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Binome multiplizieren - Einführung

Video-Transkript

Dann lasst uns mal schauen, ob wir dieses Produkt hier Dann lasst uns mal schauen, ob wir dieses Produkt hier in einen quadratischen Ausdruck umformen können. in einen quadratischen Ausdruck umformen können. Die Standardform eines quadratischen Ausdrucks sieht so aus: Die Standardform eines quadratischen Ausdrucks sieht so aus: Ax² + Bx + C Standardform eines quadratischen Ausdrucks Ax² + Bx + C Standardform eines quadratischen Ausdrucks In die Schreibweise möchte ich das Produkt umformen. Bitte pausiert das Video hier und versucht es erst einmal selbst! Bitte pausiert das Video hier und versucht es erst einmal selbst! Nun lasst uns das zusammen durchgehen. Entscheidend beim Multiplizieren von Binomen oder jeglichen Polynomen Entscheidend beim Multiplizieren von Binomen oder jeglichen Polynomen ist das Distributivgesetz, das wir alle nun gut kennen sollten. ist das Distributivgesetz, das wir alle nun gut kennen sollten. Wir könnten folgendermaßen vorgehen: Wir könnten folgendermaßen vorgehen: Wir können den gesamten ersten Ausdruck mit x und dann mit 7 multiplizieren. Wir können den gesamten ersten Ausdruck mit x und dann mit 7 multiplizieren. Das heißt: (x - 4) mal x + (x - 4) mal 7 Das heißt: (x - 4) mal x + (x - 4) mal 7 Das schreiben wir nun auf. x (x - 4) + 7 (x - 4) x (x - 4) + 7 (x - 4) x (x - 4) + 7 (x - 4) x (x - 4) ist nur eine andere Schreibweise für (x - 4) mal x x (x - 4) ist nur eine andere Schreibweise für (x - 4) mal x Achtung jetzt, nochmal aufpassen! Achtung jetzt, nochmal aufpassen! Wir haben nun das Distributivgesetz für (x - 4) (x +7) angewendet. Wir haben (x - 4) mit jedem einzelnen Term der zweiten Klammer einzeln multipliziert. Wir haben (x - 4) mit jedem einzelnen Term der zweiten Klammer einzeln multipliziert. Wir haben (x - 4) mit jedem einzelnen Term der zweiten Klammer einzeln multipliziert. Nun sehen wir diese beiden durch das + getrennten Terme. Nun sehen wir diese beiden durch das + getrennten Terme. Diese Terme können wir nochmal vereinfachen, indem wir nochmal ausmultiplizieren. Diese Terme können wir nochmal vereinfachen, indem wir nochmal ausmultiplizieren. Links multiplizieren wir nach x aus und rechts nach 7. Links multiplizieren wir nach x aus und rechts nach 7. Auf gehts: Links: x mal x = x² x mal - 4 = - 4x Zusammen also links: x² - 4x Zusammen also links: x² - 4x Auf der rechten Seite: 7 mal x = 7x und 7 mal - 4 = -28 Auf der rechten Seite: 7 mal x = 7x und 7 mal - 4 = -28 Auf der rechten Seite: 7 mal x = 7x und 7 mal - 4 = -28 Auf der rechten Seite: 7 mal x = 7x und 7 mal - 4 = -28 Fast geschafft! Das können wir noch ein wenig vereinfachen. Die beiden Terme 1. Grades können wir zusammenfassen. Die beiden Terme 1. Grades können wir zusammenfassen. Was ergeben - 4x + 7x ? Was ergeben - 4x + 7x ? Was ergeben - 4x + 7x ? Wir dürfen die Koeffizienten addieren (Distributivgesetz, ausklammern) Wir dürfen die Koeffizienten addieren (Distributivgesetz, ausklammern) Ich hoffe, durch die umständliche Schreibweise wird die Regel nochmal klar. Ich hoffe, durch die umständliche Schreibweise wird die Regel nochmal klar. Ich addiere die beiden Koeffizienten, da ich das nach Distributivgesetz darf, Ich addiere die beiden Koeffizienten, da ich das nach Distributivgesetz darf, Die anderen Terme behalte ich bei. Die anderen Terme behalte ich bei. Die anderen Terme behalte ich bei. Das lässt sich nun schön vereinfachen, das heißt .... Landeanflug meine Lieben! das heißt .... Landeanflug meine Lieben! Die beiden Koeffizienten addieren zu - 4 + 7 = 3 Insgesamt also: x² + 3x - 28 Insgesamt also: x² + 3x - 28 Insgesamt also: x² + 3x - 28 Damit sind wir auch schon fertig! Damit sind wir auch schon fertig! Lustigerweise bereits in genau der gewünschten Form. Lustigerweise bereits in genau der gewünschten Form. A = 1, B = 3, C = - 28 A = 1, B = 3, C = - 28 Lasst uns das Muster dahinter anschauen! Lasst uns das Muster dahinter anschauen! Beide x hatten den (gedachten) Koeffizienten 1 Beide x hatten den (gedachten) Koeffizienten 1 Durch Multiplizieren von x mal x erhielten wir genau x². Ich unterstreiche das Nächste mal: - 4 mal 7 ergab unsere -28, das C Ich unterstreiche das Nächste mal: - 4 mal 7 ergab unsere -28, das C Ich unterstreiche das Nächste mal: - 4 mal 7 ergab unsere -28, das C Ich unterstreiche das Nächste mal: - 4 mal 7 ergab unsere -28, das C Die beiden Zahlen ergaben also C, hier - 28 Wie kamen wir auf die 3x, den mittleren Term? Wie kamen wir auf die 3x, den mittleren Term? Schaut euch nochmal an, wo die Zahlen dazu herkamen: 3x ergab sich aus - 4x + 7x. Wir addierten diese - 4 und die 7, beide waren Koeffizienten von x, daher durften wir das. Ich hoffe, ihr erkennt bereits ein wenig das Muster dahinter! Ich hoffe, ihr erkennt bereits ein wenig das Muster dahinter! Wenn in beiden Binomen als x-Term nur x, also gedacht 1malx steht, Wenn in beiden Binomen als x-Term nur x, also gedacht 1mal x steht, dann ergibt das als erstes: (1)x mal (1)x = x² Dann ergibt das als erstes: (1)x mal (1)x = x² Der konstante Term C ist das Produkt der beiden Zahlen. Der konstante Term C ist das Produkt der beiden Zahlen. Der Term 1. Grades (Bx) ergibt sich aus der Summe der beiden Koeffizienten Der Term 1. Grades (Bx) ergibt sich aus der Summe der beiden Koeffizienten Der Term 1. Grades (Bx) ergibt sich aus der Summe der beiden Koeffizienten Wenn ihr das gut übt, könnt ihr Binome viel schneller multiplizieren! Wenn ihr das gut übt, könnt ihr Binome viel schneller multiplizieren! Wenn ihr das gut übt, könnt ihr Binome viel schneller multiplizieren! Bitte vergesst dabei aber nie, warum wir das so rechnen dürfen. Bitte vergesst dabei aber nie, warum wir das so rechnen dürfen. Die Grundlage dafür ist das Distributivgesetz, das wir hier zweimal angewendet haben. Die Grundlage dafür ist das Distributivgesetz, das wir hier zweimal angewendet haben.