Multiplikation von Polynomen - Textaufgabe

Berechne das Volumen eines Behälters, der eine Grundfläche von (3x Quadrat plus 30x plus 5) Zentimetern hat und dessen Höhe (8x minus 5) beträgt. Ich male das hier auf. Vielleicht hat der Behälter die Form eines Zylinders, ich zeichne daher hier einen Zylinder. Das soll ein Zylinder sein, und wenn er durchsichtig wäre, könnte man hier seine Rückseite sehen. Diese beiden sind gleich. Das sollen gerade Linien sein. Nun, das Volumen-- ich beschrifte das hier erst. Das ist die Grundfläche, und das ist die Gleiche wie die hier oben, mit jeweils 3x zum Quadrat plus 30x plus 5. Und die Höhe beträgt 8x minus 5. Die Höhe des Behälters beträgt 8x minus 5. Wenn du nun das Volumen eines dreidimensionalen Körpers errechnen möchtest, multiplizierst du die Grundfläche mal der Höhe. Das Volumen ist damit Grundfläche, also 3x zum Quadrat plus 5, mal Höhe, also mal 8x minus 5. Es scheint zunächst schwierig, so etwas zu multiplizieren, aber wir müssen hier nur das Distributivgesetz beachten. Wenn du dir den Ausdruck in pink als eine Zahl vorstellen würdest, zum Beipiel als eine 7, dann würdest du einfach sagen, gut, das ist 7 mal 8x minus 7 mal 5, oder minus 5 mal 7. Du würdest es einfach ausklammern. Du multiplizierst das Ganze mal jedem Term. Wir müssen nach dem Distributivgesetz ausklammern. Also lass uns das machen. Wir multiplizieren das Alles mal 8x, man könnte auch sagen, 8x mal den gesamten Ausdruck. Das ist dann 8x (mal 3x zum Quadrat plus 30x plus 5) minus 5 mal dem Ganzen. Somit erhältst du 3x zum Quadrat plus 30x plus 5. Und nun multiplizieren wir das aus. Wir multiplizieren jeden Term mal 8x und wir multiplizieren -5 mit jedem Term. Dann erhalten wir: 8x mal 3x zum Quadrat, das ist 24x hoch drei. 8x mal 30x, was ist das? Das sind 240x zum Quadrat, also plus 240x zum Quadrat. 8x mal 5 ist 40x. Und nun multiplizieren wir die -5 aus. -5 mal 3x ist -15x zum Quadrat. -5 mal 30x ist -150x. Und -5 mal 5 ist -25. Und nun können wir das noch vereinfachen. Wir haben nur einen Term zur dritten Potenz, nur einen mit x hoch drei. Wir schreiben diesen an den Anfang. 24x hoch drei. Und unsere quadratischen Terme? Wir haben hier 240x zum Quadrat und 15x zum Quadrat. Und was ist 240 minus 15? Also 225x zum Quadrat. Also plus 225x zum Quadrat. Wir addieren diesen Term mit diesem hier. Es bleiben noch 40x minus 150x. Das wären dann -110x. Dazu kommen noch -25. Das ist die einzige Konstante. Und damit sind wir fertig! Damit haben wir das Volumen des Behälters gefunden. Er ist duch dieses Polynom hier gegeben. Das hier ist das Volumen des Behälters. Es ist gleich 24x hoch drei plus 225x zum Quadrat minus 110x minus 25.