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Beispielaufgabe: Berechnen von Ausdrücken mit Hilfe der Struktur

Video-Transkript

Ich werde jetzt ein paar klassische Probleme lösen, die oft in Mathematikwettbewerben und manchmal in standardisierten Tests vorkommen. Sie wirken recht einschüchternd. Aber in diesem Video wirst du hoffentlich feststellen, dass sie gar nicht so schwer sind. dass sie gar nicht so schwer sind. Beginnen wir mit dem ersten hier drüben. Man sagt uns, a plus b ist gleich 7. Und sie fragen uns, was gleich 5a plus 5b plus 5c ist. Und die erste Reaktion wäre, ich habe hier eine Gleichung mit drei Unbekannten, ich habe hier eine Gleichung mit drei Unbekannten, wie soll ich so nach a, b oder c auflösen? Muss ich nicht nach a, b oder c auflösen können, um herauszufinden, was 5a plus 5b plus 5c ist? Denke mal kurz darüber nach. Denke mal kurz darüber nach. 5a plus 5b plus 5c, das ist das gleiche wie 5 mal a plus b plus c. Wenn du die 5 verteilst, dann bekommst du 5a plus 5b plus 5c. Wenn du die 5 verteilst, dann bekommst du 5a plus 5b plus 5c. Wir klammern also 5 aus. Wenn du 5 ausklammerst, bleibt 5 mal a plus b plus c übrig. Und wie rechnen wir das aus? Nun, die erste Gleichung hat alles, was wir brauchen. Nun, die erste Gleichung hat alles, was wir brauchen. Sie sagen us, dass a plus b plus c gleich 7 ist. Sie sagen us, dass a plus b plus c gleich 7 ist. Und 5 mal a plus b plus c ist genau das gleiche. Und du siehst, wo das hinführen wird. 5 mal 7, und damit wird das sehr einfach. Das ist gleich 35. Lass uns noch eine davon machen. Und dieses mal ein wenig komplizierter, aber du siehst hoffentlich das gleiche Konzept. aber du siehst hoffentlich das gleiche Konzept. A plus b plus c ist gleich minus 1. Und wir haben hier zwei weitere Variablen. x plus z ist gleich 7. Und dann fragen sie uns, was gleich dieser großen, haarigen Gleichung ist. Und dann fragen sie uns, was gleich dieser großen, haarigen Gleichung ist. Und ich gebe dir ein paar Sekunden, um darüber nachzudenken. um darüber nachzudenken. Wir haben drei Variablen in einer Gleichung hier, und zwei weitere Variablen in einer anderen Gleichung. Wir haben fünf Unbekannte mit zwei Gleichungen. Wir können unmöglich einzeln herausfinde, was a, b, c, x oder y ist. Aber vielleicht können wir es ähnlich lösen, wie im vorherigen Beispiel. Aber vielleicht können wir es ähnlich lösen, wie im vorherigen Beispiel. Und wir sollten es vielleicht umsortieren, um die x und y zu gruppieren. Und wir sollten es vielleicht umsortieren, um die x und y und die a und b und c zusammenzulegen. Lass uns das versuchen. Zunächst die a, b und c. Wir haben minus 9a, minus 9b, minus 9c. Wir haben minus 9a, minus 9b, minus 9c. Wir haben minus 9a, minus 9b, minus 9c. Und jetzt die x und y. Und wir haben minus 7x, minus 7x und minus 7y. Und wir haben minus 7x, minus 7x und minus 7y. Ich das einfach nur umgestellt. Aber das macht es etwas deutlicher. Aber das macht es etwas deutlicher. Aus den ersten drei kann ich eine minus 9 ausklammern und bekomme minus 9 mal a plus be plus c. Aus den ersten drei kann ich eine minus 9 ausklammern und bekomme minus 9 mal a plus be plus c. Und aus diesen beiden, kann ich 7 ausklammern und bekomme 7 mal x plus y. Und aus diesen beiden, kann ich 7 ausklammern und bekomme 7 mal x plus y. Und wenn du es andersherum machen möchtest, diese minus 7 mal x plus y, bekommst du das. Multipliziere minus 9 mal a plus b plus c und verteile sie, dann bekommst du das hier drüben. Multipliziere minus 9 mal a plus b plus c und verteile sie, dann bekommst du das hier drüben. Das macht es etwas deutlicher. Was ist a plus b plus c? Nun, das bekommen wir hier. a plus b plus c ist gleich minus Nun, das bekommen wir hier. a plus b plus c ist gleich minus Dieser Ausdruck ist gleich minus 1 Dieser Ausdruck ist gleich minus 1 Und was ist x plus y? Lass mich das in einer anderen Farbe zeichnen. Was ist x plus y? Das bekommen wir hier. x plus y ist gleich 7. Das hier vereinfacht sich zu minus 9 mal minus 1 minus 7 mal 7. Das hier vereinfacht sich zu minus 9 mal minus 1 minus 7 mal 7. Und das ist gleich minus 9 mal minus 1. Und das ist gleich minus 9 mal minus 1. Das ist gleich 9. Und dann minus 7 mal 7 ist gleich minus 49. Damit ist es 9 minus 49 und das ist gleich minus 40. Und damit sind wir fertig. Und damit sind wir fertig.