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Quadratische Terme mit zwei Variablen faktorisieren: Gruppieren

Video-Transkript

Wir werden aufgefordert diesen Ausdruck durch die Bildung von Gruppen zu faktorisieren. Sie erwähnen "die Bildung von Gruppen" und wir werden sehen, was das hier bedeutet, und wir werden rasch einsehen, dass diese "Bildung von Gruppen" notwendig ist, um diesen Ausdruck zu faktorisieren. Wenn wir uns diese Terme anschauen, sehen wir, dass alle bis auf einen durch fünf teilbar sind. Also können wir fünf nicht einfach ausklammern. Nicht alle sind durch r oder s teilbar. Dieser ist nur durch r teilbar, dieser nur durch s, dieser durch keins von beiden. Es gibt also keinen gemeinsamen Teiler für all diese vier Terme. Daher müssen wir sie in Gruppen zusammenfassen, die gemeinsame Teiler haben und anschließend schauen, ob das den Ausdruck vereinfacht. Es erfordert etwas Kunstfertigkeit zu erkennen, wann man durch die Bildung von Gruppen faktorisieren kann, doch diese Aufgabe ist sehr klar aufgebaut. Betrachten wir diese beiden Terme hier. Wir haben eine 5rs und eine 25r. Diese beidenTerme haben offensichtlich einen gemeinsamen Teiler. Beide sind durch fünf und durch r teilbar. Falls ich also nur das hier faktorisieren wollte, oder falls ich vorhätte das hier als das Produkt zweier Ausdrücke darzustellen, wie könnte ich das tun? das hier als das Produkt zweier Ausdrücke darzustellen, wie könnte ich das tun? Ich könnte es als das Produkt von 5r mal -- was ist 5rs geteilt durch 5r? Es bleibt nur ein s übrig. Hier steht bloß ein s. Plus -- was sind 25r geteilt durch 5r? 25 durch fünf ist fünf und r durch r ist einfach eins. 25r durch 5r ergibt fünf. Die ersten beiden Terme können in diese beiden Ausdrücke zerlegt werden. Die ersten beiden Terme können in diese beiden Ausdrücke zerlegt werden. Betrachten wir nun die anderen beiden Terme. Sie haben definitiv einen gemeinsamen Teiler. Sie können beide durch -3 oder +3 geteilt werden. Nehmen wir -3. Unser Ziel ist im Grunde dies durch -3 zu teilen, in der Hoffnung etwas zu erhalten, das s+5 ähnelt. Und vielleicht siehst du bereits, dass dies in s+5 zerfallen wird. dass dies in s+5 zerfallen wird. Teilen wir dies also durch -3. Also diese beiden Terme können als -3 mal -- was ist -3s geteilt durch -3? Es bleibt nur s zurück. Und was ist -15 durch -3? Das ist einfach +5. Das ist einfach +5. So einfach haben wir sie zu Gruppen zusammengefasst und diese Gruppen faktorisiert, So einfach haben wir sie zu Gruppen zusammengefasst und diese Gruppen faktorisiert, vielleicht fällt dir etwas auf. Und du kannst stets prüfen, ob du alles richtig gemacht hast, indem du multiplizierst. 5r mal s+5 und -3 mal s+5, ergibt genau das hier. Aber etwas könnte dir bereits ins Auge gesprungen sein. Wir haben 5r mal s+5. Und wir haben -3 mal s+5. Also in diesem Ausdruck haben wir zwei Terme anstatt vier -- richtig? -- das ist einer, das auch. Und beide haben s+5 als gemeinsamen Teiler, was es uns erlaubt s+5 heraus zu faktorisieren. s+5 heraus zu faktorisieren. Wir können den gesamten Ausdruck zu s+5 mal 5r umformen. Stimmt's? zu s+5 mal 5r umformen. Stimmt's? Wenn du 5r mal s+5 nimmst und durch s+5 teilst, bleibt nur 5r. Wenn du 5r mal s+5 nimmst und durch s+5 teilst, bleibt nur 5r. Und ebenso gilt für -3 mal s+5, dass wenn du s plus 5 heraus faktorisierst bzw. dadurch teilst, nur -3 bleibt, genau so. Und damit sind wir fertig! Wir haben diesen Ausdruck durch die Bildung von Gruppen faktorisiert. Das ergibt s+5 mal 5r-3. Und du kannst das überprüfen, indem du multiplizierst. Wenn du jeden dieser Terme mit s+5 muliplizierst, erhältst du diesen Ausdruck hier und wenn du auch noch mal 5r rechnest, erhältst du diesen Ausdruck. wenn du auch noch mal 5r rechnest, erhältst du diesen Ausdruck. Wenn du die -3 verteilst, erhältst du diesen Ausdruck. Wenn du die -3 verteilst, erhältst du diesen Ausdruck. Folglich lässt sich das hierzu vereinfachen und wir haben es faktorisiert.