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Video-Transkript

Hiro hat sein Zimmer mit acht Quadratmetern pro Stunde gestrichen. Nachdem er drei Stunden gestrichen hatte, hatte er noch 28 Quadratmeter übrig zu streichen. Nach drei Stunden hatte er noch 28 Quadratmeter zu streichen. Es geht also darum, wie viel wir noch streichen müssen und nicht wie viel wir gestrichen haben. A von t beschreibt die Fläche, die gestrichen werden muss, A gemessen in Quadratmetern als Funktion der Zeit, t, gemessen in Stunden. A von t ist wie viel wir noch streichen müssen und nicht wie viel wir gestrichen haben. Schreibe die Formel der Funktion. Denken wir zunächst über einige Dinge nach. Machen wir es ein wenig greifbarer für uns. Überlegen wir uns was A von t beträgt bei unterschiedlichen Zeiten. Das ist Zeit. Das A als eine Funktion der Zeit. Und sie geben uns eine davon. Es steht: " Nachdem er drei Stunden gestrichen hat, bleiben ihm noch 28 Quadratmeter übrig zu streichen." A von t ist die Fläche die noch gestrichen werden muss und nicht wie viel wir gestrichen haben. Ich lasse ein wenig Platz hier für andere Wert, vielleicht Null, eins, zwei. Schreiben wir drei hier. Nach drei Stunden hatte er 28 Quadratmeter übrig zu streichen. Wir nehmen an, dass das in Quadratmetern sein wird und das in Stunden. Es steht, dass er sein Zimmer mit acht Quadratmetern pro Stunde gestrichen hat. Gehen wir zurück. Nach zwei Stunden, wie viel musste er dann noch streichen? Was wäre A von t? Wäre es mehr als 28 oder weniger als 28? Er streicht mit acht Quadratmetern pro Stunde, nach jeder Stunde hat er also mehr gestrichen, aber A von t ist nicht wie viel er gemalt hat, sondern wie viel noch übrig ist. Er sollte also weniger zu streichen haben je mehr Zeit vergeht. Je mehr Zeit vergeht, je mehr Zeit zunimmt, desto kleiner sollte A von t werden. Nach zwei Stunden sollte er mehr zu streichen haben als nach drei Stunden, da A von t angibt, wie viel er noch streichen muss. Wie viel mehr müsste er noch streichen nach zwei Stunden verglichen mit drei Stunden? Es steht, dass er mit acht Quadratmetern pro Stunde streicht. Zwischen zwei und drei Stunden müsste er acht Quadratmeter gestrichen haben. Nach zwei Stunden müsste er noch acht Quadratmeter mehr malen. Wenn du acht hier dazuzählst erhälst du 36. Er hätte noch 36 Quadratmeter übrig nach zwei Stunden. Und wie sieht es nach einer Stunde? Nach einer Stunde hätte er noch acht Quadratmeter mehr zu streichen. 36 plus acht gibt 44. Nach Null Stunden hätte er noch wie viel zu streichen? Er müsste acht Quadratmeter mehr malen. 44 plus acht ist 52. Überlegen wir uns, ob das Sinn macht. Wenn das stimmt müsste er am Anfang 52 Quadratmeter zu streichen haben. Dann vergeht eine Stunde, die Veränderung der Zeit beträgt eine Stunde, und dann die Veränderung der Fläche, die noch zu malen ist geht um acht runter. Die Veränderung in A ist gleich negativ acht. Das macht Sinn. Die Änderungsrate sollte negativ sein, da die Menge, die er noch malen muss abnimmt während die Zeit vergeht. Konstruieren wir nun die Formel, die diese Funktion beschreibt. Das passiert mit einer konstanten Rate. Jedes mal wenn t um eins zunimmt, nimmt A von t um acht ab. t nimmt um eins zu, A von t nimmt um acht ab. Das steht und das ist so, weil er mit acht Quadratmetern pro Stunde streicht. Immer wenn etwas mit einer konstanten Rate passiert, so kann das mit einer linearen Funktion beschrieben werden. Und eine lineare Funktion hat die Form A von t gleich Veränderungsrate mal Zeit, plus mit was du angefangen hast und m und b sind einfach die Buchstaben, welche man nutzt für die Änderungsrate, die Steigung, wenn wir es zeichnen würden und b wo du angefangen hast und das wäre der y-Achsenabschnitt, und das wäre der y-Achsenabschnitt, aber hier wäre es der A-Achsenabschnitt es würde uns helfen der A-Achsenabschnitt zu finden, wenn wir das zeichnen müssten. Aber wir kennen bereit beide. Wir wissen was die Veränderungsrate ist. SIe beträgt negativ acht. Wir könnten auch sagen:"was ist die Steigung?" Unsere Steigung ist Veränderung in A über Veränderung in t. Unsere Steigung ist einfach die Veränderung in unserer abhängigen Variable über die Veränderung in der unabhängigen Variable, was negativ acht beträgt. Es ist gleich negativ acht. Das ist also gleich negativ acht und b ist gleich A von Null. A von Null, wenn t gleich Null ist dieser Term geht weg und du hast b übrig. A von Null ist gleich b. Und wir wissen was A von Null ist. Es ist gleich 52. Wir wissen, dass das hier 52 ist. Und wir sind fertig! Wir wissen das, ich schreibe es noch mal auf , A von t, die Fläche die er noch streichen muss als eine Funktion der Zeit, ist gleich negativ acht mal Zeit, plus 52. Und die Einheiten machen auch Sinn, weil diese negativ acht und ich schreib das noch mal mit den Einheiten auf, da es wichtig ist sich das zu überlegen. Fläche als die Funktion der Zeit, so viel muss er noch streichen, ist gleich negativ acht Quadratmeter pro Stunde, also negativ acht Meter quadriert pro Stunde mal t Stunden, ich schreib das aus damit du nicht denkst, dass es eine Variable ist, t Stunden, t Stunden plus 52 Quadratmeter. plus 52 Quadratmeter. Wie du siehst Stunden durch Stunden heben sich auf und dann hast du nur noch Quadratmeter übrig. Du hast negativ acht t Quadratmeter plus 52 Quadratmeter und so wird A von t in Quadratmetern sein. Es gibt andere Wege um dieses Problem zu lösen. Vielleicht hast du sofort gedacht: "Die Veränderungsrate beträgt acht Quadratmeter pro Stunde." Aber du musst hier sehr vorsichtig sein. Vielleicht hast du gedacht:" Oh die Veränderungsrate, vielleicht ist sie positiv acht Quadratmeter pro Stunde." Aber dir muss klar sein, dass A nicht wie viel er gestrichen hat ist, es ist wie viel er noch streichen muss. Die Veränderungsrate von wie viel er noch streichen muss sinkt um acht Quadratmeter pro Stunde. Vielleicht hast du gedacht:"Okay, meine Formel sieht so aus: A von t ist gleich negativ acht mal t plus irgendein b." Und dann hättest diese Information hier gebraucht um nach b zu lösen. Du denksz, "Hey, wenn t gleich drei ist, A ist gleich 28." Du könntest einfach diese Information hier benutzen und hier einsetzen. Wenn t gleich drei ist, dann ist A von t 28. Und hättest 28 gleich negativ acht bekommen mal drei, also negativ 24 plus b. Und dann hättest du 24 auf beiden Seiten hinzuaddiert Ups. Du hättest auf beiden Seiten 24 addiert und du hättest 28 plus 24 gleich 52 bekommen. Und auf der rechten Seite hättest du einfach b. Du würdest b gleich 52 bekommen, das genau gleiche haben wir auch hier bekommen. Ich mach das lieber auf diese Art einfach um auf Nummer sicher zu gehen, dass wir verstanden haben um was es geht.