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Algebra 1
Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 15
Lektion 6: Quadratische Terme durch Gruppieren faktorisierenQuadratische Terme faktorisieren: Führende Koeffizient ≠ 1
Lerne, wie man quadratische Terme als das Produkt zweier linearer Binome faktorisiert, zum Beispiel 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).
Was du wissen musst, bevor du diese Lektion beginnst
Die Gruppierungsmethode kann dazu benutzt werden, um Polynome mit Termen zu faktorisieren, indem du die gemeinsamen Faktor mehrmals ausklammerst. Wenn dies neu ist für dich, wirst du dir unseren Einführung in das Faktorisieren durch Gruppieren-Artikel anschauen wollen.
Wir empfehlen dir auch, dass du dir unseren Artikel über das Faktorisieren von quadratischen Gleichungen mit dem führenden Koeffizienten 1 ansiehst, bevor du fortfährst.
Was du in dieser Lektion lernst
In diesem Artikel benutzen wir das Gruppieren um quadratische Gleichungen mit einem anderen führenden Koeffizienten als zu faktorisieren, wie .
Beispiel 1: faktorisieren
Da der führende Koeffizient von gleich ist, können wir nicht die Summen-Produkt-Methode anwenden, um den quadratischen Term zu faktorisieren.
Statt zu faktoriseren, müssen wir zwei ganze Zahlen finden, die das Produkt (der führende Koeffizient mal dem konstanten Term) und die Summe (der -Koeffizient) ergeben.
Da und , sind die zwei Zahlen und .
Diese zwei Zahlen sagen uns, wie der -Term in dem Originalterm aufgeteilt wird. Daher können wir unser Polynom als
ausdrücken.
Wir können nun das Gruppieren benutzen um das Polynom zu faktorisieren:
Die faktorisierte Form ist .
Wir können unser Ergebnis prüfen, indem wir zeigen, dass das Multiplizieren der Faktoren ergibt.
Zusammenfassung
Im allgemeinen können wir die folgenden Schritte anwenden, um eine quadratische Gleichung der Form zu faktorisieren:
- Beginne damit, dass du zwei Zahlen findest, die multipliziert
ergeben und addiert ergeben. - Benutze diese Zahlen um den
-Term aufzuteilen. - Wende das Gruppieren an, um den quadratischen Ausdruck zu faktorisieren.
Überprüfe dein Verständnis
Beispiel 2: faktorisieren
Um zu faktorisieren, müssen wir erst zwei Zahlen finden, die multipliziert ergeben und die addiert ergeben.
Da und , sind die Zahlen und .
Wir können nun den Term als Summe von und schreiben und das Gruppieren anwenden um das Polynom zu faktorisieren:
Die faktorisierte Form ist .
Wir können unser Ergebnis prüfen, indem wir zeigen, dass das Multiplizieren der Faktoren ergibt.
Beachte: Bemerke In Schritt oben, dass, weil der dritte Term negativ ist, ein "+" zwischen den Gruppen eingefügt wurde damit der Ausdruck äquivalent zum ursprünglichen Ausdruck ist. Auch müssen wir in Schritt , ein negative ggT von der zweiten Gruppe ausklammern, damit wir den gemeinsamen Faktor erhalten. Sei vorsichtig mit den Vorzeichen!
Überprüfe dein Verständnis
Wann ist diese Methode nützlich?
Also, klar ist die Methode nützlich, um quadratische Ausdrücke der Form zu faktorisieren, sogar wenn .
Aber es ist nicht immer möglich einen quadratischen Ausdruck dieser Form mit unserer Methode zu faktorisieren.
Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck . Um ihn zu faktorisieren, müssen wir zwei ganze Zahlen finden, die als Produkt ergeben und als Summe ergeben. Versuche, wenn du willst, du wirst keine solche ganzen Zahlen finden.
Daher funltioniert unsere Methode nicht bei , und bei vielen anderen quadratischen Ausdrücken auch nicht.
Es ist aber nützlich sich daran zu erinnern, dass, wenn diese Methode nicht funktioniert, es bedeutet, dass der Ausdruck nicht als faktorisiert werden kann, wobei , , und ganze Zahlen sind.
Warum funktioniert diese Methode?
Will wollen tiefer darin eintauchen, warum diese Methode überhaupt erfolgreich ist. Wir haben hier eine Reihe von Buchstaben, hab' aber bitte Nachsicht mit uns!
Nehmen wir an, dass der allgemeine quadratische Ausdruck faktorisiert werden kann als mit den ganzen Zahlen , , und .
Wenn wir die Klammern ausmultiplizieren, erhalten wir den quadratischen Ausdruck .
Da dieser Ausdruck äquivalent ist zu , müssen die entsprechenden Koeffizienten in den zwei Ausdrücken gleich sein! Dieses ergibt die folgende Beziehung zwischen allen unbekannten Buchstaben:
Nun definieren wir und .
Laut dieser Definition...
und
Und daher sind und die zwei ganzen Zahlen, nach denen wir immer suchen, wenn wir diese Faktorisierungsmethode anwenden!
Der nächste Schritt in der Methode, nachdem wir und gefunden haben, ist den -Koeffizienten entsprechend und aufzuteilen und durch Gruppieren zu faktorisieren.
In der Tat, wenn wir den -Term in aufteilen, sind wir in der Lage das Gruppieren zu benutzen, um unseren Ausdruck zurück in zu faktorisieren.
Als Schlussfolgerung, in diesem Abschnitt ...
- haben wir mit dem allgemeinen ausmultiplizierten Ausdruck
und seiner allgemeinen Faktorisierung begonnen, - waren wir in der Lage zwei Zahlen
und zu finden, so dass und wir taten dies, indem wir und definierten, - teilten wir den
-Term in auf, und konnten den ausmultiplizierten Ausdruck zurück in faktorisieren.
Dieser Prozess zeigt, warum unser Methode, wenn ein Ausdruck in der Tat als faktorisiert werden kann, gewährleistet, dass wir diese Faktorisierung herausfinden.
Vielen Dank, dass du das durchgezogen hast!
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- "Aber es ist nicht immer möglich einen quadratischen Ausdruck dieser Form mit unserer Methode zu faktorisieren." Hat das was mit Primzahlen zutun?(1 Bewertung)