahl oder Variable, solange du die Quadratwurzel ziehen kannst. In so einen Fall ist es stets das erste quadrierte Etwas plus das zweite quadrierte Etwas In so einen Fall ist es stets das erste quadrierte Etwas plus das zweite quadrierte Etwas In so einen Fall ist es stets das erste quadrierte Etwas plus das zweite quadrierte Etwas mal dem ersten quadrierten Etwas minus dem zweiten quadrierten Etwas. mal dem ersten quadrierten Etwas minus dem zweiten quadrierten Etwas. Ein üblicher Anfängerfehler, den z.B. auch mein Sohn machte, Ein üblicher Anfängerfehler, den z.B. auch mein Sohn machte, ist zu erkennen, dass es sich um die Differenz von Quadraten handelt, ist zu erkennen, dass es sich um die Differenz von Quadraten handelt, aber dann nicht die Wurzeln zu ziehen und anzunehmen es sei "(y^2 + 25) * (y^2 - 25)". aber dann nicht die Wurzeln zu ziehen und anzunehmen es sei "(y^2 + 25) * (y^2 - 25)". Wichtig ist hier zu erkennen was quadriert wurde. Wichtig ist hier zu erkennen was quadriert wurde. Hier ist es "y" und hier ist es 5. Hier ist es "y" und hier ist es 5. Hier wurden "y" und 5 quadriert, in dieser Differenz von Quadraten, richtig wäre also "(y + 5) * (y - 5)". Probier es mal aus! Auf Khan Academy haben wir einen ganzen Bereich, wo du dich an solchen Problemen versuchen kannst. Auf Khan Academy haben wir einen ganzen Bereich, wo du dich an solchen Problemen versuchen kannst.