Quadratische Terme faktorisieren: Führende Koeffizient ≠ 1

Lerne, wie man quadratische Terme als das Produkt zweier linearer Binome faktorisiert, zum Beispiel 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Was du wissen musst, bevor du diese Lektion beginnst

Die Gruppierungsmethode kann dazu benutzt werden, um Polynome mit 44 Termen zu faktorisieren, indem du die gemeinsamen Faktor mehrmals ausklammerst. Wenn dies neu ist für dich, wirst du dir unseren Einführung in das Faktorisieren durch Gruppieren-Artikel anschauen wollen.
Wir empfehlen dir auch, dass du dir unseren Artikel über das Faktorisieren von quadratischen Gleichungen mit dem führenden Koeffizienten 1 ansiehst, bevor du fortfährst.

Was du in dieser Lektion lernen wirst

In diesem Artikel benutzen wir das Gruppieren um quadratische Gleichungen mit einem anderen führenden Koeffizienten als 11 zu faktorisieren, wie 2x2+7x+32x^2+7x+3.

Beispiel 1: Faktorisieren von 2x2+7x+32x^2+7x+3

Da der führende Koeffizient von (2x2+7x+3)(\blueD2x^2\goldD{+7}x\purpleC{+3}) gleich 2\blueD 2 ist, können wir nicht die Summen-Produkt-Methode anwenden, um den quadratischen Term zu faktorisieren.
Statt 2x2+7x+3\blueD2x^2\goldD{+7}x\purpleC{+3} zu faktoriseren, müssen wir zwei ganze Zahlen finden, die das Produkt 23=6\blueD2\cdot \purpleC3=6 (der führende Koeffizient mal dem konstanten Term) und die Summe 7\goldD{7} (der xx-Koeffizient) ergeben.
Da 16=6\tealD{1}\cdot \tealD{6}=6 und 1+6=7\tealD{1}+\tealD{6}=7, sind die zwei Zahlen 1\tealD1 und 6\tealD6.
Diese zwei Zahlen sagen uns, wie der xx-Term in dem Originalterm aufgeteilt wird. Daher können wir unser Polynom als 2x2+7x+3=2x2+1x+6x+32x^2+7x+3=2x^2+\tealD 1x+\tealD 6x+3 ausdrücken.
Wir können nun das Gruppieren benutzen um das Polynom zu faktorisieren:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Terme gruppieren=x(2x+1)+3(2x+1)ggT ausklammern=x(2x+1)+3(2x+1)Gemeinsamer Faktor!=(2x+1)(x+3)ausklammern von 2x+1\begin{aligned}&\phantom{=}~~2x^2+1x+6x+3\\\\ &=({2x^2+1x}){+(6x+3)}&&\small{\gray{\text{Terme gruppieren}}}\\ \\ &=x({2x+1})+3({2x+1})&&\small{\gray{\text{ggT ausklammern}}}\\ \\ &=x(\maroonD{2x+1})+3(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Gemeinsamer Faktor!}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+1})(x+3)&&\small{\gray{\text{ausklammern von } 2x+1}} \end{aligned}
Die faktorisierte Form ist (2x+1)(x+3)(2x+1)(x+3).
Wir können unser Ergebnis prüfen, indem wir zeigen, dass das Multiplizieren der Faktoren 2x2+7x+32x^2+7x+3 ergibt.

Zusammenfassung

Im allgemeinen können wir die folgenden Schritte anwenden, um eine quadratische Gleichung der Form ax2+bx+c\blueD ax^2+\goldD bx+\purpleC c zu faktorisieren:
  1. Beginne damit, dass du zwei Zahlen findest, die multipliziert ac\blueD a\purpleC c ergeben und addiert b\goldD b ergeben.
  2. Benutze diese Zahlen um den xx-Term aufzuteilen.
  3. Wende das Gruppieren an, um den quadratischen Ausdruck zu faktorisieren.

Überprüfe dein Verständnis

Beispiel 2: Faktorisieren von 6x25x46x^2-5x-4

Um 6x25x4\blueD6x^2\goldD{-5}x\purpleC{-4} zu faktorisieren, müssen wir erst zwei Zahlen finden, die multipliziert 6(4)=24\blueD6\cdot (\purpleC{-4})=-24 ergeben und die addiert 5\goldD{-5} ergeben.
Da 3(8)=24\tealD3\cdot (\tealD{-8})=-24 und 3+(8)=5\tealD{3}+(\tealD{-8})=-5, sind die Zahlen 3\tealD 3 und 8\tealD{-8}.
Wir können nun den Term 5x-5x als Summe von 3x\tealD 3x und 8x\tealD {-8}x schreiben und das Gruppieren anwenden um das Polynom zu faktorisieren:
= 6x2+3x8x4(1)=(6x2+3x)+(8x4)Terme gruppieren(2)=3x(2x+1)+(4)(2x+1)ggT ausklammern(3)=3x(2x+1)4(2x+1)Vereinfachen(4)=3x(2x+1)4(2x+1)Gemeinsamer Faktor!(5)=(2x+1)(3x4)ausklammern von 2x+1\begin{aligned}&&&\phantom{=}~6x^2+\tealD{3}x\tealD{-8}x-4\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=({6x^2+3x}){+(-8x-4)}&&\small{\gray{\text{Terme gruppieren}}}\\ \\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x({2x+1})+(-4)({2x+1})&&\small{\gray{\text{ggT ausklammern}}}\\ \\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x({2x+1})-4({2x+1})&&\small{\gray{\text{Vereinfachen}}}\\ \\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\maroonD{2x+1})-4(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Gemeinsamer Faktor!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\maroonD{2x+1})(3x-4)&&\small{\gray{\text{ausklammern von } 2x+1}}\\ \end{aligned}
Die faktorisierte Form ist (2x+1)(3x4)(2x+1)(3x-4).
Wir können unser Ergebnis prüfen, indem wir zeigen, dass das Multiplizieren der Faktoren 6x25x46x^2-5x-4 ergibt.
Beachte: Bemerke In Schritt (1)\small{\blueD{(1)}} oben, dass, weil der dritte Term negativ ist, ein "+" zwischen den Gruppen eingefügt wurde damit der Ausdruck äquivalent zum ursprünglichen Ausdruck ist. Auch müssen wir in Schritt (2)\small{\blueD{(2)}}, ein negative ggT von der zweiten Gruppe ausklammern, damit wir den gemeinsamen Faktor 2x+12x+1 erhalten. Sei vorsichtig mit den Vorzeichen!

Überprüfe dein Verständnis

Wann ist diese Methode nützlich?

Also, klar ist die Methode nützlich, um quadratische Ausdrücke der Form ax2+bx+cax^2+bx+c zu faktorisieren, sogar wenn a1a\neq 1.
Aber es ist nicht immer möglich einen quadratischen Ausdruck dieser Form mit unserer Methode zu faktorisieren.
Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck 2x2+2x+1\blueD2x^2\goldD{+2}x\purpleC{+1}. Um ihn zu faktorisieren, müssen wir zwei ganze Zahlen finden, die als Produkt 21=2\blueD{2}\cdot \purpleC{1}=2 ergeben und als Summe 2\goldD{2} ergeben. Versuche, wenn du willst, du wirst keine solche ganzen Zahlen finden.
Daher funltioniert unsere Methode nicht bei 2x2+2x+1\blueD2x^2\goldD{+2}x\purpleC{+1}, und bei vielen anderen quadratischen Ausdrücken auch nicht.
Es ist aber nützlich sich daran zu erinnern, dass, wenn diese Methode nicht funktioniert, es bedeutet, dass der Ausdruck nicht als (Ax+B)(Cx+D)(Ax+B)(Cx+D) faktorisiert werden kann, wobei AA, BB, CC und DD ganze Zahlen sind.

Warum funktioniert diese Methode?

Will wollen tiefer darin eintauchen, warum diese Methode überhaupt erfolgreich ist. Wir haben hier eine Reihe von Buchstaben, hab' aber bitte Nachsicht mit uns!
Nehmen wir an, dass der allgemeine quadratische Ausdruck ax2+bx+cax^2+bx+c faktorisiert werden kann als (Ax+B)(Cx+D)(\blueD Ax+\goldD B)(\greenD Cx+\purpleC D) mit den ganzen Zahlen AA, BB, CC und DD.
Wenn wir die Klammern ausmultiplizieren, erhalten wir den quadratischen Ausdruck (AC)x2+(BC+AD)x+BD(\blueD{A}\greenD{ C})x^2+(\goldD{B}\greenD{ C}+\blueD{A} \purpleC{D})x+\goldD{B}\purpleC{D}.
Da dieser Ausdruck äquivalent ist zu ax2+bx+cax^2+bx+c, müssen die entsprechenden Koeffizienten in den zwei Ausdrücken gleich sein! Dieses ergibt die folgende Beziehung zwischen allen unbekannten Buchstaben:
Nun definieren wir m=BCm=\goldD B\greenD C und n=ADn=\blueD A\purpleC D.
Laut dieser Definition...
  • m+n=BC+AD=bm+n=\goldD B \greenD C+\blueD A\purpleC D=b, und
  • mn=(BC)(AD)=(AC)(BD)=acm\cdot n=(\goldD B\greenD C)(\blueD A\purpleC D)=(\blueD A\greenD C)(\goldD B\purpleC D)=a\cdot c.
Und daher sind BC\goldD B\greenD C und AD\blueD A\purpleC D die zwei ganzen Zahlen, nach denen wir immer suchen, wenn wir diese Faktorisierungsmethode anwenden!
Der nächste Schritt in der Methode, nachdem wir mm und nn gefunden haben, ist den xx-Koeffizienten (b)(b) entsprechend mm und nn aufzuteilen und durch Gruppieren zu faktorisieren.
In der Tat, wenn wir den xx-Term (BC+AD)x(\goldD{B}\greenD{ C}+\blueD{A} \purpleC{D})x in (BC)x+(AD)x(\goldD B \greenD C)x+(\blueD A \purpleC D)x aufteilen, sind wir in der Lage das Gruppieren zu benutzen, um unseren Ausdruck zurück in (Ax+B)(Cx+D)(\blueD Ax+\goldD B)(\greenD Cx+\purpleC D) zu faktorisieren.
Als Schlussfolgerung, in diesem Abschnitt ...
  • haben wir mit dem allgemeinen ausmultiplizierten Ausdruck ax2+bx+cax^2+bx+c und seiner allgemeinen Faktorisierung (Ax+B)(Cx+D)(Ax+B)(Cx+D) begonnen,
  • waren wir in der Lage zwei Zahlen mm und nn zu finden, so dass mn=acmn=ac und m+n=bm+n=b ((wir taten dies, indem wir m=BCm=BC und n=AD)n=AD) definierten,
  • teilten wir den xx-Term bxbx in mx+nxmx+nx auf, und konnten den ausmultiplizierten Ausdruck zurück in (Ax+B)(Cx+D)(Ax+B)(Cx+D) faktorisieren.
Dieser Prozess zeigt, warum unser Methode, wenn ein Ausdruck in der Tat als (Ax+B)(Cx+D)(Ax+B)(Cx+D) faktorisiert werden kann, gewährleistet, dass wir diese Faktorisierung herausfinden.
Vielen Dank, dass du das durchgezogen hast!
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