Einführung ins Gruppieren

In diesem Video werde ich ein paar weitere Techniken zeigen, um Polynome zu faktorisieren. In diesem Video werde ich ein paar weitere Techniken zeigen, um Polynome zu faktorisieren. Im besonderen geht es um quadratische, die nicht 1 als Leitkoeffizienten haben. Im besonderen geht es um quadratische, die nicht 1 als Leitkoeffizienten haben. Zum Beispiel 4x zum Quadrat plus 25x minus 21. Zum Beispiel 4x zum Quadrat plus 25x minus 21. Alle quadratischen Polynome, die wir bisher faktorisiert haben, hatten anstelle der 4 entweder 1 oder minus 1. Alle quadratischen Polynome, die wir bisher faktorisiert haben, hatten anstelle der 4 entweder 1 oder minus 1. Alle quadratischen Polynome, die wir bisher faktorisiert haben, hatten anstelle der 4 entweder 1 oder minus 1. Nun haben wir also eine 4 hier. Und ich werde euch eine Technik zeigen, die sich Faktorisieren durch Gruppieren nennt. Und ich werde euch eine Technik zeigen, die sich Faktorisieren durch Gruppieren nennt. Es ist etwas kompliziert, aber es ist ein cleverer Trick. Es ist etwas kompliziert, aber es ist ein cleverer Trick. Sobald du die quadratische Formel beherrscht, wirst du ihn nicht mehr verwenden, denn die ist um einiges einfacher. denn die ist um einiges einfacher. Aber so ist das nun mal. Ich zeige dir diese Technik und am Ende des Videos zeige ich dir, warum sie funktioniert. Ich zeige dir diese Technik und am Ende des Videos zeige ich dir, warum sie funktioniert. Ich zeige dir diese Technik und am Ende des Videos zeige ich dir, warum sie funktioniert. Wir überlegen uns zwei Zahlen, a und b, bei denen a mal b gleich 4 mal minus 21 ist. Wir überlegen uns zwei Zahlen, a und b, bei denen a mal b gleich 4 mal minus 21 ist. Wir überlegen uns zwei Zahlen, a und b, bei denen a mal b gleich 4 mal minus 21 ist. a mal b ist gleich 4 mal minus 21, und das ist minus 84. a mal b ist gleich 4 mal minus 21, und das ist minus 84. Und dieselben Zahlen, a plus b müssen gleich 25 sein. Und dieselben Zahlen, a plus b müssen gleich 25 sein. Lass mich das klarstellen. Sie müssen gleich 25 sein. Und die 4 ist hier. 4 mal minus 21. 4 mal minus 21. Welche zwei Zahlen erfüllen das? Wir müssen uns die Faktoren von minus 84 ansehen. Und einer davon muss positiv sein. Und einer davon muss positiv sein. Der andere muss negativ sein, da ihr Produkt negativ ist. Der andere muss negativ sein, da ihr Produkt negativ ist. Lass uns überlegen, welche Faktoren funktionieren könnten. Lass uns überlegen, welche Faktoren funktionieren könnten. 4 und minus 21, aber wenn du sie addierst, bekommst du minus 17. 4 und minus 21, aber wenn du sie addierst, bekommst du minus 17. Oder 17, bei minus 4 und 21. Das funktioniert nicht. Lass uns ein paar andere versuchen. 1 und 84 sind zu weit entfernt, wenn du sie subtrahierst. Denn das ist, was du tun musst, wenn eine negativ und die andere positiv ist. Denn das ist, was du tun musst, wenn eine negativ und die andere positiv ist. Sie sind zu weit auseinander. 2 und 42. Auch zu weit voneinander entfernt. Minus 2 plus 42 ist 40. 2 plus minus 42 ist minus 40. 3 und, 3 geht wie oft in 84, sie geht in die 8 2 Mal. 2 mal 3 ist 6. 8 minus 6 ist 2. Bringe die 4 nach unten. Das geht genau 8 mal hinein. Also 3 und 28. Interessant. Eine der beiden muss negativ sein. Minus 3 plus 28 ist gleich 25. Und wir haben unsere beiden Zahlen gefunden. Aber es ist nicht so einfach wie das, was wir tun mussten, wenn das hier eine 1 oder minus 1 war. Aber es ist nicht so einfach wie das, was wir tun mussten, wenn das hier eine 1 oder minus 1 war. Wir teilen diesen Term hier auf. Wir teilen diesen Term hier auf. In 28x minus 3x. In 28x minus 3x. In 28x minus 3x. Und wir haben minus 21 und 4x zum Quadrat. Und wir haben minus 21 und 4x zum Quadrat. Jetzt könntest du sagen, wieso hast du die 28 hier und die minus 3 dorthin getan? Jetzt könntest du sagen, wieso hast du die 28 hier und die minus 3 dorthin getan? Es spielt keine Rolle. 3 oder minus 3 und 21 oder minus 21 haben den Faktor 3 gemeinsam. 3 oder minus 3 und 21 oder minus 21 haben den Faktor 3 gemeinsam. 3 oder minus 3 und 21 oder minus 21 haben den Faktor 3 gemeinsam. Und 28 und 4 haben gemeinsame Faktoren. Deshalb hab ich sie auf die gleiche Seite getan. Und du wirst gleich sehen, was ich meine. Wenn wir sie gruppieren zu 4x zum Quadrat plus 28x. Wenn wir sie gruppieren zu 4x zum Quadrat plus 28x. Und hier in Pink haben wir minus 3x minus 21. Und hier in Pink haben wir minus 3x minus 21. Und wieder habe ich minus 3 mit 21 oder minus 21 gruppiert, da beide durch 3 teilbar sind. Und wieder habe ich minus 3 mit 21 oder minus 21 gruppiert, da beide durch 3 teilbar sind. Und wieder habe ich minus 3 mit 21 oder minus 21 gruppiert, da beide durch 3 teilbar sind. Und die 28 mit der 4, da beide durch 4 teilbar sind. Und die 28 mit der 4, da beide durch 4 teilbar sind. Und jetzt klammern wir so viel aus, wie wir können. Und jetzt klammern wir so viel aus, wie wir können. Also diese beiden sind durch 4x teilbar. Das macht diesen orangenen Term zu 4x mal x plus 7). Das macht diesen orangenen Term zu 4x mal x plus 7). Und jetzt der zweite Term. Wir klammern alles aus, was wir können. Wir klammern alles aus, was wir können. Beide sind durch 3 oder minus 3 teilbar. Also lass uns minus 3 ausklammern. Und das wird zu x plus 7. Und nun siehst du vielleicht etwas. Wir haben x plus 7 mal 4x plus x plus 7 mal minus 3. Wir haben x plus 7 mal 4x plus x plus 7 mal minus 3. Damit können wir x plus 7 ausklammern. Das mag nicht ganz offensichtlich sein. Du bist es vielleicht nicht gewöhnt, ein ganzes Binom auszuklammern. Du bist es vielleicht nicht gewöhnt, ein ganzes Binom auszuklammern. Aber du kannst dir vorstellen, das sei ein a. Oder wenn du 4xa minus 3a hättest, könntest du ein a ausklammern. Oder wenn du 4xa minus 3a hättest, könntest du ein a ausklammern. Und ich kann hier nur ein Minuszeichen lassen. Und ich kann hier nur ein Minuszeichen lassen. Lass mich das Pluszeichen hier entfernen. Denn es ist nur minus 3, richtig? Plus minus 3 ist das gleiche wie minus 3. Was können wir hier tun? Wir haben x plus 7 mal 4x. Wir haben x plus 7 mal minus 3. Lass uns x plus 7 ausklammern. Und wir bekommen x plus 7, mal 4x minus 3. Minus die 3 hier. Und wir haben unser Binom ausgeklammert. Wir haben unsere Quadratische Gleichung in zwei Binome faktorisiert. Wir haben unsere Quadratische Gleichung in zwei Binome faktorisiert. Lass uns noch ein weiteres Beispiel rechnen. Lass uns noch ein weiteres Beispiel rechnen. Aber mit ein wenig Übung macht es richtig Spass. Lass uns 6x zum Quadrat plus 7x plus 1 faktorisieren. Auf die selbe Weise. Wir wollen ein a mal b finden, das gleich 1 mal 6 ist, was gleich 6 ist. Wir wollen ein a mal b finden, das gleich 1 mal 6 ist, was gleich 6 ist. Und a plus b muss gleich 7 sein. Das ist ein wenig einfacher. Nun, das einfachste ist 1 und 6, richtig? 1 mal 6 ist 6. 1 plus 6 ist 7. Damit haben wir a gleich 1. Ich weise sie gar nicht erst zu. Die Zahlen hier sind 1 und 6. Nun wollen wir das in ein 1x und ein 6x aufteilen. Aber wir wollen es so gruppieren, dass es auf der Seite von etwas ist, mit dem es einen Faktor teilt. Aber wir wollen es so gruppieren, dass es auf der Seite von etwas ist, mit dem es einen Faktor teilt. Damit haben wir 6x zum Quadrat hier, die 6x kommt zuerst, denn 6 und 6 haben den selben Faktor. Damit haben wir 6x zum Quadrat hier, die 6x kommt zuerst, denn 6 und 6 haben den selben Faktor. Damit haben wir 6x zum Quadrat hier, die 6x kommt zuerst, denn 6 und 6 haben den selben Faktor. Und dann haben wir plus 1x, richtig? 6x plus 1x ist gleich 7x. Das war unser Ziel. Sie addieren zu 7. Und wir haben die plus 1 hier. Nun können wir in jeder Gruppe so viel wie möglich ausklammern. Nun können wir in jeder Gruppe so viel wie möglich ausklammern. Lass uns hier 6x ausklammern. Damit wird die erste Gruppe 6x mal x. 6x zum Quadrat geteilt durch 6x ist gleich x. Damit wird die erste Gruppe 6x mal x. 6x zum Quadrat geteilt durch 6x ist gleich x. 6x geteilt durch 6x ist gleich 1. Und dann die zweite Gruppe. Hier haben wir ein Plus. Und dann die zweite Gruppe. Hier haben wir ein Plus. Und in der zweite Gruppe haben wir x plus 1. Wir hätten auch 1 mal x plus 1 schreiben können. Ich hab einfach nur die 1 ausgeklammert. Jetzt habe ich 6x mal x plus 1 plus 1 mal x plus 1. Und ich kann x plus 1 ausklammern. Ich klammere x plus 1 aus, das ist gleich x plus 1 mal 6x plus 1. Ich klammere x plus 1 aus, das ist gleich x plus 1 mal 6x plus 1. Ich verwende die Distributivgesetze rückwärts. Ich verwende die Distributivgesetze rückwärts. Das war hoffentlich nicht so schwer. Und jetzt erkläre ich dir, wie dieser kleine Zaubertrick funktioniert. Und jetzt erkläre ich dir, wie dieser kleine Zaubertrick funktioniert. Lass mich ein Beispiel nehmen. Ich mache das sehr allgemein. Wir haben ax plus b mal cx. Lass mich andere Buchstaben, als a und b verwenden, um es von diesem hier zu unterscheiden. Lass mich andere Buchstaben, als a und b verwenden, um es von diesem hier zu unterscheiden. Lass mich andere Buchstaben, als a und b verwenden, um es von diesem hier zu unterscheiden. Denn es wird nicht das gleiche sein. Ich verwende andere Buchstaben. Ich habe also fx plus g mal hx plus j. Du wirst später sehen, warum ich i nicht als Variable benutze. Ich habe also fx plus g mal hx plus j. Du wirst später sehen, warum ich i nicht als Variable benutze. Ich habe also fx plus g mal hx plus j. Du wirst später sehen, warum ich i nicht als Variable benutze. Ich habe also fx plus g mal hx plus j. Du wirst später sehen, warum ich i nicht als Variable benutze. Und das ganze ist gleich was? Es wir gleich fx mal hx, und das ist fhx. Und dann fx mal j. Also plus fjx. Und dann haben wir g mal hx. Also plus ghx. Und dann g mal j. Plus gj. Oder, wenn wir diese beiden Terme addieren, haben wir fh mal x plus gj. Oder, wenn wir diese beiden Terme addieren, haben wir fh mal x plus gj. Oder, wenn wir diese beiden Terme addieren, haben wir fh mal x plus gj. Was hab ich hier getan? Nun, in all diesen Problemen, bei denen du einen Koeffizienten hast, der nicht 1 oder minus 1 ist, Nun, in all diesen Problemen, bei denen du einen Koeffizienten hast, der nicht 1 oder minus 1 ist, suchen wir zwei Zahlen, deren Summe das ergibt, und deren Produkt gleich dem Produkt von diesem mal diesem ist. Nun, wir haben zwei Zahlen, deren Summe gleich fj ist. Nun, wir haben zwei Zahlen, deren Summe gleich fj ist. Das ist a. Und b ist gleich gh. Damit ist a plus b gleich dem Koeffizienten in der Mitte. Damit ist a plus b gleich dem Koeffizienten in der Mitte. Und was ist a mal b? a mal b ist gleich fj mal gh. Und was ist a mal b? a mal b ist gleich fj mal gh. Wir könnten die Terme umordnen. Wir multiplizieren ein paar Terme miteinander. Das kann man als f mal h mal g mal j schreiben. Das kann man als f mal h mal g mal j schreiben. Das ist alles das selbe. Nun, was ist fh mal gj? Das ist gleich fh mal gj. Nun, das ist gleich dem ersten Koeffizienten mal der Konstante. Nun, das ist gleich dem ersten Koeffizienten mal der Konstante. a plus b ist damit gleich dem mittleren Koeffizienten. Und a mal b ist gleich dem ersten Koeffizienten mal der Konstante. Und a mal b ist gleich dem ersten Koeffizienten mal der Konstante. Und deshalb funktioniert das Faktorisieren durch Gruppieren und wir können a und b herausfinden. und wir können a und b herausfinden. Ich mache zum Schluss noch etwas, das ein wenig anders ist, um deine Ausbildung im Faktorisieren abzurunden. um deine Ausbildung im Faktorisieren abzurunden. Ich will dir beibringen, wie du vollständig Faktorisieren kannst. Ich will dir beibringen, wie du vollständig Faktorisieren kannst. Und es ist ein kleines Extra. Ich wollte eigentlich ein ganzes Video darüber machen, aber ich denke es ist ein wenig zu einfach. aber ich denke es ist ein wenig zu einfach. Lass uns sagen wir haben minus x hoch 3 plus 17x zum Quadrat minus 70x. minus x hoch 3 plus 17x zum Quadrat minus 70x. Du siehst, es ist keine Quadratische Gleichung. Und du weisst vielleicht nicht, wie du sie lösen kannst. Es hat ein x hoch 3. Und du siehst auch, dass jeder Term durch x teilbar ist. Und du siehst auch, dass jeder Term durch x teilbar ist. Also lass uns x ausklammern. Oder besser, minus x. Dann bekommen wir minus x mal - minus x hoch 3 geteilt durch x ist gleich x zum Quadrat - Dann bekommen wir minus x mal - minus x hoch 3 geteilt durch x ist gleich x zum Quadrat - Dann bekommen wir minus x mal - minus x hoch 3 geteilt durch x ist gleich x zum Quadrat - 17x zum Quadrat durch minus x ist gleich minus 17x. Minus 70x geteilt durch minus x ist gleich 70. Die x kürzen sich weg. Und jetzt hast du etwas, das dir vertraut vorkommt. Und jetzt hast du etwas, das dir vertraut vorkommt. Wir haben eine standardisierte Quadratische Gleichung mit dem Leitkoeffizienten 1. Wir haben eine standardisierte Quadratische Gleichung mit dem Leitkoeffizienten 1. Wir müssen nur noch zwei Zahlen finden, deren Produkt 70 und deren Summe minus 17 ist. Wir müssen nur noch zwei Zahlen finden, deren Produkt 70 und deren Summe minus 17 ist. Und die Zahlen, die mir sofort einfallen, sind minus 10 und minus 7. Und die Zahlen, die mir sofort einfallen, sind minus 10 und minus 7. Ihr Produkt ist 70. Und ihre Summe ist minus 17. Dann wird das hier x minus 10 mal x minus 7. Dann wird das hier x minus 10 mal x minus 7. Und minus x hier vorn. Nun schau, ob du etwas ausklammern kannst. Nun schau, ob du etwas ausklammern kannst. Um sie in eine Form zu bekommen, die du wieder erkennst. Ich hoffe, das war hilfreich. Ich wiederhole noch einmal, was ich dir am Anfang gezeigt habe. Ich wiederhole noch einmal, was ich dir am Anfang gezeigt habe. Ich denke es ist ein ziemlich cooler Trick, etwas auszuklammern, das einen Leitkoeffizienten hat, der nicht 1 oder minus 1 ist. das einen Leitkoeffizienten hat, der nicht 1 oder minus 1 ist. Und bald wirst du noch ein paar einfachere Wege lernen, um das zu tun, insbesondere mit der Quadratformel. insbesondere mit der Quadratformel.