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Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 15

Lektion 6: Quadratische Terme durch Gruppieren faktorisieren

Quadratische Terme faktorisieren: Führende Koeffizient ≠ 1

Lerne, wie man quadratische Terme als das Produkt zweier linearer Binome faktorisiert, zum Beispiel 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Was du wissen musst, bevor du diese Lektion beginnst

Die Gruppierungsmethode kann dazu benutzt werden, um Polynome mit

4

Termen zu faktorisieren, indem du die gemeinsamen Faktor mehrmals ausklammerst. Wenn dies neu ist für dich, wirst du dir unseren Einführung in das Faktorisieren durch Gruppieren-Artikel anschauen wollen.

Wir empfehlen dir auch, dass du dir unseren Artikel über das Faktorisieren von quadratischen Gleichungen mit dem führenden Koeffizienten 1 ansiehst, bevor du fortfährst.

Was du in dieser Lektion lernst

In diesem Artikel benutzen wir das Gruppieren um quadratische Gleichungen mit einem anderen führenden Koeffizienten als

1

zu faktorisieren, wie

2 x^{2} + 7 x + 3

Beispiel 1: $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍ faktorisieren

Da der führende Koeffizient von

(2 x^{2} + 7 x + 3)

gleich

2

ist, können wir nicht die Summen-Produkt-Methode anwenden, um den quadratischen Term zu faktorisieren.

Statt

2 x^{2} + 7 x + 3

zu faktoriseren, müssen wir zwei ganze Zahlen finden, die das Produkt

2 \cdot 3 = 6

(der führende Koeffizient mal dem konstanten Term) und die Summe

7

(der

x

-Koeffizient) ergeben.

1 \cdot 6 = 6

und

1 + 6 = 7

, sind die zwei Zahlen

1

und

6

[Wie finden wir diese Zahlen?]

Diese zwei Zahlen sagen uns, wie der

x

-Term in dem Originalterm aufgeteilt wird. Daher können wir unser Polynom als

2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

ausdrücken.

Wir können nun das Gruppieren benutzen um das Polynom zu faktorisieren:

\begin{aligned} 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 1 x) + (6 x + 3) & Terme gruppieren \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & ggT ausklammern \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Gemeinsamer Faktor! \\ = (2 x + 1) (x + 3) & ausklammern von 2 x + 1 \end{aligned}

Die faktorisierte Form ist

(2 x + 1) (x + 3)

[Was ist wenn wir das Polynom in einer anderen Reihenfolge gruppieren?]

Wir können unser Ergebnis prüfen, indem wir zeigen, dass das Multiplizieren der Faktoren

2 x^{2} + 7 x + 3

ergibt.

[Ich würde dies gerne sehen, bitte!]

Zusammenfassung

Im allgemeinen können wir die folgenden Schritte anwenden, um eine quadratische Gleichung der Form

a x^{2} + b x + c

zu faktorisieren:

Beginne damit, dass du zwei Zahlen findest, die multipliziert $a c$ ‍ ergeben und addiert $b$ ‍ ergeben.
Benutze diese Zahlen um den $x$ ‍-Term aufzuteilen.
Wende das Gruppieren an, um den quadratischen Ausdruck zu faktorisieren.

Überprüfe dein Verständnis

1) Faktorisiere $3 x^{2} + 10 x + 8$ ‍.

[Ich benötige Hilfe!]

2) Faktorisiere $4 x^{2} + 16 x + 15$ ‍.

[Ich benötige Hilfe!]

Beispiel 2: $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍ faktorisieren

6 x^{2} - 5 x - 4

zu faktorisieren, müssen wir erst zwei Zahlen finden, die multipliziert

6 \cdot (- 4) = - 24

ergeben und die addiert

- 5

ergeben.

3 \cdot (- 8) = - 24

und

3 + (- 8) = - 5

, sind die Zahlen

3

und

- 8

[Wie kann ich diese Zahlen herausfinden?]

Wir können nun den Term

- 5 x

als Summe von

3 x

und

- 8 x

schreiben und das Gruppieren anwenden um das Polynom zu faktorisieren:

$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x - 8 x - 4 \\ (1) & = (6 x^{2} + 3 x) + (- 8 x - 4) & Terme gruppieren \\ (2) & = 3 x (2 x + 1) + (- 4) (2 x + 1) & ggT ausklammern \\ (3) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Vereinfachen \\ (4) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Gemeinsamer Faktor! \\ (5) & = (2 x + 1) (3 x - 4) & ausklammern von 2 x + 1 \end{aligned}$ ‍

Die faktorisierte Form ist

(2 x + 1) (3 x - 4)

Wir können unser Ergebnis prüfen, indem wir zeigen, dass das Multiplizieren der Faktoren

6 x^{2} - 5 x - 4

ergibt.

[Ich würde dies gerne sehen, bitte!]

Beachte: Bemerke In Schritt

(1)

oben, dass, weil der dritte Term negativ ist, ein "+" zwischen den Gruppen eingefügt wurde damit der Ausdruck äquivalent zum ursprünglichen Ausdruck ist. Auch müssen wir in Schritt

(2)

, ein negative ggT von der zweiten Gruppe ausklammern, damit wir den gemeinsamen Faktor

2 x + 1

erhalten. Sei vorsichtig mit den Vorzeichen!

Überprüfe dein Verständnis

3) Faktorisiere $2 x^{2} - 3 x - 9$ ‍.

[Ich benötige Hilfe!]

4) Faktorisiere $3 x^{2} - 2 x - 5$ ‍.

[Ich benötige Hilfe!]

5) Faktorisiere $6 x^{2} - 13 x + 6$ ‍.

[Ich benötige Hilfe!]

Wann ist diese Methode nützlich?

Also, klar ist die Methode nützlich, um quadratische Ausdrücke der Form

a x^{2} + b x + c

zu faktorisieren, sogar wenn

a \neq 1

Aber es ist nicht immer möglich einen quadratischen Ausdruck dieser Form mit unserer Methode zu faktorisieren.

Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck

2 x^{2} + 2 x + 1

. Um ihn zu faktorisieren, müssen wir zwei ganze Zahlen finden, die als Produkt

2 \cdot 1 = 2

ergeben und als Summe

2

ergeben. Versuche, wenn du willst, du wirst keine solche ganzen Zahlen finden.

Daher funltioniert unsere Methode nicht bei

2 x^{2} + 2 x + 1

, und bei vielen anderen quadratischen Ausdrücken auch nicht.

Es ist aber nützlich sich daran zu erinnern, dass, wenn diese Methode nicht funktioniert, es bedeutet, dass der Ausdruck nicht als

(A x + B) (C x + D)

faktorisiert werden kann, wobei

A

B

C

und

D

ganze Zahlen sind.

Warum funktioniert diese Methode?

Will wollen tiefer darin eintauchen, warum diese Methode überhaupt erfolgreich ist. Wir haben hier eine Reihe von Buchstaben, hab' aber bitte Nachsicht mit uns!

Nehmen wir an, dass der allgemeine quadratische Ausdruck

a x^{2} + b x + c

faktorisiert werden kann als

(A x + B) (C x + D)

mit den ganzen Zahlen

A

B

C

und

D

Wenn wir die Klammern ausmultiplizieren, erhalten wir den quadratischen Ausdruck

(A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D

[Ich will den ganzen Prozess des Ausmultiplizierens sehen!]

Da dieser Ausdruck äquivalent ist zu

a x^{2} + b x + c

, müssen die entsprechenden Koeffizienten in den zwei Ausdrücken gleich sein! Dieses ergibt die folgende Beziehung zwischen allen unbekannten Buchstaben:

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{B C + A D}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

Nun definieren wir

m = B C

und

n = A D

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{\overset{m}{\overset{⏞}{B C}} + \overset{n}{\overset{⏞}{A D}}}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

Laut dieser Definition...

m + n = B C + A D = b

und

m \cdot n = (B C) (A D) = (A C) (B D) = a \cdot c

Und daher sind

B C

und

A D

die zwei ganzen Zahlen, nach denen wir immer suchen, wenn wir diese Faktorisierungsmethode anwenden!

Der nächste Schritt in der Methode, nachdem wir

m

und

n

gefunden haben, ist den

x

-Koeffizienten

(b)

entsprechend

m

und

n

aufzuteilen und durch Gruppieren zu faktorisieren.

In der Tat, wenn wir den

x

-Term

(B C + A D) x

(B C) x + (A D) x

aufteilen, sind wir in der Lage das Gruppieren zu benutzen, um unseren Ausdruck zurück in

(A x + B) (C x + D)

zu faktorisieren.

[Ich würde dies gerne sehen, bitte!]

Als Schlussfolgerung, in diesem Abschnitt ...

haben wir mit dem allgemeinen ausmultiplizierten Ausdruck $a x^{2} + b x + c$ ‍ und seiner allgemeinen Faktorisierung $(A x + B) (C x + D)$ ‍ begonnen,
waren wir in der Lage zwei Zahlen $m$ ‍ und $n$ ‍ zu finden, so dass $m n = a c$ ‍ und $m + n = b$ ‍ $($ ‍wir taten dies, indem wir $m = B C$ ‍ und $n = A D)$ ‍ definierten,
teilten wir den $x$ ‍-Term $b x$ ‍ in $m x + n x$ ‍ auf, und konnten den ausmultiplizierten Ausdruck zurück in $(A x + B) (C x + D)$ ‍ faktorisieren.

Dieser Prozess zeigt, warum unser Methode, wenn ein Ausdruck in der Tat als

(A x + B) (C x + D)

faktorisiert werden kann, gewährleistet, dass wir diese Faktorisierung herausfinden.

Vielen Dank, dass du das durchgezogen hast!

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Musti
Gepostet vor 4 Jahren. Direkter Link zu Musti's Post “"Aber es ist nicht immer ...”
"Aber es ist nicht immer möglich einen quadratischen Ausdruck dieser Form mit unserer Methode zu faktorisieren." Hat das was mit Primzahlen zutun?
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Was du wissen musst, bevor du diese Lektion beginnst

Was du in dieser Lektion lernst

Beispiel 1: 2x2+7x+3‍ faktorisieren

Zusammenfassung

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Beispiel 2: 6x2−5x−4‍ faktorisieren

Überprüfe dein Verständnis

Wann ist diese Methode nützlich?

Warum funktioniert diese Methode?

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Beispiel 1: $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍ faktorisieren

Beispiel 2: $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍ faktorisieren