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Textaufgabe zu linearen Modellen: Murmeln

Sal löst eine Textaufgabe über eine Person, die einen Glastank mit Murmeln füllt. Für die Lösung muss er diese Situation als lineare Funktion modellieren.

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Video-Transkript

William hat einen 26-Liter Glasbehälter. Er möchte zunächst einige Murmeln hineingeben, alle mit demselben Volumen. Dann möchte er den Behälter mit Wasser befüllen, bis er komplett voll ist. Wenn er 85 Murmeln hineingibt, muss er 20,9 Liter Wasser hinzufügen. Wenn er 85 Murmeln hineingibt, muss er 20,9 Liter Wasser hinzufügen. Welches Volumen hat jede einzelne Murmel? Nun, fangen wir mal an. Das Volumen der Murmeln plus das Volumen vom Wasser werden gleich dem Behältervolumen sein. Sie füllen den Behälter auf. Notieren wir uns das. Für das Volumen schreiben wir V, V und ich schreibe als Index ein kleines m. Das ist das Murmelvolumen, plus das Wasservolumen plus das Wasservolumen ist gleich dem Behältervolumen. ist gleich dem Behältervolumen. Wir wissen nicht, was das Volumen von 85 Murmeln ist, Wir wissen nicht, was das Volumen von 85 Murmeln ist, wir wissen aber, dass das hier 85 mal dem Volumen einer Murmel entspricht. 85 mal dem Volumen einer Murmel entspricht. Das ist also das Volumen aller Murmeln, ich schreibe das hier aus, "Volumen einer Murmel", "Volumen einer Murmel", "Volumen einer Murmel", Ich hätte eine Variable nehmen können, aber, nur um es klar zu machen, 85 mal das Volumen einer Murmel, das ist das komplette Murmelvolumen, plus das Wasservolumen, das Wasservolumen ist gegeben, 20,9 Liter Wasser, plus 20,9 ist gleich dem Volumen des ganzen Behälters. Es ist ein 26-Liter-Behälter, also ist es gleich 26. Das Wichtige hier ist, dass er den ganzen Behälter befüllen will. Er gibt einige Murmeln mit bestimmtem Volumen hinein und füllt den Rest mit Wasser auf. Diese beiden Volumen ergeben zusammen das komplette Behältervolumen. Wir können nach dem Volumen von 1 Murmel auflösen. Wir können nach dem Volumen von 1 Murmel auflösen. Nennen wir diese Variable jetzt einfach m, Nennen wir diese Variable jetzt einfach m, Nennen wir diese Variable jetzt einfach m, für das Volumen einer Murmel. Wir erhalten also 85 mal m, Wir erhalten also 85 mal m, am besten in einer Farbe, um Zeit zu sparen, plus 20,9 ist gleich 26. Um nach m aufzulösen, können wir 20,9 von beiden Seiten abziehen. Also 20,9 von beiden Seiten abziehen, Also 20,9 von beiden Seiten abziehen, und das ergibt, 85 mal das Volumen einer Murmel mal sehen, 26 minus 21 ergäbe 5, mal sehen, 26 minus 21 ergäbe 5, das ergibt dann 5,... Das ergibt dann 5,1, Das ergibt dann 5,1, oder das Volumen jeder Murmel, wenn wir beide Seiten durch 85 teilen, ist 5,1 Liter durch 85. Dazu benutzen wir hier einfach den Taschenrechner. Dazu benutzen wir hier einfach den Taschenrechner. Das ist hier erlaubt. Also: 5,1 geteilt durch 85, Also: 5,1 geteilt durch 85, ist gleich 0,06 Liter. ist gleich 0,06 Liter. Was ist das Volumen jeder Murmel? Wir haben dafür gerade 0,06 herausbelommen. Wie viel Wasser ist jetzt nötig, wenn William 200 Murmeln benutzt? Schauen wir´s uns an. Wie viel Wasser wäre nötig? Wir sagen, W stellt die Menge nötigen Wassers dar. Wir sagen, W stellt die Menge nötigen Wassers dar. Das wird eine Funktion der Anzahl der Murmeln. Wenn man keine Murmeln hat, Wenn man keine Murmeln hat, muss man 26 Liter einfüllen, den ganzen Glasbehälter. muss man 26 Liter einfüllen, den ganzen Glasbehälter. Das ist also gleich 26, minus dem Murmelvolumen. Was ist nun das Murmelvolumen? Nun, es ist das Volumen jeder Murmel, also 0,06 mal Anzahl der Murmeln, die man hat. also 0,06 mal Anzahl der Murmeln, die man hat. also 0,06 mal Anzahl der Murmeln, die man hat. Wir haben hier eine lineare Funktion beschrieben, die uns sagt, wie viel Wasser wir einfüllen müssen, als Funktion von Anzahl der Murmeln. Das ist Behältervolumen minus Murmelvolumen. Und das Murmelvolumen ist das Volumen pro Murmel mal Anzahl der Murmeln. Die Frage hier ist, wieviel Wasser wird mit 200 Murmeln benötigt. Das wäre W, die Wassermenge, die wir als Funktion der Murmeln einfüllen müssen. Die Murmelanzahl ist nun 200. Das ist gleich 26 minus 0,06 mal 200. Das ist gleich 26 minus 0,06 mal 200. Das ist gleich 26 minus 0,06 mal 200. Was ergibt das nun? 6/100 mal 100 wäre 6, 6/100 mal 100 wäre 6, 6/100 mal 100 wäre 6, aber wir multiplizieren mit 200, aber wir multiplizieren mit 200, also ist das hier gleich 12. also ist das hier gleich 12. Und 26 minus 12 ergibt 14. All das hier ist gleich 14. Wie viel Wasser ist also nötig, wenn William 200 Murmeln benutzt? 14 Liter Wasser. 26 minus 0,06 mal 200.