Einführung in Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten

Versuchen wir, eine etwas schwierigere Gleichung zu lösen. Angenommen wir haben 2x plus 3, 2x plus 3 ergibt ergibt 5x minus 2. Aufs Erste sieht das vielleicht ein bisschen einschüchternd aus. Auf beiden Seiten der Gleichung haben wir x. Wir addieren und subtrahieren Zahlen. Wie löst man dieses Problem? Wir werden das auf verschiedene Arten machen. Wichtig ist, dass wir versuchen, das x zu isolieren. Sobald das x alleine auf einer Seite der Gleichung steht, hat man x ist gleich irgendwas. oder irgendwas ist gleich x. Damit ist man fertig,- Gleichung gelöst. Man kann tatsächlich zurück gehen um zu überprüfen ob das funktioniert, also Was wir machen sind nur ein paar Rechenoperationen auf beiden Seiten der Gleichung, um das x zu isolieren. Aber wenn wir das machen, möchte ich, dass ihr euch vorstellt was passiert. Ich möchte nicht, dass ihr einfach Regeln oder Schritte zum Lösen von Gleichungen heruntersagt. Und ich habe vergessen, ob das erlaubt oder nicht erlaubt ist. Wenn man sich vorstellt was passiert, wird tatsächlich der Hausverstand sagen, was erlaubt ist. Also, versuchen wir es uns vorzustellen. Also wir haben 2x gleich hier auf der linken Seite der Gleichung. Also das sind buchstäblich x plus x. und dann haben wir plus 3. Plus 3, also ich mach's so. So das ist das gleiche wie plus 1, plus 1, plus 1. Das ist das Gleiche wie 3. Ich hätte hier auch 3 Kreise zeichnen können. Machen wir das in der selben Farbe. Plus 3. Und dann ist das gleich 5 x. Wir machen das in Blau. Das ist gleich 5x. Also 1, 2, 3, 4, 5. Und ich möchte klarstellen: Ihr müsst das nicht wirklich so aufschreiben, wenn ihr ein Beispiel löst. Ihr müsst nur die algebraischen Schritte durchführen. Aber ich mache das um zu veranschaulichen was diese Gleichung aussagt. Die linke Seite ist diese zwei orangen x plus 3. Die rechte Seite ist 5x minus 2. Also minus 2 können wir schreiben als, - lasst mich das in einer anderen Farbe machen, ich mache es in pink. Also, minus 2, schreibe ich als minus 1 und minus 1. Jetzt wollen wir die x auf einer Seite der Gleichung isolieren. Also, wie könnten wir das machen? Es gibt zwei Möglichkeiten. Wir könnten diese beiden x auf beiden Seiten der Gleichung abziehen. Und das würde auch Sinn machen. Denn dann hättest du 5x minus 2x. Du hättest eine positive Zahl von x auf der rechten Seite. Oder du könntest auf beiden Seiten 5x abziehen. Und das ist das Schöne an Algebra. So lange du erlaubte Rechenoperationen durchführst, wirst du auf das richtige Ergebnis kommen. Also, fangen wir an und subtrahieren 2 x auf beiden Seiten der Gleichung. Was ich damit meine ist, wir entfernen 2x auf der linken Seite. Und wenn wir auf der linken Seite 2x entfernen, dann müssen wir auch auf der rechten Seite 2x entfernen. Einfach so. Was ergibt das nun. Wir subtrahieren 2 x. 2x von Links. Und wir ziehen auch auf der rechten Seite 2x ab. Also, auf was wird die linke Seite vereinfacht? Wir haben 2x plus 3 minus 2x. Die 2x heben sich auf. Also bleiben nur, - es bleiben nur die 3. Und du siehst das hier. Wir haben 2 von diesen x weggenommen. Wir haben nur noch die plus 1, plus 1, plus 1. Und dann haben wir auf der rechten Seite 5x minus 2x. Das haben wir hier. Wir haben 5x minus 2x. Du hast nur noch 1, 2, 3 x übrig. 3 ist gleich 3x. Und dann hast du die minus 2 dort. Du hast die minus 2. Also, normalerweise wenn du so ein Beispiel löst, müsstest du nur nur das schreiben, was wir hier auf der linken Seite schreiben. Also, was können wir als nächstes machen? Denkt daran, wir wollen die x isolieren. Gut, wir haben alle unsere x hier auf der rechten Seite. Wenn wir noch diese Minus 2 hier weg bekommen könnten, weg von der rechten Seite, dann wären die x hier alleine. Sie wären isoliert. Also wie können wir diese Minus 2 hier los werden, wenn wir uns das hier vorstellen. Diese Minus 1 und diese Minus 1. Gut, wir könnten 2 auf beiden Seiten der Gleichung addieren. Aufpassen, was hier passiert. Wenn wir also 2 addieren Plus 1, plus 1. Also könnte man buchstäblich sehen. Wir addieren 2. Und dann geben wir 2 auf der linken Seite dazu. 1 plus, 1 plus. Was passiert? Lasst mich das auch hier machen. Also wir addieren 2. Wir geben 2 dazu. Also, was passiert auf der linken Seite? 3 plus 2 ist das gleiche wie 5. Und das ist das gleiche wie 3x minus 2 plus 2. Das hebt sich auf. Und wir haben nur noch 3x. Und wir sehen das hier. Wir haben auf der linken Seite 1 plus 1 plus 1 plus 1 plus 1. Wir haben 5 Einsen, oder 5. Und auf der rechten Seite haben wir 3x, gleich hier. Und dann haben wir die Minus 1, Minus 1. Plus 1, plus 1, die heben sich auf. Wir kommen auf Null. Sie heben sich auf. Also bleibt uns nur noch 5 ist gleich 3x. Also wir haben 1, 2, 3, 4, 5 ist gleich 3x. Lasst mich alles weglöschen, was wir weggebracht haben, damit das ein bisschen sauberer aussieht. Das haben wir alles weggebracht. Ich lösche das weg. Und dann lösche ich das weg. Bearbeiten. Löschen. So, jetzt bleiben nur noch 1, 2, 3, 4, 5. Eigentlich möchte ich das hierhin verschieben. Also, ich könnte das einfach hier hin verschieben. Wir haben jetzt 1, 2, 3, 4, 5. Das sind die Zwei, die wir hier addiert haben ist gleich 3x. Die hier haben sich aufgehoben. Deshalb haben wir hier nichts. Jetzt, um das zu lösen, dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch 3. Und das lässt sich ein bisschen schwer veranschaulichen. Aber, wenn wir wenn wir hier beide Seiten durch 3 dividieren, was bekommen wir? Wir dividieren die linke Seite durch 3. Wir dividieren die rechte Seite durch 3. Der Grund warum wir durch 3 dividieren ist, weil die x mit 3 multipliziert wurden. 3 ist der Koeffizient von x. Cooles Wort, es bezeichnet aber nur die Zahl mit der die Variable multipliziert wird. Die Zahl, die wir als Lösung suchen, die Variable für die wir eine Lösung suchen. Also, diese 3 heben sich auf. Die rechte Seite der Gleichung ist einfach nur x. Die linke Seite der Gleichung ist 5/3. Also 5/3, wir könnten sagen x ist gleich 5/3. Und das ist anders als alles was wir bis jetzt hatten. Ich habe jetzt das x auf der rechten Seite, den Wert auf der linken Seite. Das ist überhaupt kein Problem. Das ist genau das Gleiche; 5/3 ist gleich x ist genau das Gleiche wie x ist gleich 5/3. Genau das Gleiche. Genau das Gleiche. Diese Schreibweise ist üblicher, aber das ist genau das Gleiche. Jetzt, wenn wir das als gemischte Zahl schreiben wollen, wenn wir das als gemischte Zahl schreiben wollen, 3 geht in 5 ein Mal, 2 Rest. Also ist das 1 2/3. Also ist das 1 2/3. Also, wir können schreiben x ist gleich 1 2/3. Und ich überlasse es euch, wieder rück-einzusetzten in die ursprüngliche Gleichung. Um zu sehen das es stimmt. Nun, um das hier zu veranschaulichen, wie haben wir 1 2/3 bekommen, überlegen wir kurz. Statt 1, mache ich hier Kreise, Ich mache Kreise. Eigentlich noch besser, ich mache Quadrate. Also ich habe 5 Quadrate auf der linken Seite. Ich mache es mit der gleichen gelben Farbe hier. Also, ich habe 1, 2, 3, 4, 5. Und das ist das gleiche wie 3x. x plus x plus x. Jetzt dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch 3. Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch 3. Eigentlich ist das das, was wir hier gemacht haben, wir haben beide Seiten durch 3 dividiert. Also auf der rechten Seite geht das ganz einfach. Du willst diese 3 x in 3 Guppen teilen. Das sind 1, 2, 3 Gruppen. 1, 2, 3 Jetzt, wie kann ich 5 durch drei teilen? in gleiche Teile Und das müssen gleiche Gruppen sein. Und die Antwort gibt uns das vor. Jede Gruppe wird 1 2/3 haben. Also, 1 2/3. Also, es sind 2/3 von dem nächsten hier. Und dann haben wir 1 2/3. Also, das ist 1/3. Wir brauchen also noch eines. und noch ein ganzes, also das ist 1 1/3 Wir brauchen also noch einmal 1/3, das wird genau hier sein. und dann bleiben noch 2/3 und 1 Ganzes übrig. Also haben wir das in 3 Gruppen geteilt. Hier. Lasst mich das klar darstellen. Das hier ist 1 und 2/3. 1 2/3. Und dann das hier ist 1/3. Das ist noch einmal 1/3, das sind also zusammen 2/3, und dann das hier ist 1. Also das ist 1 2/3. Und schlussendlich das ist 2/3 und das ist 1, also das ist 1 2/3. Also, wenn du beide Seiten durch 3 dividierst bekommst du 1 2/3. Jeder Abschnitt, jede Gruppe ist 1 2/3 auf der linken Seite. Auf der linken Seite, oder 5/3. Und auf der rechten Seite haben wir nur ein x. Also, es funktioniert. Ein bisschen schwieriger das mit Brüchen zu veranschaulichen.