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Ungleichungen mit Variablen auf beiden Seiten

Video-Transkript
Die Aufgabe lautet, nach p aufzulösen. Unsere Ungleichung ist: - 3p minus 7 ist kleiner als p plus 9. Unsere Ungleichung ist: - 3p minus 7 ist kleiner als p plus 9. Wir wollen das p auf einer Seite der Ungleichung isolieren. Wir wollen das p auf einer Seite der Ungleichung isolieren. Idealerweise auf der linken Seite, da es so einfacher zu lesen ist. Idealerweise auf der linken Seite, da es so einfacher zu lesen ist. Das muss aber nicht sein. Um anzufangen eliminieren wir das p auf der rechten Seite. Um anzufangen eliminieren wir das p auf der rechten Seite. Dazu subtrahieren wir p von der linken Seite. Dazu subtrahieren wir p von der linken Seite. Damit dabei die Ungleichung wahr bleibt, Damit dabei die Ungleichung wahr bleibt, müssen wir den gleichen Schritt auch auf der linken Seite machen. müssen wir den gleichen Schritt auch auf der linken Seite machen. Also subtrahieren wir p auch von der linken Seite. - 3p minus p ergibt - 4. Die minus 7 bleiben stehen-- und sind kleiner als-- p minus p. Das hebt sich auf-- - 3p minus 7 sind also kleiner als 9. Als Nächstes werden wir die minus 7 los. Als Nächstes wollen wir die minus 7 loswerden. So können wir das p auf der linken Seite einfacher isolieren. So können wir das p auf der linken Seite einfacher isolieren. Eine einfache Methode dafür ist, auf beiden Seiten sieben zu addieren. Links wird sich diese 7 dann aufheben. -7 plus 7 hebt sich auf. -7 plus 7 hebt sich auf. Übrig bleibt - 4p. Auf der rechten Seite rechnen wir 9 plus 7, das ergibt 16. Nun steht dort - 4 p ist kleiner als 16. Zuletzt teilen wir durch - 4, Damit eliminieren wir den negativen Koeffizienten 4. Wir teilen beide Seiten durch minus 4. Wir teilen beide Seiten durch minus 4. Wir teilen beide Seiten durch minus 4. Wir teilen beide Seiten durch minus 4. Links heben sich diese zwei Werte auf, und p bleibt übrig. Jetzt die rechte Seite. Aufgepasst: Wenn du bei Ungleichungen multiplizierst oder dividierst, dann Aufgepasst: Wenn du bei Ungleichungen multiplizierst oder dividierst, dann drehe das Ungleichheitszeichen um. drehe das Ungleichheitszeichen um. drehe das Ungleichheitszeichen um. Hier wird aus dem kleiner als ein größer als. minus 4 dividiert durch minus 4 hebt sich auf. Es bleibt p übrig. Nun steht dort: p ist größer als 16 dividiert durch minus 4. 16 dividiert durch minus 4 ergibt - 4. Zeichnen wir dies auf, um ein Gefühl für die Beziehung zu bekommen. Zeichnen wir dies auf, um ein Gefühl für die Beziehung zu bekommen. Zeichnen wir dies auf, um ein Gefühl für die Beziehung zu bekommen. Hier steht -5, -4, -3 -2, -1, 0. Und 1 Wir könnten auch noch weitere Zahlen aufschreiben. p ist nicht enthalten. Wir habe kein "größer gleich". Dass heißt, wir beziehen - 4 nicht mit ein. p ist größer als - 4. Damit sind alle Werte darüber gemeint. - 3,9999999999 würde stimmen. Aber -4 würde nicht funktionieren. Setzen wir weitere Werte ein. Kann p gleich -3 sein? Ja. Es liegt in unserer Ergebnismenge. p gleich -3 ist größer als -4. Probieren wir dies aus, indem wir -3 in die Ungeleichung einsetzen. Wir haben dann -3 mal -3 --dies ist die erste minus 3 und dann setzen wir für p -3 ein-- minus 7. Dies sollte nun weniger sein als --wir setzen wieder - 3 ein-- sollte weniger sei als - 3 plus 9. - 3 mal - 3 ergibt 9. 9 minus 7 ergibt 2. - 3 plus 9 ergibt 6. 2 sollte weniger sein als 6. Das stimmt. Probieren wir es nun mit einem Wert, der nicht funktionieren kann. Wir setzen für p nun - 5 ein. - 5 liegt nicht in unserer Ergenismenge. Es sollte also nicht funktionieren. Wir haben also - 3 mal - 5, also minus 7. Rechnen wir aus, ob es weniger als - 5 plus 9 ist. - 3 mal - 5 ist 15, minus 7. Dies sollte nicht kleiner sein als - 5 plus 9. Rechnen wir es aus. 15 minus 7 ergibt 8. Wir erhalten 8 ist weniger als 4. Das stimmt nicht. Also funktioniert - 5 nicht. Genau wie es unsere Ergebnismenge zeigt. Um ganz sicher zu gehen, probieren wir auch den Grenzpunkt aus. Um ganz sicher zu gehen, probieren wir auch den Grenzpunkt aus. - 4 sollte nicht funktionieren, die Aufgabe jedoch ausgleichen. - 4 sollte nicht funktionieren, die Aufgabe jedoch ausgleichen. Das bedeutet, dass - 3p minus 7 gleich p plus 9 sein sollte. Das bedeutet, dass - 3p minus 7 gleich p plus 9 sein sollte. Das bedeutet, dass - 3p minus 7 gleich p plus 9 sein sollte. Die rechte Gleichung wird durch - 4 erfüllt. Die Ungleichung wird jedoch nicht erfüllt. Der gleiche Wert kann nicht kleiner sein als er gleiche Wert. Schauen wir, ob - 4 die rechte Gleichung erfüllt. Schauen wir, ob - 4 die rechte Gleichung erfüllt. Schauen wir, ob - 4 die rechte Gleichung erfüllt. - 3 mal - 4 minus 7, sollte gleich groß sein, wie -4 plus 9. Das ist 12 minus 7 ist gleich -4 plus 9. Das ist richtig. Das ist richtig. 5 ist gleich 5. - 4 erfüllt also die Gleichung, jedoch nicht die Ungleichung - 4 erfüllt also die Gleichung, jedoch nicht die Ungleichung Setzt man - 4 in die Ungleichung ein-- Setzt man minus 4 in die Ungleichung ein-- Ich entferne hier alle Gleichheitszeichen. Ich entferne hier alle Gleichheitszeichen. Wir wandeln dies wieder in die ursprüngliche Ungleichung um. Dann sieht es so aus. Wir habe hier nun "kleiner als" stehen. Nun steht dort 5 ist weniger als 5, was nicht richtig ist. Das stimmt mit unserer Ergebnismenge überein. Das stimmt mit unserer Ergebnismenge überein. - 4 könnte man nur miteinbeziehen, wenn dort "größer gleich" stehen würde. - 4 könnte man nur miteinbeziehen, wenn dort "größer gleich" stehen würde. - 4 könnte man nur miteinbeziehen, wenn dort "größer gleich" stehen würde. Es ist gut, dass es nicht funktioniert, da - 4 nicht in unserer Ergebnismenge liegt. Es ist gut, dass es nicht funktioniert, da - 4 nicht in unserer Ergebnismenge liegt. - 4 kann man als Grenzpunkt sehen.