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Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 15

Lektion 6: Quadratische Terme durch Gruppieren faktorisieren

Faktorisieren durch Gruppieren

Lerne die Faktorisierungsmethode kennen, die "Gruppieren" genannt wird. Zum Beispiel können wir das Gruppieren benutzen, um 2x²+8x+3x+12 als (2x+3)(x+4) zu schreiben.

Was du für diese Lektion wissen musst

Das Faktorisieren eines Polynoms bedeutet, es als ein Produkt von zwei oder mehr Polynomen zu schreiben. Es kehrt den Prozess der Multiplikation von Polynomen um.

Wir haben bereits verschiedene Beispiele des Faktorisierens gesehen. Bei diesem Artikel aber, solltest du vertraut sein mit: Gemeinsame Faktoren bestimmen mit Hilfe des Distributivgesetzes. Zum Beispiel,

6 x^{2} + 4 x = 2 x (3 x + 2)

Was du in dieser Lektion lernst

In diesem Artikel lernst du wie du eine Faktorisierungmethode anwendest, die Gruppieren genannt wird.

Beispiel 1: Faktorisieren von $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Beachte zuerst, dass es keinen gemeinsamen Faktor bei allen Termen von

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12

gibt. Wenn wir aber die ersten zwei Terme und die letzten zwei Terme gruppieren, dann hat jede Gruppe seinen eigenen ggT, oder größten gemeinsamen Teiler:

\underset{erstes Gruppieren}{\underset{⏟}{(2 x^{2} + 8 x)}} + \underset{zweites Gruppieren}{\underset{⏟}{(3 x + 12)}}

Insbesondere gibt es den ggT

2 x

in der ersten Gruppe und dne ggT

3

in der zweiten Gruppe. Wir können diese ausklammern um den folgenden Ausdruck zu erhalten:

2 x (x + 4) + 3 (x + 4)

2 x

aus

2 x^{2} + 8 x

auszuklammern, können wir jeden Term durch

2 x

dividieren:

Der erste Term lautet: $\frac{2 x^{2}}{2 x} = x$ ‍
Der zweite Term lautet: $\frac{8 x}{2 x} = 4$ ‍

Also ist

2 x^{2} + 8 x = 2 x (x + 4)

3

aus

3 x + 12

auszuklammern, können wir jeden Term durch

3

dividieren:

Der erste Term lautet: $\frac{3 x}{3} = x$ ‍
Der zweite Term lautet: $\frac{12}{3} = 4$ ‍

Also ist

3 x + 12 = 3 (x + 4)

Daher folgt, dass

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12 = 2 x (x + 4) + 3 (x + 4)

. Eine schnelle Multiplikationsprüfung kann bestätigen, dass die gemeinsamen Faktoren richtig bestimmt wurden.

Beachte, dass dies noch einen anderen gemeinsamen Faktor der beiden Terme aufdeckt:

x + 4

. Wir können das Distributivgesetz anwenden um diesen gemeinsamen Faktor auszuklammern.

2 x (x + 4) + 3 (x + 4) = (x + 4) (2 x + 3)

Da das Polynom nun als ein Produkt von zwei Binomen ausgedrückt wird, ist es in der faktorisierten Form. Wir können unsere Arbeit prüfen, indem wir ausmultiplizieren und das Ergebnis mit dem ursprünglichen Polynom vergleichen.

Beispiel 2: Faktorisieren von $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Wie wollen zusammenfassen, was oben gemacht wurde, indem wir ein weiteres Polynom faktorisieren.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (4 x + 8) & Terme gruppieren \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & ggTs ausklammern \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Gemeinsamer Faktor! \\ = (x + 2) (3 x + 4) & ausklammern von x + 2 \end{aligned}

Die faktorisierte Form ist

(x + 2) (3 x + 4)

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Faktorisiere $9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8$ ‍.

2) Faktorisiere $5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4$ ‍.

3) Faktorisiere $8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3$ ‍.

Beispiel 3: Faktorisieren von $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍

Aufpassen sollten wir, wenn wir die Gruppierungsmethode benutzen um ein Polynom mit negativen Koeffizienten zu faktorisieren.

Zum Beispiel können die Schritte unten benutzt werden, um

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

zu faktorisieren.

\begin{aligned} 3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 \\ (1) & = (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & Terme gruppieren \\ (2) & = 3 x (x - 2) + (- 4) (x - 2) & ggTs ausklammern \\ (3) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Vereinfache \\ (4) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Gemeinsamer Faktor! \\ (5) & = (x - 2) (3 x - 4) & ausklammern von x - 2 \end{aligned}

Die faktorisierte Form des Polynoms ist

(x - 2) (3 x - 4)

. Wir können die Binome multiplizieren um unser Ergebnis zu prüfen.

Ein paar der oben aufgeführten Schritte scheinen sich von dem zu unterscheiden was du in dem ersten Beispiel gesehen hast, daher hast du vielleicht ein paar Fragen.

Woher kommt das "+"-Zeichen zwischen den Gruppen?

In Schritt

(1)

, wurde ein "+"-Zeichen zwischen den Gruppen

(3 x^{2} - 6 x)

und

(- 4 x + 8)

hinzugefügt. Dies ist so, weil der dritte Term

(- 4 x)

negativ ist, und das Vorzeichen des Terms in der Gruppe enthalten sein muss.

Das Heraushalten des Minuszeichens aus der zweiten Gruppe ist etwas knifflig. Zum Beispiel ist es ein üblicher Fehler

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

als

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8)

zu gruppieren. Diese Gruppierung kann man aber zu

3 x^{2} - 6 x - 4 x - 8

vereinfachen, was nicht das gleiche ist wie der ursprüngliche Ausdruck.

Warum klammern wir $- 4$ ‍ anstatt $4$ ‍ aus?

Bei Schritt

(2)

, klammern wir

- 4

aus um einen gemeinsamen Faktor von

(x - 2)

zwischen den Termen zu erhalten. Wenn wir stattdessen eine positive

4

ausgeklammert hätten, würden wir nicht das gemeinsame Binom, das wir oben sehen, erhalten:

$\begin{aligned} (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & = 3 x (x - 2) + 4 (- x + 2) \end{aligned}$ ‍

Wenn der führende Term in einer Gruppe negativ ist, müssen wir oft einen negativen gemeinsamen Faktor ausklammern.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

4) Faktorisiere $2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ ‍.

5) Faktorisiere $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10$ ‍.

6) Faktorisiere $3 x^{2} + 6 x - x - 2$ ‍.

Challenge Aufgabe

7*) Faktorisiere $2 x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 15$ ‍.

Wann können wir die Gruppieren-Methode anwenden?

Die Gruppierungs-Methode kann benuttzt werden um Polynome zu faktorisieren, wenn ein gemeinsamer Faktor bei den Gruppen vorhanden ist.

Zum Beispiel können wir die Gruppierungs-Methode anwenden, um

3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6

zu faktorisieren, da der Term wie folgt geschrieben werden kann:

$\begin{aligned} (3 x^{2} + 9 x) + (2 x + 6) & = 3 x (x + 3) + 2 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Wir können aber die Gruppierungs-Methode nicht anwenden um

2 x^{2} + 3 x + 4 x + 12

zu faktorisieren, weil das Ausklammern des ggT von beiden Gruppen keinen gemeinsamen Faktor ergibt!

$\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x) + (4 x + 12) & = x (2 x + 3) + 4 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Das Gruppieren benutzen um Trinome zu faktorisieren

Du kannst das Gruppieren auch benutzen, um bestimmte quadratische Ausdrücke mit drei Termen (d.h. Trinome) wie

2 x^{2} + 7 x + 3

zu faktorisieren. Dies ist so, weil wir den Ausdruck wie folgt umschreiben können:

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3$ ‍

Dann können wir das Gruppieren benutzen um

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

als

(x + 3) (2 x + 1)

zu faktorisieren.

Um mehr über das Faktorisieren von quadratischen Trinomen durch die Grupperingsmethode zu erfahren, kannst du dir unseren nächsten Artikel anschauen.

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Algebra 1

Kurs: Algebra 1 > Lerneinheit 15

Was du für diese Lektion wissen musst

Was du in dieser Lektion lernst

Beispiel 1: Faktorisieren von 2x2+8x+3x+12‍

Beispiel 2: Faktorisieren von 3x2+6x+4x+8‍

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Beispiel 3: Faktorisieren von 3x2−6x−4x+8‍

Überprüfe, ob du es verstanden hast

Challenge Aufgabe

Wann können wir die Gruppieren-Methode anwenden?

Das Gruppieren benutzen um Trinome zu faktorisieren

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Beispiel 1: Faktorisieren von $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Beispiel 2: Faktorisieren von $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Beispiel 3: Faktorisieren von $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍