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Textaufgabe zu linearen Modellen: Buch

Sal löst eine Textaufgabe über eine Person, die ein Buch liest. Für die Lösung muss er diese Situation als lineare Funktion modellieren.

Video-Transkript

Naoya las ein Buch vom Anfang bis zum Ende, mit einer Geschwindigkeit von 55 Seiten pro Stunde. mit einer Geschwindigkeit von 55 Seiten pro Stunde. Nach 4 Stunden musste er noch 330 Seiten lesen. Nach 4 Stunden musste er noch 330 Seiten lesen. Wie viele Seiten hat das ganze Buch, und wie lange brauchte Naoya, um das ganze Buch zu lesen? Wir haben hier mehrere Möglichkeiten, um die Aufgabe zu lösen. Halte das Video an und versuche es einmal selber. Ich werde dir einen Weg zeigen und es dann noch auf eine andere Art angehen. Für den ersten Weg stellen wir eine kleine Tabelle auf. Die erste Spalte gibt in Stunden an, wie lange Naoya gelesen hat. Die erste Spalte gibt in Stunden an, wie lange Naoya gelesen hat. Diese Spalte nennen wir 't' für Zeit. t für Zeit in Stunden, die er gelesen hat. t für Zeit in Stunden, die er gelesen hat. Die zweite Spalte zeigt, wie viel er noch lesen muss. Spalte L (left to read) zeigt, wie viel er noch lesen muss. L geben wir in Seiten an. L geben wir in Seiten an. Bei 0 Stunden wissen wir nicht, wie viele Seiten er noch lesen muss. Bei 0 Stunden wissen wir nicht, wie viele Seiten er noch lesen muss. Am Angang wäre das das ganze Buch. Am Angang wäre das das ganze Buch. Das wäre die Antwort auf die Frage, "Wie lang ist das Buch?". Das wird also noch wichtig. Wir wissen nicht, was nach einer Stunde passiert, und nach zwei oder drei Stunden. Gegeben ist aber, dass er nach 4 Stunden noch 330 Seiten übrig hatte. Gegeben ist aber, dass er nach 4 Stunden noch 330 Seiten übrig hatte. Gegeben ist aber, dass er nach 4 Stunden noch 330 Seiten übrig hatte. Nach 4 Stunden musste er noch 330 Seiten bis zum Ende des Buches lesen. Nach 4 Stunden musste er noch 330 Seiten bis zum Ende des Buches lesen. Kann uns das und die Tatsache, dass er 55 Seiten je Stunde liest, Kann uns das und die Tatsache, dass er 55 Seiten je Stunde liest, dabei helfen die Aufgabe zu lösen? Wir erinnern uns, in einer Stunde hat er 55 Seiten gelesen. Wir erinnern uns, in einer Stunde hat er 55 Seiten gelesen. Und nach 4 Stunden muss er nur noch 330 Seiten lesen. Damit wissen wir noch nicht, wie viel er gelesen hat. Nur, wie viel noch übrig ist. Nach jeder Stunde verbleiben 55 Seiten weniger. Also hat er bei Stunde 3 55 Seiten mehr zu lesen übrig. Nach 3 Stunden ergibt das 330 plus 55, also 385 Seiten. Nach 3 Stunden ergibt das 330 plus 55, also 385 Seiten. Schauen wir, ob das Sinn macht. Unsere Änderung in Zeit ist t. Das Dreieck ist der griechische Buchstabe Delta, und bedeutet "Änderung von". Wenn unsere Änderung der Zeit +1 ist, plus 1 Stunde, dann ist die Änderung der verbleibenden Seiten gleich minus 55 Seiten. Das macht Sinn, die verbleibenden Seiten werden jede Stunde weniger. Das macht Sinn, die verbleibenden Seiten werden jede Stunde weniger. Wir messen nicht, wie viel er gelesen hat, wir messen, wie viel ihm zu lesen bleibt. Das wird jede Stunde 55 Seiten weniger. Oder, wenn wir in der Zeit zurückschreiten, nimmt es zu. Oder, wenn wir in der Zeit zurückschreiten, nimmt es zu. Eine Stunde zuvor, bei Stunde zwei, sind also weitere 55 Seiten zu lesen. Wie viel ist 385 plus 55? 385 plus 5 ist 390, plus 50 ist 440. Hier waren es also noch 440 Seiten. Ich habe einfach 55 addiert. Nach einer Stunde Lesen hat er 55 Seiten mehr übrig als nach 2 Stunden lesen. hat er 55 Seiten mehr übrig als nach 2 Stunden lesen, also 440 plus 55, ist 495. Und ehe er zu lesen begann, oder genau als er zu lesen begann, hatte er 55 weitere Seiten zu lesen, weil er die nach einer Stunde gelesen hatte, also 495 plus 55, wir addieren 5, das macht 500, plus 50 ergibt 550 Seiten. Zum Zeitpunkt Null musste er also 550 Seiten lesen. So lang ist das Buch. Aber wie lange braucht Naoya, um das ganze Buch zu lesen? Wir könnten das weiterführen. In der fünften Stunde verringert sich die Seitenanzahl wieder um 55. In der fünften Stunde verringert sich die Seitenanzahl wieder um 55. Das verringert sich um 50 und das ergibt 280. Das verringert sich um 50 und das ergibt 280. Noch 5 weniger und wir sind bei 275. Noch 5 weniger und wir sind bei 275. So könnten wir weitermachen. Oder aber wir sagen: So könnten wir weitermachen. Oder aber wir sagen: Er hat noch 330 Seiten zu lesen, Er hat noch 330 Seiten zu lesen, und er liest 55 Seiten pro Stunde, und er liest 55 Seiten pro Stunde, das ist das Gleiche wie 330 Seiten mal eins durch 55 Seiten je Stunde. Dividieren ist das Gleiche wie Multiplizieren mit dem Kehrwert. Dividieren ist das Gleiche wie Multiplizieren mit dem Kehrwert. Das ist das Gleiche wie Das ist das Gleiche wie multiplizieren mit 1/55 Stunden/Seite. Was erhalten wir dann? Die Seiten kürzen sich heraus und du erhältst 330 geteilt durch 55 Stunden. und du erhältst 330 geteilt durch 55 Stunden. Und das ist? 30 geteilt durch 5 ist gleich 6. 300 geteilt durch 50 ist gleich 6 Stunden. Jetzt müssen wir aufpassen. Du kannst das nicht hierhin schreiben. Die 6 Stunden sind nach diesem Zeitpunkt. Die 6 Stunden sind nach diesem Zeitpunkt. Insgesamt braucht er also 10 Stunden. Bei Stunde 4 hatte er noch 330 Seiten zu lesen, und dann dauerte es noch 6 Stunden mehr, um diese 330 Seiten zu lesen. und dann dauerte es noch 6 Stunden mehr, um diese 330 Seiten zu lesen. Also wird es insgesamt 10 Stunden dauern. Wir können das überprüfen. Wenn er in 10 Stunden 550 Seiten liest, Wenn er in 10 Stunden 550 Seiten liest, wie hoch ist seine Lesegeschwindigkeit? 550 geteilt durch 10 sind 55 Seiten pro Stunde. 550 geteilt durch 10 sind 55 Seiten pro Stunde. Das stimmt mit dem überein, was wir vorher gelesen haben. Das stimmt mit dem überein, was wir vorher gelesen haben. Du könntest jetzt auch sagen: "Hey, das ist eine lineare Gleichung!" "Hey, das ist eine lineare Gleichung!" Wenn du dich mit linearen Gleichungen auskennst, könntest du sagen: "Er liest mit gleichbleibender Geschwindigkeit." Also bilde ich eine Funktion, bei der "Verbleibende Seiten", eine Funktion von Zeit t ist. "Verbleibende Seiten", eine Funktion von Zeit t ist. Das wäre gleich-- Er liest 55 Seiten pro Stunde - Er muss jede Stunde 55 Seiten weniger lesen. Also minus 55 pro Stunde t. So könnten wir es schreiben, plus der ursprünglichen Anzahl an Seiten, b. plus der ursprünglichen Anzahl an Seiten, b. Mit dieser Information könnte man nach b auflösen. Mit dieser Information könnte man nach b auflösen. Wir wissen, wenn t = 4 Stunden ist, -- ich nehme eine andere Farbe -- Wir wissen, wenn t = 4 Stunden ist, dann sind noch 330 Seiten übrig. Es sind 330 Seite übrig. 330 ist gleich -- minus 55 mal 4 ist minus 220. minus 220 Minus 220 + b. Wenn du 220 auf beiden Seiten addierst, bleiben auf dieser Seite 550, 550 ist gleich-- die heben sich auf-- 550 gleich b. Die Funktion beschreibt, wie viele Seiten noch übrig sind. als eine Funktion von Zeit. Er liest 55 Seiten pro Stunde, Die Seiten, die er noch lesen muss, verringern sich jede Stunde, daher haben wir hier ein Minus. Minus 55 Seiten pro Stunde, mal Anzahl der Stunden, plus 550. Wenn man fragt, "Wie lange ist das Buch?", dann ist das L von Null. Also, wie viele Seiten zur Zeit Null verbleiben. Also, wie viele Seiten zur Zeit Null verbleiben. Und wir sehen, L(0) ist 550. Wenn t = 0, dann ist L(0) gleich 550. L(0) gleich 550. Wenn t gleich 0 ist, verschwindet dieser Term und es bleiben 550 Seiten. Die Frage hättest du auch so beantworten können. Die Frage hättest du auch so beantworten können. Du könntest sagen, wenn das Buch 550 Seiten hat, und er 55 Seiten pro Stunde liest, wie viele Stunden braucht er dafür? 550 Seiten dividiert durch 55 Seiten pro Stunde ergibt 10 Stunden. Wir hätten das hier auch machen können, sehe ich gerade. Anstatt zu sagen, 330 Seiten : 55 Seiten je Stunde, könnten wir sagen: Dafür brauchen wir 6 weitere Stunden ab diesem Zeitpunkt, wir wussten das schon, und wir hätten sagen können: "Wenn wir noch 550 Seiten zu lesen haben, und wenn wir 55 Seiten je Stunde lesen, dann brauchen wir dafür 10 Stunden." Du siehst also, es gibt viele verschiedene Wege, um diese Aufgaben zu lösen. Und am Ende stellen all diese Lösungswege immer die gleiche Sache dar. Das ist so elegant an der Mathematik. Die Lösungen repräsentieren verschiedene Denkansätze. Aber letzten Endes stellen wir eine bestimmte Aufgabe einfach auf verschiedene Arten und mit unterschiedlichen Symbolen dar.