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Video-Transkript

"Das unten abgebildete Rechteck hat einen Flächeninhalt von 12x^4 plus 6x^3 plus 15x^2 Quadratmetern." 12x^4 plus 6x^3 plus 15x^2 Quadratmetern." Wir sehen eine Darstellung davon hier, welche aufgegliedert wurde; dieser grüne Bereich ist 12x^4, dieser lilane Bereich ist 6x^3, und dieser blaue Bereich steht für 15x^2. Wenn man sie zusammenzählt, erhält man dieses Rechteck, welches der Fläche von 12x^4 plus 6x^3 plus 15x^2 entspricht. Die Länge des Rechtecks in Metern, also diese Länge oder Entfernung hier. also diese Länge oder Entfernung hier. also diese Länge oder Entfernung hier. Die Länge des Rechtecks (in Metern) ist gleich dem größten gemeinsamen monomialen Teiler von 12x^4, 6x^3 und 15x^2. Was sind die Länge und Breite des Rechtecks?" Ich empfehle dir das Video anzuhalten und zu versuchen, das selbstständig zu lösen. Nun, der Schlüsselpunkt hier ist zu verstehen, dass die Länge mal der Breite dieser Fläche hier entspricht. Und wenn die Länge dem größten gemeinsamen monomialen Teiler der Terme 12^4, 6x^3 und 15x^2 entspricht, der Terme 12^4, 6x^3 und 15x^2 entspricht, also dann können wir diese ausklammern und was übrig bleibt wird der Breite entsprechen. Also lasst uns den größten gemeinsamen monomialen Teiler dieser Terme berechnen. Und das Erste, das wir uns anschauen sind die Koeffizienten. Lasst uns überlegen, was der größte gemeinsame Teiler von 12, sechs und 15 ist. Und hierfür gibt es mehrere Wege. Man könnte es mithilfe von Primfaktorzerlegung versuchen. Man könnte sagen, also 12 ist zwei mal sechs, was zwei mal drei ist. Das ist die Primfaktorzerlegung von 12. Die Primfaktorzerlegung von sechs ist nur zwei mal drei. Die Primfaktorzerlegung von 15 ist drei mal fünf. Und somit entspricht der größte gemeinsame Teiler, dem größten Teiler durch den man alle teilen kann, also, versuchen wir die drei. Alle sind durch drei teilbar. Und sonst nichts weiter. So lassen sich 12 und sechs z.B. durch drei und zwei teilen, jedoch nicht 15. Wir können auch nicht drei und fünf sagen, da 12 oder sechs nicht dadurch teilbar sind. Somit ist der größte gemeinsame Teiler drei. Eine andere Herangehensweise wäre zu fragen: In welche Nicht-Primzahlen lassen sich diese Zahlen zerlegen?" Bei 12 hätte man sagen können, man erhält 12 indem man ein mal 12 rechnet oder zwei mal sechs oder drei mal vier. Bei sechs hätte man, mal sehen, das könnte ein mal sechs oder zwei mal drei sein. Das sind also die Teiler von sechs. Und bei 15 hätte man ein mal 15 oder drei mal fünf rechnen können. Und deshalb sagt man, dass der größte gemeinsame Teiler, Also drei ist die größte hier aufgelistete Zahl, die alle diese Teiler gemeinsam haben. Also noch einmal: Der größte gemeinsame Teiler von 12, sechs und 15 ist drei. Wollen wir also den größten gemeinsamen monomialen Teiler wissen, wäre dessen Koeffizient drei. Und dann schauen wir uns die Potenzen von x an. Wir haben x^4. Ich benutze eine andere Farbe. Wir haben x^4, x^3 und x^2. Also was ist die höchste Potenz von x, durch die sich diese alle teilen lassen? Das ist x^2. x^4 ist durch x^2 teilbar, x^3 auch und natürlich auch x^2 selbst. Somit ist der größte gemeinsame monomiale Teiler 3x^2. Diese Länge hier ist 3x^2. Und wenn das 3x^2 ist, können wir die Breite ermitteln. Würden wir 12x^4 durch 3x^2 teilen, was würden wir erhalten? Also 12 durch drei ist vier und x^4 durch x^2 ist x^2. Beachte, 3x^2 mal 4x^2 ergibt 12x^4. Gehen wir zu diesem lilanen Abschnitt über. Teilen wir 6x^3 durch 3x^2, sechs durch drei ist zwei, und x^3 durch x^2 ist bloß x. Und zu guter Letzt, teilen wir 15 durch drei, was fünf ist. Und x^2 durch x^2 ist einfach eins, also steht hier einfach fünf. Somit entspricht die Breite 4x^2 plus 2x plus 5. Nochmal, die Länge, wir haben gelernt, ist der größte gemeinsame monomiale Teiler dieser Terme. Also 3x^2. Und die Breite entspricht 4x^2 plus 2x plus fünf. Und eine Möglichkeit sich das vorzustellen ist, dass wir diese Terme hier zerlegt haben. Wir könnten schreiben. Ich werfe noch einen Blick auf das Original. Wir könnten schreiben, 3x^2 mal (4x^2 plus 2x plus fünf), (4x^2 plus 2x plus fünf), was der gesamten Breite entspricht, wird gleich dieser Fläche sein. Das wird unserem Ursprungsterm entsprechen: 12x^4 plus 6x^3 plus 15x^2.